एक चर वाले रैखिक समीकरण – आलेख और हल करने की विधि

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अज्ञात राशियों के मान ज्ञात करने के लिए कई क्षेत्रों में रैखिक समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। एक चर वाले रैखिक समीकरण मूल समीकरण हैं जिसे एक सीधी रेखा के रूप में आसानी से आलेख के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिक समीकरण को हल करना और आम तौर पर एक प्रतीक (या चर) $x$ (जिसे किसी अन्य अक्षर या प्रतीक द्वारा भी दर्शाया जा सकता है) द्वारा दर्शाए गए अज्ञात का मान ज्ञात करना सरल प्रक्रियाओं का एक सेट शामिल है।

आइए समझते हैं कि एक चर वाले रैखिक समीकरण क्या होते हैं और एक चर वाले रैखिक समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

एक चर वाले रैखिक समीकरण क्या हैं?

एक चर वाले रैखिक समीकरण वे समीकरण है जिसमें केवल एक चर या एक अज्ञात मान होता है। रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + b = 0$ है, जहाँ $a$ और $b$ कोई भी दो संख्याएँ हैं और $x$ एक अज्ञात (या एक चर) है।

उदाहरण के लिए, $x + 9 = 13$ एक चर वाला रैखिक समीकरण है जिसमें चर $x$ है।

उपरोक्त समीकरण को एक चर वाला  रैखिक समीकरण कहा जाता है क्योंकि समीकरण में केवल एक चर ($x$) है और $x$ का उच्चतम घात एक है। इस प्रकार के समीकरण एक चर वाले रैखिक समीकरण कहलाते हैं।

एक चर वाले रैखिक समीकरणों के कुछ अन्य उदाहरण हैं $5x – 1 = 7$, $\frac {2x + 5}{3} = 8$, $\frac {1}{3}a + 9 = 6$, $0.25x + 8 = 0$।

एक चर वाले रैखिक समीकरण का आलेख

एक चर वाले रैखिक समीकरण का आलेख हमेशा $x$-अक्ष को पार करने वाली एक लंबवत सीधी रेखा होती है। जिस बिंदु पर रेखा $x$-अक्ष को पार करती है उसे मूल या शून्यांक या एक चर वाले रैखिक समीकरण का हल कहा जाता है।

$ax + b = 0 रूप के एक चर वाले रैखिक समीकरण $x$-अक्ष को एक बिंदु $(-\frac{-b}{a}, 0)$ पर पार करता है। बिंदु $(-\frac{-b}{a}, 0)$ को $x$-आलेख का अवरोधन भी कहा जाता है।

आइए एक रैखिक समीकरण $2x + 12 = 0$ के आलेख पर विचार करें। यहाँ, $a = 2$ और $b = 12$, इसलिए $2x + 12 = 0$ का आलेख  $x$-अक्ष को एक बिंदु $\left(-\frac{12}{2}, 0 \right)$ पर क्रॉस करता है। , यानी $\left(-6, 0\right)$।

आइए रैखिक समीकरण $3x – 24 = 0$ के एक और उदाहरण पर विचार करें। यहाँ, $a = 3$ और $b = -24$, इसलिए $3x – 24 = 0$ का आलेख $x$-अक्ष को एक बिंदु $\left(-\left(\frac{-24}{-24}{3}\right), 0\right)$, पर पार करता है।  यानी, $\left(8, 0\right)$। 

आप ऊपर दिए गए आलेख से देख सकते हैं कि जब एक रैखिक समीकरण $ax + b = 0$ में,

• $a$ और $b$ एक ही चिन्ह के हैं, हल ऋणात्मक है
• $a$ और $b$ विपरीत चिन्हों के हैं, हल घनात्मक है

एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करना

एक चर वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप $ax + b = 0$ है, जहां $a$x$ का गुणांक है, $x$ चर है, और $b$ स्थिरांक है। एक चर वाले  रैखिक समीकरण को हल करने के लिए गुणांक और स्थिरांक को पृथक किया जाना चाहिए।

आइए अब देखते हैं कि समीकरण में गुणांक और स्थिरांक को कैसे पृथक किया जाता है।

एक चर वाले रैखिक समीकरण का हल ज्ञात की प्रक्रिया में उपयोग किए जाने वाले दो बुनियादी नियम हैं

• यदि हम किसी समीकरण के दोनों पक्षों से एक ही संख्या को जोड़ते या घटाते हैं, तब भी वह समीकरण वही रहता है
• यदि हम एक ही संख्या को समीकरण के दोनों पक्षों में गुणा या विभाजित करते हैं, तब भी वह समीकरण वही रहता है

एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के स्टैप्स

एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित स्टैप्स हैं

स्टैप 1: समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ या घटाकर चर को एक ओर और स्थिरांक को समीकरण के दूसरी ओर रखें।

स्टैप 2: स्थिरांक पदों को सरल करें।

स्टैप 3: चर को समीकरण के दोनों पक्षों में गुणा या विभाजित करके एक तरफ से अलग करें।

स्टैप 4: सरल कीजिए और उत्तर लिखिए।

उदाहरण

एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया को समझने के लिए आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

Ex 1: $7x + 9 = 0$ को हल करें

पहला स्टैप चर और स्थिरांक को पृथक करना है। $9$ को ‘बराबर’ चिह्न ($=$) के दूसरी ओर ले जाने पर, हमें मिलता है

$7x = -9$

नोट:

• जब एक धनात्मक स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाया जाता है, तो वह दूसरी ओर ऋणात्मक हो जाता है
• जब एक ऋणात्मक स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाया जाता है, तो वह दूसरी ओर धनात्मक हो जाता है

अब, गुणांक को ‘बराबर’ चिह्न ($=$) के दूसरी ओर ले जाकर चर से अलग करें।

$x = -\frac{9}{7}$

नोट:

• जब एक गुणांक जिसे एक चर से गुणा किया जाता है दूसरी तरफ ले जाया जाता है, तो यह दूसरी तरफ भिन्न का भाजक बन जाता है
• जब एक गुणांक जिसे एक चर द्वारा विभाजित किया जाता है, दूसरी तरफ ले जाया जाता है, तो यह दूसरी तरफ अंश का अंश बन जाता है

Ex 2: $2x – 13 = 0$ को हल करें

$2x – 13 = 0$

$=>2x = 13$

$=> x = \frac{13}{2}$

Ex 3: $\frac{x}{3} + 9 = 0$ को हल करें 

$\frac{x}{2} + 12 = 0$

$\frac{x}{2} = -12$

$x = -12 \times 2$

$x = -24$

Ex 4: $\frac{x}{7} – 6 = 0$ को हल करें 

$\frac{x}{7} – 6 = 0$

$\frac{x}{7} = 6$

$x = 6 \times 7$

$x = 42$

Ex 5: $2 \left(x + 3 \right) = 0$ को हल करें

$2 \left(x + 3 \right) = 0$

$x + 3 = \frac{0}{2}$

$x + 3 = 0$

$x = 0 – 3$

$x = – 3$

Ex 6: $\frac {7x – 2}{3} = 0$ को हल करें

$7x – 2 = 0 \times 3$

$7x – 2 = 0$

$7x = 0 + 2$

$7x = 2$

$x = \frac{2}{7}$

दोनों पक्षों पर चर के साथ एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करना

एक चर वाले रैखिक समीकरणों के उपरोक्त सभी उदाहरणों में, चर समीकरण के केवल एक ओर मौजूद था। अब, आइए समझते हैं कि एक चर वाले रैखिक समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जब चर समीकरण के दोनों ओर मौजूद हो।

दोनों पक्षों में चर वाले एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की सामान्य प्रक्रिया वही है जो एक चर में रैखिक समीकरणों को केवल एक ओर चर के साथ हल करने की है।

इस मामले में, पहला स्टैप चर को दाईं ओर से बाईं ओर लाना है और फिर केवल एक ओर चर के साथ एक चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने के स्टैप्स का पालन करना है।

दोनों पक्षों पर चर के साथ एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए स्टैप्स

एक चर में रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित स्टैप्स हैं

स्टैप 1: दाएँ हाथ वाले चर को बाईं ओर ले जाएँ और सरल करें।

स्टैप 2: समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़कर या घटाकर चर को एक तरफ और स्थिरांक को समीकरण के दूसरी ओर रखें।

स्टैप 3: स्थिरांक पदों को सरल कीजिए।

स्टैप 4: चर को समीकरण के दोनों पक्षों में गुणा या विभाजित करके एक ओर से पृथक करें।

स्टैप 5: सरल कीजिए और उत्तर लिखिए।

उदाहरण

आइए, दोनों पक्षों में चर वाले एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

.

Ex 1: $12x + 9 = 3x$ को हल करें

$12x + 9 = 3x$

दाएँ पक्ष के चर को बाएँ पक्ष में लाएँ।

$12x – 3x + 9 = 0$

$9x + 9 = 0$

अब, एक चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने के स्टैप्स का पालन करें।

$9x = -9$

$=>x = \frac{-9}{9}$

$=>x = -1$.

एक चर वाले रैखिक समीकरणों की विशेषताएँ

ये एक चर वाले रैखिक समीकरणों की कुछ विशेषताएँ हैं।

• एक चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + b = 0$ है
• एक चर वाले रैखिक समीकरण के चर के मान को रैखिक समीकरण का मूल कहा जाता है
• एक चर वाले रैखिक समीकरण के चर के मान को रैखिक समीकरण का हल भी कहते हैं
• एक चर वाले रैखिक समीकरण का परिणामी समाधान समान रहता है यदि किसी विशेष संख्या को समीकरण के दोनों पक्षों (LHS = RHS) से गुणा, जोड़ा, विभाजित या घटाया जाता है।
• कार्तीय प्रणाली पर आलेखित करने पर एक चर वाले रैखिक समीकरण हमेशा एक सीधी रेखा बनाता है

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित समीकरणों में चर, गुणांक और स्थिरांक की पहचान करें

• $3x – 5 = 0$
• $2x + 7 = 0$
• $4 – 5x = 0$
• $2 + 3x = 0$
• $4x – 5 = 8x$

2. निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए

• $m – 5 = 0$
• $a + 3 = 0$
• $3x + 7 = 0$
• $2x – 11 = 0$
• $8x – 12 = 6$
• $12x – 4 = 8x$
• $15x + 2 = 7x – 16$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

एक चर वाले रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसमें केवल एक चर या एक अज्ञात होता है। रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + b = 0$ है, जहाँ $a$ और $b$ कोई भी दो संख्याएँ हैं और $x$ एक अज्ञात (या एक चर) है। एक चर वाले रैखिक समीकरण का एक अद्वितीय (या केवल एक) हल होता है।

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