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दो चरों वाले रैखिक समीकरण – परिभाषा, प्रकार और आलेख

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

This post is also available in: English

$ax + b = 0$ के रूप के एक चर वाले रैखिक समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिनका एक अद्वितीय समाधान (या केवल एक समाधान) होता है और ऐसे समीकरणों के समाधान में एक एकल संख्या होती है जिसे संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। दूसरी ओर, दो चरों में रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप के समीकरण होते हैं। इस तरह के समीकरणों का हल $\left(x, y \right)$ के रूप का एक आदेशित युग्म है, जहां $x$ कार्तीय समतल पर $y$-निर्देशांक को इंगित करता है।

आइए समझते हैं कि दो चरों वाले रैखिक समीकरण क्या हैं और इसके विभिन्न प्रकार और उदाहरण के साथ इसके हल क्या हैं।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण क्या हैं?

किसी समीकरण को दो चरों वाले  रैखिक समीकरण कहा जाता है यदि इसे $ax + by + c =0$ के रूप में लिखा जाता है, जहां $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएं हैं और चरों $x$ और $y$ के गुणांक $a$ और $b$ क्रमशः (जो शून्य के बराबर नहीं हैं)  हैं।

उदाहरण के लिए, $2x + 5y = 7$ और $-x + 3y = 5$ दो चरों वाले रैखिक समीकरण हैं।

इस तरह के समीकरण का समाधान मानों का एक युग्ल (आदेशित युग्ल), $x$ और $y$ है जो एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को बराबर बनाता है। दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हल को कार्तीय तल (अर्थात $xy$-तल) पर प्रदर्शित किया जा सकता है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

उदाहरण

आइए कुछ उदाहरणों के साथ दो चरों वाले रैखिक समीकरणों में चरों और गुणांकों को समझते हैं।

Ex 1: समीकरण $-3m + 2n + 7 = 0$ में चर क्या हैं?

समीकरण $-3m + 2n + 7 = 0$, $ax + by + c = 0$ के रूप का है।

समीकरण $-3m + 2n + 7 = 0$ की तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर हम पाते हैं

$x = m$ और $y = n$, इसलिए, चर $m$ और $n$ हैं, या हम कह सकते हैं कि $-3m + 2n + 7 = 0$, $m$ और $n$ चर के साथ दो चर वाला रैखिक समीकरण है।

Ex 2: समीकरण $7x + 2y + 8 = 0$ में गुणांक और स्थिरांक की पहचान करें।

समीकरण $7x + 2y + 8 = 0$ का रूप $ax + by + c = 0$ है।

समीकरण $7x + 2y + 8 = 0$ की तुलना $ax + by + c = 0$ से करने पर, हमें $a = 7$, $b = 2$ और $c = 8$ प्राप्त होता है।

इसलिए, समीकरण $7x + 2y + 8 = 0$ के गुणांक $7$ और $2$ हैं, $7$ $x$ का गुणांक है और $2$ $y$ का गुणांक है।

और, समीकरण $7x + 2y + 8 = 0$ में स्थिरांक $8$ है।

Ex 3: समीकरण $5x – 3y = 9$ में गुणांक और स्थिरांक की पहचान करें।

समीकरण $5x – 3y = 9$ को $5x – 3y – 9 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है (RHS से LHS में $9$ स्थानांतरित करना)।

अब, समीकरण $5x – 3y – 9 = 0$ $ax + by + c = 0$ के रूप में है।

समीकरण $5x – 3y – 9 = 0$ की $ax + by + c = 0$ से तुलना करने पर, हमें $a = 5$, $b = -3$ और $c = -9$ प्राप्त होता है।

इसलिए, समीकरण $5x – 3y = 9$ के गुणांक $5$ और $-3$ हैं, $5$ $x$ का गुणांक है और $-3$ $y$ का गुणांक है।

और, समीकरण $5x – 3y = 9$ में स्थिरांक $-9$ है।

दो चरों वाले रेखीय समीकरण का आलेख

दो चरों वाले रैखिक समीकरण को कार्तीय तल पर एक सीधी रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात $xy$-निर्देशांक अक्ष। चूंकि आलेख एक सीधी रेखा (रैखिक) है, इसलिए $ax + by + c = 0$ के रूप के समीकरणों को रैखिक समीकरण कहा जाता है और चूंकि इसमें दो चर होते हैं, इसलिए नाम ‘दो चरों में रैखिक समीकरण’।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के आलेख को प्लॉट करने के लिए, हम $x$ के कुछ मनमाने मानों पर विचार करते हैं और उनके संबंधित $y$ मान प्राप्त करते हैं और फिर उन बिंदुओं को कार्टेशियन प्लेन पर आलेखित करते हैं। इन बिंदुओं को फिर एक सीधी रेखा से जोड़ा जाता है जो समीकरण $ax + by + c = 0$ का प्रतिनिधित्व करता है।

नोट: एक सीधी रेखा खींचने के लिए केवल दो बिंदु पर्याप्त हैं।

उदाहरण

आइए यह समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करें कि दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख कैसे बनाया जाता है।

Ex 1: समीकरण $3x + 4y – 12 = 0$ को आलेखीय रूप से निरूपित करें।

$3x + 4y – 12 = 0 => 3x + 4y = 12$

समीकरण में $x = 0$ रखने पर, हमें $0 + 4y = 12 => y = \frac{12}{4} => y = 3$ प्राप्त होता है।

इसलिए, $3x + 4y – 12 = 0$ के आलेख पर स्थित एक बिंदु $(0, 3)$ है।

समीकरण में $y = 0$ रखने पर, हमें $3x + 0 = 12 => x = \frac{12}{3} => x = 4$ प्राप्त होता है।

इसलिए, $3x + 4y – 12 = 0$ के आलेख पर स्थित एक अन्य बिंदु $(4, 0)$ है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

अब, कार्तीय तल पर बिंदुओं $\left(0, 3 \right)$ और $\left(4, 0 \right)$ आलेखित करने पर, हमें समीकरण $3x + 4y – 12 = 0$ का प्रतिनिधित्व करने वाली एक सीधी रेखा मिलती है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

क्षैतिज रेखा का आलेख

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का है, जहां $a$ और $b$ क्रमशः चर $x$ और $y$ के गुणांक हैं और $c$ है निरंतर। $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं। जब गुणांक $a = 0$, तो समीकरण $by + c = 0$ के रूप में परवर्तित हो जाता है, जिसे $by = -c$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। यह समीकरण $x$-अक्ष के समानांतर और $y$-अक्ष के लंबवत और $y$-अक्ष को एक बिंदु $\left(0, -\frac {c}{b} \right)$ पर पार करने वाली एक सीधी क्षैतिज रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। बिंदु $\left(0, -\frac {c}{b} \right)$ को $by + c = 0$ रेखा का $y$ – अवरोधन कहा जाता है।

उदाहरण

Ex 1: समीकरण $2y – 18 = 0$ का प्रतिनिधित्व करें।

$2y – 18 = 0 => 2y = 18 => y = \frac{18}{2} => y = 9$

इसलिए, रेखा $2y – 18 = 0$ एक बिंदु $\left(0, 9 \right)$ से गुजरती है जो $x$-अक्ष के समानांतर और $y$-अक्ष के लंबवत है। इस रेखा में $y$-इंटरसेप्ट $\left(0, 9\right)$ है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

लंबवत रेखा का आलेख

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का है, जहां $a$ और $b$ क्रमशः चर $x$ और $y$ के गुणांक हैं और $c$ है स्थिरांक। $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं। जब गुणांक $b = 0$, तो समीकरण $ax + c = 0$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है, जिसे $ax = -c$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। यह समीकरण $y$-अक्ष के समानांतर और $x$-अक्ष के लंबवत और $x$-अक्ष को एक बिंदु $\left(-\frac {c}{a}, 0 \right)$ पर पार करने वाली एक सीधी क्षैतिज रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। बिंदु $\left(-\frac {c}{a}, 0 \right)$ को रेखा $ax + c = 0$ $x$ का अवरोधन कहा जाता है।

उदाहरण

Ex 1: समीकरण $3x – 15 = 0$ का प्रतिनिधित्व करें।

$3x – 15 = 0 => 3x = 15 => x = \frac{15}{3} => x = 5$

इसलिए, रेखा $3x – 15 = 0$ एक बिंदु $\left(5, 0 \right)$ से गुजरती है जो $y$-अक्ष के समानांतर और $x$-अक्ष के लंबवत है। रेखा में $x$-इंटरसेप्ट $\left(5, 0\right)$ है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

तिरछी रेखा का आलेख

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य समीकरण $ax + by + c = 0$ के रूप का है, जहां $a$ और $b$ क्रमशः चर $x$ और $y$ के गुणांक हैं और $c$ है स्थिरांक। $a$, $b$, और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं। जब दोनों गुणांक $a$ और $b$ शून्य नहीं हैं, तो समीकरण $ax + by + c = 0$ का आलेख एक तिरछी रेखा होगी।

उदाहरण

Ex 1: समीकरण $3x + 4y – 12 = 0$ का प्रतिनिधित्व करें।

$3x + 4y – 12 = 0 => 3x + 4y = 12$

समीकरण में $x = 0$ रखने पर, हमें $0 + 4y = 12 => y = \frac{12}{4} => y = 3$ प्राप्त होता है।

इसलिए, $3x + 4y – 12 = 0$ के आलेख पर स्थित एक बिंदु $(0, 3)$ है।

समीकरण में $y = 0$ रखने पर, हमें $3x + 0 = 12 => x = \frac{12}{3} => x = 4$ प्राप्त होता है।

इसलिए, $3x + 4y – 12 = 0$ के आलेख पर स्थित एक अन्य बिंदु $(4, 0)$ है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

अब, कार्तीय तल पर बिंदुओं $\left(0, 3 \right)$ और $\left(4, 0 \right)$ को आलेखित करने पर, हमें समीकरण $3x + 4y – 12 = 0$ का प्रतिनिधित्व करने वाली एक सीधी रेखा मिलती है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का हल

हमने सीखा कि जब $ax + by + c = 0$ के रूप के दो चरों वाले रैखिक समीकरण को कार्तीय तल में आलेखित किया जाता है, तो हमें एक सीधी रेखा मिलती है। रेखा $ax + by + c = 0$ पर स्थित कोई भी बिंदु समीकरण $ax + by + c = 0$ का हल होगा।

चूंकि रेखा $ax + by + c = 0$ पर अनंत बिंदु हैं, इसलिए, दो चरों में किसी भी रैखिक समीकरण के लिए अनंत (अनगिनत) हल मौजूद हैं।

चूँकि $ax + by + c = 0$ के रूप के एक रैखिक समीकरण में दो चर होते हैं, एक समाधान का मतलब मानों की एक युग्ल है, एक $x$ के लिए और एक $y$ के लिए जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।

आइए समीकरण $2x + 3y = 12$ पर विचार करें। यहाँ, $x = 3$ और $y = 12$ एक हल है क्योंकि जब आप $x = 3$ और $y = 2$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें $2 \times 3 + 3 \times 2 = 12$ मिलता है। जो समीकरण का RHS है।

इसी प्रकार, जब आप समीकरण में $x = 0$ और $y = 4$ को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें $2 \times 0 + 3 \times 4 = 12$ प्राप्त होता है, जो समीकरण का RHS भी है।

और साथ ही, जब आप समीकरण में $x = 6$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें $2 \times 6 + 3 \times 0 = 12$ मिलता है, जो फिर से समीकरण का दायाँ पक्ष है।

तो, हम देखते हैं कि ये सभी बिंदु $\left(3, 2 \right)$, $\left(0, 4 \right)$, और $\left(6, 0 \right)$ $2x + 3y = 12$ समीकरण के समाधान हैं।

वास्तव में, $2x + 3y = 12 $ समीकरण के अनंत समाधान हैं और सामान्य रूप से $ax + by = c के रूप के किसी भी रैखिक समीकरण के लिए।

$x$ और $y$ अक्षों के समीकरण

हमने ऊपर सीखा है कि कोई भी

  • रूप का रैखिक समीकरण $ax + c = 0$, $y$-अक्ष के समानांतर या $x$-अक्ष के लंबवत है
  • $by + c = 0$ रूप का रैखिक समीकरण $x$-अक्ष के समानांतर या $y$-अक्ष के लंबवत है

जब $c$ समीकरण $ax + c = 0$ में $0$ हो जाता है, तो हमें $ax = 0 => x = \frac {0}{a} => x = 0$ प्राप्त होता है, जो $y$-अक्ष का समीकरण है ।

इसी प्रकार, जब $c$ समीकरण $by + c = 0$ में $0$ हो जाता है, तो हमें $by = 0 => y = \frac {0}{b} => y = 0$ प्राप्त होता है, जो निम्न  $x$-अक्ष का समीकरण है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

एक चर और दो चर वाले रैखिक समीकरणों के बीच अंतर

ये एक चर वाले रैखिक समीकरणों और दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के बीच के अंतर हैं।

एक चर वाले रैखिक समीकरणदो चरों वाले रैखिक समीकरण
एक चर वाले रैखिक समीकरणों में केवल एक चर होता हैदो चरों वाले रैखिक समीकरणों में दो चर होते हैं
एक चर वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप $ax + b = 0$ होता हैदो चरों वाले रैखिक समीकरणों का सामान्य रूप $ax + by + c = 0$ है
एक चर वाले रैखिक समीकरण के समाधान में आम तौर पर ‘x’ द्वारा दर्शाई गई एकल संख्या होती हैदो चरों वाले रैखिक समीकरण के हल में एक क्रमित युग्म होता है, जिसे आम तौर पर $(x,y)$ के रूप में दर्शाया जाता है 
एक चर वाले रैखिक समीकरण के लिए एक अद्वित्य हल (केवल एक हल) होता हैदो चरों वाले रैखिक समीकरण के अनंत हल (अनगिनत हल) होते हैं
एक चर वाले रैखिक समीकरण का हल संख्या रेखा पर स्थित हो सकता हैदो चरों वाले रैखिक समीकरण के हल कार्तीय तल पर स्थित हो सकते हैं
एक चर वाले समीकरण का उदाहरण $2x + 3 = 0$ हैदो चरों वाले रैखिक समीकरण का उदाहरण $2x + 3y + 5 = 0$ है

अभ्यास के लिए प्रश्न

  1. निम्नलिखित समीकरणों में गुणांक (ओं) और स्थिरांक की पहचान करें
  • $3x – 4y + 7 = 0$
  • $2x + 5y – 8 = 0$
  • $x = 5$
  • $2y = -7$
  1. निम्नलिखित समीकरणों को आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
  • $2x – 4y + 8 = 0$
  • $3x + 5y – 15 = 0$ 
  • $2x + 6y – 12 = 0$
  • $6x – 9y + 36 = 0$
  1. निम्नलिखित समीकरणों के कोई चार हल ज्ञात कीजिए।
  • $x – y – 8 = 0$
  • $4x + 3y + 14 = 0$
  • $7x – 3y – 21 = 0$
  • $5x + 2y + 20 = 0$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का क्या अर्थ है?

रैखिक समीकरण घात1 के साथ एक समीकरण है। दो चर में एक रैखिक समीकरण एक प्रकार का रैखिक समीकरण है जिसमें दो चर होते हैं।

उदाहरण के लिए, $x – 2y = 4$, $2x + 3y =14$, आदि दो चरों वाले  रैखिक समीकरण हैं।

आप दो चरों वाले रैखिक समीकरणों की पहचान कैसे करते हैं?

हम दो चरों वाले रैखिक समीकरण की पहचान कर सकते हैं यदि इसे $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त किया गया है, जिसमें दो चर $x$ और $y$ शामिल हैं, और दिए गए समीकरण की उच्चतम घात $1$ है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के कितने हल होते हैं?

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अनंत हल होते हैं। रेखा $ax + by + c = 0$ पर स्थित सभी बिंदु समीकरण $ax + by + c = 0$ के हल हैं।

आप कैसे जांचेंगे कि एक दिया हुआ बिंदु दो चरों में एक रैखिक समीकरण का हल है या नहीं?

यदि $x$ और $y$ के मानों को एक बिंदु $(x, y)$ से समीकरण $ax + by + c = 0$ में प्रतिस्थापित करके LHS और RHS बनाता है, तो इसका मतलब है कि $(x, y)$ है $ax + by + c = 0$ का हल है, अन्यथा नहीं।

उदाहरण के लिए, समीकरण $3x + 5y – 30 = 0$ पर विचार करें।

एक बिंदु $\left(5, 3 \right)$ समीकरण $3x + 5y + 30 = 0$ का समाधान है, क्योंकि $3 \times 5 + 5 \times 3 – 30 = 0$, जबकि $\left( 3, 5 \right)$ समीकरण $3x + 5y + 30 = 0$ का हल नहीं है, क्योंकि $3 \times 3 + 5 \times 5 – 30 = 9 + 25 – 30 = 4$, जो बराबर नहीं है समीकरण के RHS के लिए।

निष्कर्ष

$ax + by + c = 0$ के रूप के समीकरणों को दो चरों वाले रैखिक समीकरण कहा जाता है और ऐसे समीकरणों के अनंत हल होते हैं। $ax + by + c = 0$ द्वारा दर्शाई गई रेखा पर स्थित सभी बिंदु समीकरण के हल हैं।

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