घातांक के नियम – नियम, प्रमाण और उदाहरण

This post is also available in: English

किसी संख्या का घातांक यह दिखाने की एक विधि है कि संख्या को कितनी बार गुणा किया गया है। हम बहुत बड़ी संख्याएँ लिखने के लिए धनात्मक घातांक का उपयोग करते हैं और बहुत छोटी संख्याएँ लिखने के लिए ऋणात्मक घातांक का उपयोग करते हैं। ऐसे कुछ नियम हैं जिनका उपयोग घातांक से जुड़ी समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

आइए सबूतों और उदाहरणों के साथ समझें कि घातांक के नियम क्या हैं।

घातांक के नियम क्या हैं?

घातांक के नियमों को घातांक के गुणों के रूप में भी जाना जाता है, जिसका उपयोग घातांक से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। इन गुणों को प्रमुख घातांक नियम भी माना जाता है।

घातांक के मूल गुण निम्नलिखित हैं।

• घातांक  का गुणन नियम: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• घातांक का भागफल नियम: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• शून्य घातांक का नियम: $a^0 = 1$
• ऋणात्मक घातांक का नियम: $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
• किसी घातांक की घातांक का प्रतिपादक नियम: $(a^m)^n = a^{mn}$
• किसी घातांक के गुणनफल नियम: $(ab)^m = a^mb^m$
• भागफल के घातांक का नियम: $\left(\frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m}$
• भिन्नात्मक सूचकांक के साथ घातांक: $x^{1}{n} = \sqrt[n]{x}$

घातांक  का गुणन नियम

घातांक का गुणनफल नियम बताता है कि यदि $a^m$ और $a^n$ दो घातांक हैं तो $a^m$ और $a^n$ का गुणनफल $a^{m + n}$ के बराबर है, अर्थात। जब समान आधारों के घातांकों को गुणा किया जाता है तो परिणामी घातांक की घात गुणनफल में घातांकों की घातों के योग के बराबर होती है।

घातांक का गुणनफल नियम $a^m \times a^n = a^{m + n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

घातांक के गुणन नियम का प्रमाण

$a^m = a \times a \times a \times a … \times a (m \text{ times})$

$a^n = a \times a \times a \times a … \times a (n \text{ times})$

$a^m \times a^n = (a \times a \times a \times a … \times a (m \text{ times})) \times (a \times a \times a \times a … \times a (n \text{ times}))$

$=> a^m \times a^n = a \times a \times a \times a … \times a ((m + n) \text{ times})$

$=> a^m \times a^n = a^{m + n}$

घातांक के गुणन नियम के उदाहरण

उदाहरण 1: $3^4 \times 3^3$ का मान ज्ञात कीजिये

$3^4 \times 3^3 = 3^{4 + 3} = 3^7$

उदाहरण 2: $(xy)^5 \times (xy)^6$ का मान ज्ञात कीजिये

$(xy)^5 \times (xy)^6 = (xy)^{5 + 6} = (xy)^11$

उदाहरण 3: $2^5 \times 2^2 \times 2^7$ का मान ज्ञात कीजिये

$2^5 \times 2^2 \times 2^7 = 2^{5 + 2 + 7} = 2^14$

घातांक का भागफल नियम

घातांक का भागफल नियम बताता है कि यदि $a^m$ और $a^n$ दो घातांक हैं तो $a^m$ और $a^n$ का भागफल $a^{m – n}$ के बराबर है, अर्थात। जब समान आधारों के घातांकों को विभाजित किया जाता है तो परिणामी घातांक की घात गुणनफल में घातांकों की घातों के अंतर के बराबर होती है।

घातांक का भागफल नियम $a^m \div a^n = a^{m – n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

घातांक के भागफल नियम का प्रमाण

$a^m = a \times a \times a \times a … \times a (m \text{ times})$

$a^n = a \times a \times a \times a … \times a (n \text{ times})$

$m > n$ पर विचार करें, फिर $a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n}$

$= \frac{a \times a \times a \times a … \times a (m \text{ times})}{a \times a \times a \times a … \times a (n \text{ times})}$

$= \frac{a \times a \times a \times a … \times a ((m – n) \text{ times}) \times a \times a \times a \times a … \times a (n \text{ times}) }{a \times a \times a \times a … \times a (n \text{ times})}$

$= a \times a \times a \times a … \times a ((m – n) \text{ times})$

$=> a^m \div a^n = a^{m – n}$

घातांक के भागफल नियम के उदाहरण

उदाहरण 1: $7^5 \div 7^2$ का मान ज्ञात कीजिये

$7^5 \div 7^2 = \frac{7^5}{7^2} = 7^{5 – 2} = 7^3$

उदाहरण 2: $(mn)^8 \div (mn)^3$ का मान ज्ञात कीजिये

$(mn)^8 \div (mn)^3 = \frac{(mn)^8}{(mn)^3} = (mn)^{8 – 3} = (mn)^5$

शून्य घातांक का नियम

शून्य घातांक के नियम में कहा गया है कि एक घातांक का मूल्य $1$ है यदि उसकी घात $0$ है।

शून्य घातांक का नियम $a^0 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।

शून्य घातांक के नियम का प्रमाण

$a^m \div a^m = \frac{a^m}{a^m} = 1$ —————– (1) (किसी संख्या को स्वयं से विभाजित करने पर परिणाम $1$ आता है)

और $\frac{a^m}{a^m} = a^{m – m}$ ——————— (2) (घातांक का भागफल नियम)

(1) और (2) से

$a^{m – m} = 1 => a^0 = 1$

शून्य घातांक के नियम के उदाहरण

उदाहरण 1: $6^4 \times 6^2 \times 6^{-6}$ का मान ज्ञात कीजिये

$6^4 \times 6^2 \times 6^{-6} = 6^{4 + 2 + (-6)}$

$6^{4 + 2 + (-6)} = 6^{4 + 2 – 6} = 6^0 = 1$

उदाहरण 2: $2^0 + 3^0 + 4^0 + 5^0$ का मान ज्ञात कीजिये

$2^0 + 3^0 + 4^0 + 5^0 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

ऋणात्मक घातांक का नियम

ऋणात्मक घातांक का नियम बताता है कि $a^{-m}$ $a^m$ के व्युत्क्रम के बराबर है।

ऋणात्मक घातांक का नियम $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक घातांक के नियम का प्रमाण

$a^{-m} = a^{0 – m} = \frac{a^0}{a^m}$ (घातांक का भागफल नियम)

$\frac{a^0}{a^m} = \frac{1}{a^m}$

अतः $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$

ऋणात्मक घातांक के नियम के उदाहरण

उदाहरण 1: $7^4 \div 7^9$ का मान ज्ञात कीजिये

$7^4 \div 7^9 = \frac{7^4}{7^9} = 7^{4 – 9}$

$= 7^{-5} = \frac{1}{7^5}$

उदाहरण 2: $x^2y^7 \div x^6y^4$ का मान ज्ञात कीजिये

$x^2y^7 \div x^6y^4 = \frac{x^2y^7}{x^6y^4}$

$= \frac{x^2}{x^6} \times \frac{y^7}{y^4}$

$= x^{2 – 6} \times y^{7 – 4}$

$= x^{-4} \times y^{3}$

$= \frac{1}{x^4} \times y^3 = \frac{y^3}{x^4}$

घातांक की घातांक का प्रतिपादक नियम

घात की घात के प्रतिपादक नियम में कहा गया है कि जब एक प्रतिपादक को फिर से किसी अन्य घात तक बढ़ाया जाता है, तो परिणामी प्रतिपादक की घात दो घातों का गुणनफल होता है।

घात की घात का घातांक नियम $(a^m)^n = a^{mn}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

घातांक की घातांक के प्रतिपादक नियम का प्रमाण

$(a^m)^n = a^m \times a^m \times a^m …. \times a^m (n \text{ times})$

$= (a \times a \times a … \times a (m \text{ times})) \times (a \times a \times a … \times a (m \text{ times})) \times $

$(a \times a \times a … \times a (m \text{ times})) … \times (a \times a \times a … \times a (m \text{ times})) (n \text{ times})$

$= a \times a \times a … \times a (mn \text{ times}) = a^{mn}$

घातांक की घातांक के प्रतिपादक नियम के उदाहरण

उदाहरण 1: $(2^3)^2$ का मान ज्ञात कीजिये

$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2}$

$= 2^6 = 64$

उदाहरण 2: $(5^8)^0$ का मान ज्ञात कीजिये

$(5^8)^0 = 5^{8 \times 0}$

$5^0 = 1$

किसी घातांक के गुणनफल नियम

किसी गुणनफल की घात का घातांक नियम बताता है कि किसी गुणनफल के घातांक का मान व्यक्तिगत घातांक के गुणनफल के बराबर होता है।

किसी गुणनफल की घात का घातांक नियम $(ab)^m = a^m b^m$ के रूप में लिखा जा सकता है।

किसी घातांक के गुणनफल नियम का प्रमाण

$(ab)^m = (ab) \times (ab) \times (ab) … \times (ab) (m \text{ times})$

$= (a \times b) \times (a \times b) \times (a \times b) … \times (a \times b) (m \text{ times})$

$= (a \times a \times a … \times a (m \text{ times})) \times (b \times b \times b … \times b (n \text{ times}))$

$= a^m \times b^m $

किसी घातांक के गुणनफल नियम के उदाहरण

उदाहरण 1: 12^4$ का मान ज्ञात कीजिये

$12^4 = (4 \times 3)^4$

$=4^4 \times 3^4$

$= (2^2)^4 \times 3^4$

$= 2^8 \times 3^4$

$= 256 \times 81 = 20736$

भागफल के घातांक का नियम

भागफल की घात का घातांक नियम बताता है कि भागफल के घातांक का मान व्यक्तिगत घातांक के भागफल के बराबर होता है।

किसी भागफल की घात के घातांक नियम को $\left(\frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

भागफल के घातांक के नियम का प्रमाण

$\left(\frac{a}{b} \right)^m = \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} … \times \frac{a}{b} (m \text{ times})$ 

$= \frac{a \times a \times a … \times a (m \text{ times})}{b \times b \times b … \times b (m \text{ times})}$

$= \frac{a^m}{b^m}$

भागफल के घातांक के नियम के उदाहरण

उदाहरण 1: $\left( \frac{5}{2} \right)^3$ का मान ज्ञात कीजिये

$\left( \frac{5}{2} \right)^3 = \frac{5^3}{2^3}$

$= \frac{125}{8}$

उदाहरण 2: $\left( \frac{x^2y}{xy^2} \right)^3$ का मान ज्ञात कीजिये

$\left( \frac{x^2y}{xy^2} \right)^3 = \frac{(x^2y)^3}{(xy^2)^3}$

$= \frac{x^{2 \times 3} y^3}{x^3 \times y^{2 \times 3}}$

$= \frac{x^6 y^3}{x^3 \times y^6}$

$= \frac{x^6}{x^3} \times \frac{y^3}{y^6}$

$= x^{6 – 3} \times y^{3 – 6}$

$= x^3 \times y^{-3}$

$= x^3 \times \frac{1}{y^3} = \frac{x^3}{y^3}$

भिन्नात्मक सूचकांक के साथ घातांक

भिन्नात्मक घातांक को परिमेय घातांक भी कहा जाता है। भिन्नात्मक घातांक में, अंश वह घात है जिससे संख्या ली जानी चाहिए और हर वह मूल है जिससे संख्या ली जानी चाहिए।

भिन्नात्मक सूचकांक के साथ घातांक नियम घातांक को $a^{1}{n} = \sqrt[n]{a}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्नात्मक सूचकांक के साथ घातांक के उदाहरण

उदाहरण 1: $(\sqrt{5})^8$ का मान ज्ञात कीजिये

$(\sqrt{5})^8 = (5^{\frac{1}{2}})^8$

$= 5^{\frac{1}{2} \times 8}$

$= 5^4 = 625$

उदाहरण  2: $\frac{4}{2 \sqrt{2}}$ का मान ज्ञात कीजिये

$\frac{4}{2 \sqrt{2}} = \frac{2^2}{2 \times 2^{\frac{1}{2}}}$

$=\frac{2^2}{2^1 \times 2^{\frac{1}{2}}}$

$=\frac{2^2}{2^{1 + \frac{1}{2}}}$

$= \frac{2^2}{2^{\frac{3}{2}}}$

$= 2^{2 – \frac{3}{2}}$

$= 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिये
   1. $\left(\frac{1}{2} \right)^{-3}$
   2. $\left(\frac{2}{5} \right)^{-2}$
   3. $(-3)^{-5}$
   4. $\left(\frac{-3}{7}\right)^{-4} \times \left(\frac{-2}{3}\right)^2$
   5. $\left(\frac{-1}{2}\right)^{-3} \times \left(\frac{-1}{2}\right)^{-2}$ 
   6. $\left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \right)^{-1} \div 2^{-1}$
   7. $\left(\frac{1}{4} \right)^{-2} + \left(\frac{1}{2} \right)^{-2} + \left(\frac{1}{5} \right)^{-2}$
2. $\left(\frac{1}{3} \right)^{-1}$ को किस संख्या से गुणा किया जाए ताकि गुणनफल $\left(-\frac{3}{4} \right)^{-1}$  हो जाए ?

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

घातांक के नियम वे नियम हैं जो घातांक के सरलीकरण की प्रक्रिया को परिभाषित करते हैं। घातांक के आठ बुनियादी नियम हैं। ये हैं

• घातांक  का गुणन नियम: $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• घातांक का भागफल नियम: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• शून्य घातांक का नियम: $a^0 = 1$
• ऋणात्मक घातांक का नियम: $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$
• किसी घातांक की घातांक का प्रतिपादक नियम: $(a^m)^n = a^{mn}$
• किसी घातांक के गुणनफल नियम: $(ab)^m = a^mb^m$
• भागफल के घातांक का नियम: $\left(\frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m}$
• भिन्नात्मक सूचकांक के साथ घातांक: $x^{1}{n} = \sqrt[n]{x}$

अनुशंसित पाठन

• घातांक और घात के बीच अंतर