त्रिभुज की रचना कैसे करें (चरण, आरेखों और उदाहरणों के साथ)

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त्रिभुज तीन भुजाओं वाला 2D आकार होता है जो तीन रेखाओं से बना होता है जिन्हें इसकी भुजाएँ कहा जाता है। एक त्रिभुज में तीन शीर्ष और तीन कोण होते हैं।

त्रिभुजों की रचना ज्यामिति के आवश्यक भागों में से एक है।

आइए समझते हैं कि उदाहरणों के साथ त्रिभुज कैसे बनाया जाता है।

त्रिभुज की रचना कैसे करें?

एक त्रिभुज में 6 मूल तत्व होते हैं – 3 भुजाएँ और 3 कोण। किसी भी अद्वितीय त्रिभुज की रचना के लिए, आपको कम से कम 3 तत्वों का ज्ञान होना चाहिए।

एक अद्वितीय त्रिभुज की रचना के लिए निम्नलिखित मूलभूत आवश्यकताएँ हैं।

• तीनों भुजाएँ दी गई हैं (SSS – भुजा भुजा भुजा)
• दो भुजाएँ और सम्मिलित कोण दिए गए हैं (SAS – भुजा कोण भुजा)
• दो कोण और सम्मिलित भुजा दी गई है (ASA – कोण भुजा कोण)
• समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक भुजा की माप दी गई है (RHS – समकोण कर्ण भुजा)

आइए इन रचनाओं को विस्तार से समझते हैं।

SSS गुण से त्रिभुज की रचना कैसे करें?

जब त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई दी गई हो, तो आवश्यक त्रिभुज बनाने के स्टैप्स निम्नलिखित हैं।

चलिए $5 \text{cm}$, $6 \text{cm}$, और $7 \text{cm}$ की भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाते हैं।

स्टैप 1: त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के बराबर लंबाई का एक रेखा खंड $\text{AB}$ बनाएं

स्टैप 2: अब परकार और रूलर की सहायता से दूसरी भुजा की माप लें और एक चाप खींचें

स्टैप 3: फिर से तीसरी भुजा का माप लें और पिछले चाप को एक बिंदु $\text{C}$ पर काटें

स्टैप 4: अब $\text{C}$ को इंगित करने के लिए रेखा खंड के अंतिम बिंदुओं को जोड़ें और आवश्यक $\triangle \text{ABC}$ प्राप्त करें

SAS गुण से त्रिभुज की रचना कैसे करें?

जब दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया हो, तो त्रिभुज की रचना के स्टैप्स निम्नलिखित हैं।

चलिए $6 \text{cm}$, $8 \text{cm}$, और कोण $50^{\circ}$ सहित भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाते हैं।

स्टैप 1: रूलर का उपयोग करके त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के बराबर लंबाई का एक रेखा खंड $\text{AB}$ बनाएं

स्टैप 2: चांदा के केंद्र को एक रेखा खंड के एक छोर पर रखें (मान लें $\text{A}$) और दिए गए कोण को मापें। बिंदुओं से जुड़ें और एक किरण बनाएं, जैसे कि किरण रेखा खंड के करीब हो $\text{AB}$

स्टैप 3: प्रकार और रूलर का उपयोग करके त्रिभुज की दूसरी दी गई भुजा का माप लें

स्टैप 4: प्रकार को $\text{A}$ बिंदु पर रखें और किरण को दूसरे बिंदु, $\text{C}$ पर काटें

स्टैप 5: रेखा खंड के दूसरे छोर को जोड़ें, यानी, बिंदु $\text{B}$ को बिंदु $\text{C}$ से

और इस प्रकार $ \triangle \text{ABC}$ बन गया।

ASA गुण के साथ त्रिभुज की रचना कैसे करें

$\text{ASA}$ गुण का  उपयोग करके त्रिभुज बनाने के लिए निम्नलिखित स्टैप्स हैं।

आइए $30^{\circ}$, $50^{\circ}$ कोणों के साथ और 7 सेमी भुजा सहित एक त्रिभुज बनाएं।

स्टैप 1: रूलर का उपयोग करके त्रिभुज की दी गई भुजा के बराबर लंबाई का एक रेखाखंड $\text{AB}$ बनाएं

स्टैप 2: रेखा खंड के एक अंत बिंदु पर (मान लीजिए $\text{A}$) दिए गए कोणों में से एक को मापें और एक किरण $\text{AR}$ खींचें

स्टैप 3: रेखा खंड के दूसरे समापन बिंदु पर (यानी, $\text{B}$) एक चांदा का उपयोग करके दूसरे कोण को मापें और किरण $\text{BQ}$ खींचें, जैसे कि यह पिछली किरण को एक बिंदु $\text{P}$ पर काटता है

स्टैप 4: आवश्यक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए पिछले बिंदु $\text{P}$, $\text{AB}$ के दोनों समापन बिंदुओं $\text{A}$ और $\text{B}$ के साथ जोड़ें

RHS गुण से त्रिभुज की रचना कैसे करें

जब कर्ण भुजा और समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं में से कोई एक दी गई हो, तो यह $\text{RHS}$ गुण होता है। $\text{RHS}$ गुण वाला त्रिभुज बनाने के लिए निम्नलिखित स्टैप्स हैं।

आइए $13 \text{cm}$ के कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाएं और दूसरी भुजा $5 \text{cm}$ के बराबर।

स्टैप 1: रेखा खंड $\text{AB}$ बनाएं, जो दूसरी भुजा के माप के बराबर हो  

स्टैप  2: एक समापन बिंदु पर, मान लीजिए रेखा खंड $\text{AB}$, के कोण को $90^{\circ}$ के बराबर मापें और एक किरण $\text{AR}$ बनाएं

स्टैप  3: कर्ण की लंबाई को मापें और किरण $\text{AR}$ को एक बिंदु $\text{P}$ पर काटने के लिए एक चाप बनाएं

स्टैप  4: आवश्यक समकोण त्रिभुज प्राप्त करने के लिए बिंदुओं $\text{P}$ और $\text{B}$ को मिलाएं

त्रिभुज की रचना कैसे करें – विशेष परिस्थितियाँ

सामान्य त्रिभुजों की रचना के चरणों को समझने के बाद, आइए अब यह समझें कि विशेष त्रिभुजों की रचना कैसे की जाती है

• दो भुजाओं का योग दिया गया है
• दो भुजाओं के बीच अंतर दिया गया है 

आधार कोण और अन्य दो भुजाओं के योग से त्रिभुज की रचना कैसे करें?

आइए अब एक त्रिभुज की रचना की प्रक्रिया को समझते हैं जहाँ एक त्रिभुज का आधार, उसका आधार कोण और अन्य दो भुजाओं का योग दिया जाता है।

$\triangle \text{ABC}$ बनाने के लिए आधार $\text{BC}$, आधार कोण $\angle \text{B}$ और अन्य दो भुजाओं का योग, अर्थात  $\text{AB} + \text{AC}$ दिए गए हैं, रचना के निम्नलिखित स्टैप्स का उपयोग किया जाता है।

आइए $\text{BC} = 7 \text{cm}$, $\angle \text{B} = 75^{\circ}$ और $\text{AB} + \text{AC} = 13 \text{cm}$ के साथ एक त्रिभुज बनाएं। 

स्टैप 1: दिए गए अनुसार $\triangle \text{ABC}$ का आधार $\text{BC}$ बनाएं, और $\text{B}$ पर दिए गए माप का $\angle \text{XBC}$ बनाएं। 

स्टैप 2: परकार को बिंदु $\text{B}$ पर रखते हुए किरण $\text{BX}$ से एक चाप काट बिंदु $\text{P  }$ पर लें ताकि इसकी लंबाई $\text{AB} + \text{AC}$ और इसे $\text{C}$ से जोड़ें

स्टैप 3: अब $\angle \text{BPC}$ मापें और $\text{C}$ से, $\angle \text{BPC}$ के बराबर कोण बनाएं

आधार कोण के साथ त्रिभुज और अन्य दो भुजाओं के बीच का अंतर के साथ की रचना कैसे करें?

आइए अब एक त्रिभुज के निर्माण की प्रक्रिया को समझते हैं जहाँ एक त्रिभुज का आधार, उसका आधार कोण और अन्य दो भुजाओं के बीच का अंतर दिया जाता है।

$\triangle \text{ABC}$ बनाने के लिए जिसका आधार $\text{BC}$, आधार कोण $\angle \text{B}$ और अन्य दो भुजाओं का अंतर, अर्थात $\text{AB} – \ text{AC}$ या $\text{AC} – \text{AB}$ दिया गया हो, तो त्रिभुजों की रचना के लिए ये दो स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं

• $\text{AB} \gt \text{AC}$
• $\text{AC} \gt \text{AB}$

इन दो केसेस के लिए रचना के निम्नलिखित चरणों का पालन किया जाता है:

रचना के स्टैप्स जब $\text{AB} \gt \text{AC}$

स्टैप  1: दिए गए अनुसार $\triangle \text{ABC}$ का आधार $\text{BC}$ बनाएं और दिखाए गए चित्र के अनुसार B पर आवश्यक माप का $\angle \text{XBC }$ बनाएं।

स्टैप 2: किरण से, $\text{BX}$ बिंदु $\text{P}$ पर $\text{AB} – \text{AC}$ के बराबर एक चाप काटता है और इसे $\text{C}$ से जोड़ता है जैसा कि दिखाया गया है

स्टैप 3: $\text{PC}$ का लंब समद्विभाजक बनाएं और इसे $\text{BX}$ को बिंदु $\text{A}$ पर प्रतिच्छेद करने दें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

स्टैप 4: $\text{AC}$ को मिलाइए, $\triangle \text{ABC}$ आवश्यक त्रिभुज है

रचना के स्टैप्स जब $\text{AC} \gt \text{AB}$

स्टैप 1: दिए गए अनुसार $\triangle \text{ABC}$ का आधार $\text{BC}$ बनाएं और दिखाए गए अनुसार $\text{B}$ पर आवश्यक माप का $\angle \text{XBC}$ बनाएं

स्टैप 2: किरण $\text{BX}$ पर बिंदु $\text{P}$ पर $\text{AB} – \text{AC}$ के बराबर एक चाप काटें और इसे $\text{C}$ से मिला दें। इस केस में, $\text{P}$ किरण $\text{BX}$ के विपरीत दिशा में स्थित होगा। $\text{PC}$ का लम्ब समद्विभाजक खींचिए और मान लीजिए कि यह $\text{BX}$ को बिंदु $\text{A}$ पर काटता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

स्टैप 3: बिंदुओं $\text{A}$ और $\text{C}$ को मिलाइए, और $\triangle \text{ABC}$ आवश्यक त्रिभुज है। 

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. एक $\triangle \text{PQR}$ बनाएँ जिसमें $\text{PQ} = 5.4 \text{cm}$, $\angle \text{Q} = 60^{\circ}$ और $\text{PR} – \text{PQ} = 2.3 \text{cm}$।
2. $\triangle \text{XYZ}$ बनाएं जिसमें $\angle \text{Y} = 45^{\circ}$, $\angle \text{Z} = 75^{\circ}$ और $\text {XY} + \text{YZ} + \text{ZX} = 12 \text{cm}$। 
3. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका मान $3.8 \text{cm}$ हो और कर्ण $5.6 \text{cm}$ हो।
4. एक $\triangle \text{ABC}$ बनाएँ जिसमें $\angle \text{B} = 60^{\circ}$, $\angle \text{C} = 30^{\circ}$ और लंबाई शीर्ष से लंबवत $\text{A}$ $5.3 \text{cm}$ है।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

त्रिभुजों के सभी संबंधित गुणों पर विचार करते हुए विशिष्ट आयामों के साथ एक त्रिभुज बनाना त्रिभुज की रचना कहलाता है। आप रूलर, परकार  या चाँदे का उपयोग करके एक अद्वितीय त्रिभुज की रचना कर सकते हैं। त्रिभुजों की रचना के लिए उपयोग किए जाने वाले मूल मानदंड SSS, SAS, ASA और RHS मानदंड हैं।

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