द्विघातीय असमिकाओं को कैसे हल करें

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द्विघातीय असामिकाएँ एक प्रकार के समीकरण होते हैं जिनमें एक बराबर चिह्न  $\left(= \right)$ नहीं होता है और इसमें 2 की उच्चतम डिग्री शामिल होती है। $5x – 3 \lt 0$ प्रकार की रैखिक असमिकाओं को हल करना काफी आसान है। लेकिन क्या आप जानते हैं कि $5x^{2} – 3x + 8 > 0$ प्रकार की द्विघातीय असमिकाओं को कैसे हल किया जाता है?

अंतराल विधि द्विघातीय असमिकाओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि है। द्विघातीय असमिकाओं को हल करना द्विघातीय समीकरणों को हल करने के समान है। अधिक जटिल असमिकाओं को हल करते समय हमें बस कुछ युक्तियों को ध्यान में रखना होता है।

समीकरण और असमिका के बीच अंतर

एक समीकरण एक स्टेटमेंट है जो दो गणितीय व्यंजकों की समानता दर्शाता है। दूसरी ओर, असमिका एक ऐसी स्टेटमेंट है जो $\lt$ (से कम) या $\gt$ (से अधिक के लिए) प्रतीकों का उपयोग करके यह दर्शाता है कि एक मात्रा दूसरे की तुलना में मूल्य में बड़ी या छोटी है।

उदाहरण के लिए, $5x – 7 = 0$ एक समीकरण है, जबकि $5x – 7 <0$ एक असमिका है।

समीकरण और असमिका के बीच मुख्य अंतर निम्नलिखित हैं।

• एक समीकरण प्रतीक = का उपयोग करता है जबकि एक असमिका < और > जैसे प्रतीकों का उपयोग करती है।
• एक समीकरण गणितीय स्टेटमेंट है जो दो व्यंजकों के बराबर मूल्य को दर्शाता है जबकि असमिका एक गणितीय स्टेटमेंट है जो यह दर्शाता है कि एक व्यंजक दूसरे से कम या अधिक है।
• एक समीकरण दो चरों की समानता को दर्शाता है जबकि असमिका दो चरों की असमानता को दर्शाती है।
• हालांकि दोनों के कई अलग-अलग समाधान हो सकते हैं, समीकरण का केवल एक ही उत्तर होता है जबकि एक असमिका के कई उत्तर होते हैं।

द्विघातीय असमिका क्या होती है?

द्विघातीय समीकरण $x$ में दूसरी डिग्री का एक बीजगणितीय समीकरण है। द्विघातीय समीकरण अपने मानक रूप  $ax^{2} + bx + c = 0$ में  लिखी जाती है, जहाँ $a$ और $b$ गुणांक हैं, $x$ चर है, और $c$ स्थिरांक है। एक समीकरण के द्विघातीय समीकरण होने की शर्त यह है कि $x^{2}$ का गुणांक एक शून्येतर पद $\left(a \ne 0 \right)$ है।

यदि किसी द्विघातीय समीकरण में, समानता चिह्न ‘$=$’ को असमानता चिह्न ‘$\lt$’, ‘$\gt$’’, ‘$\le$’’ या ‘$\ge$’’ से बदल दिया जाए, तो यह द्विघातीय असमिका बन जाता है।

द्विघातीय असमिका का सामान्य रूप निम्नलिखित में से कोई एक होता है:

• $ax^{2} + bx + c \lt 0$
• $ax^{2} + bx + c \le 0$
• $ax^{2} + bx + c \gt 0$
• $ax^{2} + bx + c \ge 0$

द्विघातीय असमिकाओं को कैसे हल करें?

द्विघातीय असमिकाओं को हल करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली दो विधियाँ हैं:

• वेवी कर्व विधि
• अंतराल विधि

वेवी कर्व विधि

वेवी कर्व विधि निम्नलिखित असमानताओं प्रकार की असमिकाओं को हल करने में सहायक होती हैं:

$\frac {F\left(x \right)}{G\left(x \right)} \gt 0$, $\frac {F\left(x \right)}{G\left(x \right)} \ge 0$, $\frac {F\left(x \right)}{G\left(x \right)} \lt 0$, $\frac {F\left(x \right)}{G\left(x \right)} \le 0$.

द्विघातीय असमिकाओं को हल करने के लिए स्टैप्स

स्टैप 1: दिए गए बहुपद समीकरण पर विचार करें और उसके सभी मूल ज्ञात करें $F \left(x \right)$ and $G \left(x \right)$, i.e., $H\left(x \right) = \frac {F \left(x \right)}{G \left(x \right)} = \frac {\left(x – \alpha_{1} \right)\left(x – \alpha_{2} \right)\left(x – \alpha_{3} \right)…\left(x – \alpha_{n} \right)}{\left(x – \beta_{1} \right)\left(x – \beta_{2} \right)\left(x – \beta_{3} \right)…\left(x – \beta_{n} \right)}$,

जहाँ, $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, …, \alpha_{n}$ are roots of $F\left(x \right)$ and $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, …, \beta_{n}$ are roots of $G\left(x \right)$.

स्टैप 2: $F \left(x \right)$ और $G \left(x \right)$ दोनों की मूलों की तुलना करें और $F \left(x \right)$ और $G \left(x \right)$ की सभी मूलों को  $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$,…, $\alpha_{m + n}$  बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें।

स्टैप  3: उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित करें। अब, संख्या रेखा के साथ $\alpha_{m + n}$ के दाईं ओर से शुरू होने वाला एक लहरदार वक्र (वेवी कर्व) बनाएं जो वैकल्पिक रूप से इन बिंदुओं पर अपनी स्थिति बदलता है।

नोट: $H \left(x \right)$ सभी अंतरालों के लिए एक धनात्मक फलन है जिसमें वक्र संख्या रेखा के ऊपर स्थित है और $H \left(x \right)$ सभी अंतरालों के लिए एक ऋणात्मक फलन है जिसमें वक्र संख्या रेखा के नीचे होता है।

नोट: दिए गए बहुपद समीकरण $H \left(x \right)$ के सभी शून्यों को संख्या रेखा पर रंगीन काले घेरे से चिह्नित किया जाना चाहिए, जबकि, फ़ंक्शन $H \left(x \right)$ के सभी असंतत बिंदुओं को चिह्नित किया जाना चाहिए। संख्या रेखा पर सफेद वृत्तों से अंकित होना चाहिए।

उदहारण

Ex1: दिए गए द्विघातीय असमिका को हल कीजिये

$f \left(x \right) = \frac {3x^{2} + 8  – 7x}{x^{2} + 1} \le 2$

दी गयी असमीका है $f \left(x \right) = \frac {3x^{2} + 8  – 7x}{x^{2} + 1} \le 2$

अर्थात, $f \left(x \right) = \frac {3x^{2} + 8  – 7x}{x^{2} + 1} – 2 \le 0$

$=> \frac {3x^{2} + 8 – 7x – 2x^{2} – 2}{x^{2} + 1} \le 0$

$=> \frac{x^{2} – 7x + 6}{x^{2} + 1} \le 0$

$=> \frac {\left(x – 6 \right)\left(x – 1 \right)}{x^{2} + 1} \le 0$

$x^{2} + 1$ की उपेक्षा करते हुए, क्योंकि $x \in R$.

इसलिए, $x \in [1, 6]$

अंतराल विधि

द्विघातीय असमिकाओं को हल करने के तरीके को समझने के लिए, आइए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

$x^{2} – 5x + 6 \lt 0$

द्विघातीय असमीका को हल करने का पहला कदम इसे इसके संगत समीकरण में बदलना।

$x^{2} – 5x + 6 \lt 0$ का संगत समीकरण $x^{2} – 5x + 6 = 0$ है।

अब इस द्विघातीय समीकरण को हल कीजिए। आप इसे हल करने के लिए किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं – गुणनखंड (मध्य पद को विभाजित करना), वर्ग को पूरा करना या द्विघात सूत्र का उपयोग करके।

आइए मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करें।

$x^{2} – 5x + 6 = 0 => x^{2} – 2x – 3x + 6 = 0 => x\left(x – 2 \right) – 3\left(x – 2\right) = 0$

$ => \left(x – 2 \right)\left(x – 3 \right) = 0 => x – 2 = 0$ or $x – 3 = 0 => x = 2$ or $x = 3$

तो, द्विघातीय समीकरण $x^{2} – 5x + 6 = 0$ के दो हल $x = 2$ और $x = 3$ हैं।

अब एक संख्या रेखा खींचिए और इन दो बिंदुओं $x = 2$ और $x = 3$ को आलेखित कीजिए।

आप देख सकते हैं कि अंक $x = 2$ और $x = 3$ संख्या रेखा को तीन क्षेत्रों में विभाजित करते हैं:

क्षेत्र 1: $\left(-\infty, 2 \right)$

क्षेत्र 2: $\left(2, 3 \right)$

क्षेत्र 3: $\left(3, \infty \right)$

इसके बाद इनमें से प्रत्येक क्षेत्र में एक यादृच्छिक बिंदु पर विचार करें। (आप कोई भी बिंदु चुन सकते हैं, लेकिन सुनिश्चित करें कि वे जटिल या लंबी गणनाओं की ओर नहीं ले जाते हैं)।

आइए निम्नलिखित बिंदुओं को चुनें:

क्षेत्र 1: $x = 0$ के लिए $\left(-\infty, 2 \right)$

क्षेत्र 2: $x = 2.5$ के लिए $\left(2, 3 \right)$ 

क्षेत्र 3: $x = 4$ के लिए $\left(3, \infty \right)$

अब इनमें से प्रत्येक बिंदु को दी गई द्विघातीय असमीका में एक-एक करके प्रतिस्थापित करें।

$x = 0$ को $x^{2} – 5x + 6 \lt 0$ में प्रतिस्थापित करने पर $=> 0^{2} – 5 \times 0 + 6 \lt 0 => 6 \lt 0$ (गलत है). इसलिए, $\left(-\infty, 2 \right)$ इसका परिणाम नहीं हो सकता है।

$x = 2.5$ को $x^{2} – 5x + 6 \lt 0$ में प्रतिस्थापित करने पर  $=> 2.5^{2} – 5 \times 2.5 + 6 \lt 0 => -0.25 \lt 0$ (सही है). इसलिए, $\left(2, 3 \right)$ इसका परिणाम इसका परिणाम है।

$x = 4$ को $x^{2} – 5x + 6 \lt 0$ में प्रतिस्थापित करने पर $ => 4^{2} – 5 \times 4 + 6 \lt 0 => 2 \lt 0$ (गलत है). इसलिए, $\left(3, \infty \right)$ इसका परिणाम नहीं हो सकता है।

अत: $x^{2} – 5x + 6 \lt 0$ का हल $\left(2, 3 \right)$ है।

द्विघातीय असमिकाओं को हल करने के लिए शॉर्टकट युक्तियाँ

यदि $ax^{2} + bx + c \gt 0$ and $\left(a \ne 0 \right)$:

केस 1: यदि $D \left(b^{2} – 4ac \right) \gt 0$ अर्थात द्विघातीय समीकरण $f \left(x \right)$ के दो अलग-अलग मूल हैं और $\alpha \lt \beta$ तो,

यदि $\alpha \gt 0$ then, $x \in \left(-\infty, \alpha \right) \cup \left(\alpha, \infty \right)$

और,

यदि $\alpha \lt 0$ then, $x \in \left(\alpha, \beta \right)$

केस 2: यदि $D \left(b^{2} – 4ac \right) = 0$, i.e. the quadratic equation $f \left(x \right)$ समान मूल हैं,  अर्थात $\alpha = \beta$ तो, 

यदि $\alpha \gt 0$ तो, $x \in \left(-\infty, \alpha \right) \cup \left(\alpha, \infty \right)$

और, 

यदि $\alpha \lt 0$ तो $x \in \phi$

केस 3: यदि $D \left(b^{2} – 4ac \right) < 0$, अर्थात द्विघातीय समीकरण की अवास्तविक मूल हैं तो, 

यदि $\alpha \gt 0$ तो, $x \in R$

और, 

यदि $\alpha \lt 0$ तो, $x \in \phi$

नोट: सामान्य तौर पर, यदि $\left(x – \alpha \right) \left(x – \beta \right) \ge 0$, तो $\alpha  \le x \le \beta$, $\left(x – \alpha \right) \left(x – \beta \right) \le 0$ और $\alpha \lt \beta$ then $\alpha \le x$ or $x \ge \beta$.

इसलिए, अंतराल विधि का उपयोग करके द्विघातीय असामिकाओं को जल्दी से हल किया जा सकता है।

असमिकाओं के कुछ मूल गुण

निम्नलिखित कुछ मूल गुण हैं:

अंतराल से संबंधित

दिया गया है $E \left(x \right) = \left(x – a \right) \left(x – b \right) \left(x – c \right) \left(x – d \right) \gt 0$

उपरोक्त असामिका के समाधान सेट को ज्ञात करने के लिए हमें उन अंतरालों की जांच करनी होगी जिनमें $E\left(x \right)$ शून्य से अधिक/कम है।

• क्लोज्ड इंटरवल: $x$ की सभी मानों का समुच्चय, जो $a$ और $b$ के बीच स्थित है और $a$ और $b$ के बराबर भी है, एक क्लोज्ड इंटरवल के रूप में जाना जाता है, अर्थात यदि $a \le x \le b$ तो इसे $x \in [a, b]$ द्वारा दर्शाया जाता है। 
• ओपन-क्लोज्ड इंटरवल: $x$ की सभी मानों का समुच्चय, जो $a$ और $b$ के बीच स्थित है, $b$ के बराबर है, परन्तु $a$ के बराबर नहीं है, एक ओपन-क्लोज्ड इंटरवल के रूप में जाना जाता है, अर्थात यदि $a \lt x \le b$ तो इसे $x \in (a, b]$ द्वारा दर्शाया जाता है। 
• क्लोज्ड-ओपन इंटरवल: $x$ की सभी मानों का समूह, जो $a$ और $b$ के बीच स्थित है, $a$ के बराबर है परन्तु $b$ के बराबर नहीं है, क्लोज्ड-ओपन इंटरवल कहलाता है, अर्थात यदि $a \le x \lt b$, तो इसे $x \in [a, b)$ द्वारा दर्शाया जाता है। 
• ओपन इंटरवल: $x$ की सभी मानों का समुच्चय, जो $a$ और $b$ के बीच स्थित है और $a$ और $b$ के बराबर नहीं है, एक ओपन इंटरवल के रूप में जाना जाता है, अर्थात यदि $a \lt x \lt b$ तो इसे $x \in (a, b)$ द्वारा दर्शाया जाता है।   

नोट:

• $x \ge a => [a, \infty)$
• $x \gt a => (a, \infty)$
• $x \le a => ( -\infty, a]$
• $x \lt a => ( -\infty, a)$

गुणों से संबंधित

• किसी भी असमीका में, असमीका के दोनों पक्षों में से किसी भी संख्या को जोड़ा या घटाया जा सकता है।
• पदों को असमीका के एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित किया जा सकता है। असमीका का चिन्ह नहीं बदलता है।
• यदि हम असमीका के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य धनात्मक संख्या से गुणा करते हैं, तो असमीका का चिह्न नहीं बदलता है, लेकिन यदि हम असमीका के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य ऋणात्मक संख्या से गुणा करते हैं, तो असमीका का चिह्न बदल जाता है।
• असमीका में, यदि किसी व्यंजक का चिन्ह ज्ञात नहीं है तो उसे क्रॉस मल्टीप्लय नहीं किया जा सकता है। इसी प्रकार व्यंजक के चिन्ह को जाने बिना भाग संभव नहीं है।

निष्कर्ष

रैखिक असमिकाओं के साथ प्रयोग की जाने वाली सामान्य विधि का उपयोग करके एक द्विघातीय असमीका को हल नहीं किया जाता है। द्विघातीय असमीका को हल करने के लिए, पहला कदम संबंधित द्विघातीय समीकरण का हल खोजना है, और फिर इन हलों का उपयोग  असमीका को हल करने के लिए किया जाता है।

अभयास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित द्विघातीय असमिकाओं को हल कीजिये 

• $x^{2} – 6x + 8 \lt 0$
• $x^{2} – 8x + 12 \ge 0$
• $-x^{2} – 6x – 5 \gt 0$
• $x^{2} – x – 12 \ge 0$
• $x^{2} + 2x – 8 \ge 0$
• $x^{2} – 2x – 15 \lt 0$

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