बहुपदों का गुणनखंड प्रमेय – परिभाषा, उपपत्ति और उदाहरण

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बहुपद जो विशेष प्रकार के बीजगणितीय व्यंजक हैं, बहुपद समीकरण बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जो गणित में सरल से जटिल समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को कूटबद्ध करते हैं; उनका उपयोग बहुपद फलन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जिसका उपयोग कलन और संख्यात्मक विश्लेषण में अन्य फलन का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

आप बहुपदों पर चार गणितीय संक्रियाएँ – योग, व्यवकलन, गुणन और भाग कर सकते हैं। गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग बहुपद का गुणनखण्ड करने और बहुपद के मूल ज्ञात करने में किया जाता है। आइए समझते हैं कि बहुपद का गुणनखंड प्रमेय क्या है और इसका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए कैसे किया जाता है।

बहुपद का गुणनखंड प्रमेय क्या है?

गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग बहुपदों के गुणनखण्ड करने और बहुपदों के मूल ज्ञात करने के लिए किया जाता है। यह किसी दिए गए बहुपद समीकरण से सभी ज्ञात शून्याकों को हटाकर और सभी अज्ञात शून्याकों को छोड़कर प्रक्रिया को आसान बनाता है।

गुणनखंड प्रमेय बताता है कि यदि $f(x)$ $n$ घात का एक बहुपद है जो $1$ से अधिक या उसके बराबर है, और $a$ कोई वास्तविक संख्या है, तो $(x – a)$ का एक गुणनखंड है $f(x)$ यदि $f(a) = 0$।

दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि $(x – a)$ f(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $f(a) = 0$।

यह प्रमेय एक बहुपद के गुणनखंड में सहायक होता है।

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करने के स्टैप्स

बहुपदों के गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करने के स्टैप्स निम्नलिखित हैं।

स्टैप 1: दिए गए द्विपद $(x – a)$ द्वारा दिए गए बहुपद $p(x)$ को विभाजित करने के लिए बहुपद विधि के सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करें

स्टैप 2: विभाजन पूरा होने के बाद, पुष्टि करें कि क्या शेषफल  $0$ है। यदि शेषफल शून्य नहीं है, तो इसका मतलब है कि $(x – a)$ p(x)$ का गुणनखंड नहीं है।

स्टैप 3: विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, दिए गए बहुपद को $(x – a)$ और भागफल $q(x)$ के गुणनफल के रूप में लिखें।

स्टैप 4: यदि यह संभव है, तो भागफल का और गुणनखण्ड करें।

स्टैप 5: दिए गए बहुपद को उसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

गुणनखंड प्रमेय का उपपत्ति

विधि 1

आइए पहले एक बहुपद $p(x)$ पर विचार करें जिसे $(x – a)$ से विभाजित किया जा रहा है यदि केवल $p(a) = 0$। विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके, दिए गए बहुपद को उसके भाजक और भागफल के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:

भाज्य = (भाजक $\times$ भागफल ) + शेषफल

$=>xp(x) = (x – a) q(x) + \text{ remainder}$. यहाँ, $p(x)$ भाज्य है, $(x – a)$ भाजक है, और $q(x)$ भागफल है।

शेषफल प्रमेय से, हम पाते हैं:

$p(x) = (x – a) q(x) + p(a)$

यदि हम $p(a) = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं तो शेषफल $0$ होता है,

$=> p(x) = (x – a) q(x) + 0$

$=> p(x) = (x – a) q(x)$

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि $(x – a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है। यहां हम देख सकते हैं कि गुणनखंड प्रमेय वास्तव में शेषफल प्रमेय का परिणाम है, जो बताता है कि एक बहुपद $p(x)$ $(x – a)$ का एक गुणनखंड है, यदि और केवल यदि, $a$ एक मूल है यानी $p(a) = 0$।

विधि 2

आइए पहले एक बहुपद $p(x)$ पर विचार करें जिसे $(x – a)$ से विभाजित किया जा रहा है यदि केवल $p(a) = 0$। विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके, दिए गए बहुपद को उसके भाजक और भागफल के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:

भाज्य = (भाजक $\times$ भागफल ) + शेषफल

$p(x) = (x – a)q(x)+ p(a)$

यदि $(x – a)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है, तो शेषफल शून्य होना चाहिए।

$(x – a)$ वास्तव में $p(x)$ को विभाजित करता है

इसलिए, $p(a)=0$।

निम्नलिखित कथन किसी भी बहुपद $p(x)$ के समतुल्य हैं

• शेषफल शून्य है जब $p(x)$ को $(x – a)$ से बिल्कुल विभाजित होता है
• $(x – a)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है
• $a$ $p(x)$ का हल है
• $a$ बहुपद $p(x)$ का एक शून्याक है, अर्थात $p(a) = 0$

उदाहरण

Ex 1: निर्धारित करें कि क्या $(x + 1)$ बहुपद $6x^4 + 7x^3 – 5x – 4$ का एक गुणनखंड है।

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $p(a) = 0$, तो $(x – a)$p(x)$ का एक गुणनखंड है

माना $p(x) = 6x^4 + 7x^3 – 5x – 4$ और $(x – a) = (x + 1)$।

इसलिए, $a = -1$

इस प्रकार, $p(-1)  = 6(-1)^4 + 7(-1)^3 – 5(-1) – 4$

$= 6 – 7 + 5 – 4$

$=>p(-1) = 0$

इसलिए, $(x + 1)$ बहुपद $6x^4 + 7x^3 – 5x – 4$ का एक गुणनखंड है।

Ex 2: निर्धारित करें कि क्या $(x + 1)$ बहुपद $2x^4 + 9x^3 + 2x^2 + 10x + 15$ का एक गुणनखंड है।

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $p(a) = 0$, तो $(x – a)$p(x)$ का एक गुणनखंड है

माना $p(x) = 2x^4 + 9x^3 + 2x^2 + 10x + 15$ और $(x – a) = (x + 1)$।

इसलिए, $a = -1$

इस प्रकार,  $p(-1)  = 2(-1)^4 + 9(-1)^3 + 2(-1)^2 + 10(-1) + 15$

$= 2 – 9 + 2 – 10 + 15$

$=>p(-1) = 0$

इसलिए, $(x + 1)$ बहुपद $2x^4 + 9x^3 + 2x^2 + 10x + 15$ का एक गुणनखंड है।

Ex 3: निर्धारित करें कि क्या $(2x + 1)$ बहुपद $4x^3 + 4x^2 – x – 1$ का एक गुणनखंड है।

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $p(a) = 0$, तो $(x – a)$p(x)$ का एक गुणनखंड है

माना $p(x) = 4x^3 + 4x^2 – x – 1$ and $(x – a) = (2x + 1)$.

$2x + 1 = 0 => 2x = – 1 => x = -\frac{1}{2}$ 

इसलिए, $a = -\frac{1}{2}$

अतः, $p(-\frac{1}{2})  = 4(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 – (-\frac{1}{2}) – 1$

$= 4(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4})^2 +\frac{1}{2} – 1$

$ = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} – 1$

$=>p(-1) = 0$

इसलिए, $(2x + 1)$ बहुपद $4x^3 + 4x^2 – x – 1$ का एक गुणनखंड है।

Ex 4: $m$ का मान निर्धारित करें यदि $(x + 3)$ बहुपद $x^3 – 3x^2 – mx + 24$ का एक गुणनखंड है

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $p(a) = 0$, तो $(x – a)$p(x)$ का एक गुणनखंड है

माना $p(x) = x^3 – 3x^2 – mx + 24$ and $(x – a) = (x + 3)$.

इसलिए, $a = -3$

इसलिए, $p(-3)  = (-3)^3 – 3(-3)^2 – m(-3) + 24$

$= -27 – 3(9) + 3m + 24$

$= -27 – 27 + 3m + 24$

$=>p(-1) = -30 + 3m$

अतः, $p(-1) = 0 => -30 + 3m = 0 => 3m = 30 => m = \frac{30}{3} => m = 10$

Ex 5: दिया गया है कि $f(x) = 2x^{3} – 7x^{2} – 10x + 32$। यह दर्शाने के लिए गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करें कि $(x – 2)$ $f(x)$ का एक गुणनखंड है। $f(x)$ का पूरी तरह से गुणनखंडन करें।

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $f(a) = 0$, तो $(x – a)$ f(x)$ का एक गुणनखंड है

$f(x) = 2x^{3} – 7x^{2} – 10x + 32$

माना $(x – a) = (x – 2) => a = 2$

इसलिए, $f(2) = 2(2^3) – 7(2^2) – 10(2) + 32 = 16 – 28 – 20 + 32 = 0$

सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग करके $f(x) = 2x^{3} – 7x^{2} – 10x + 32$ को $(x – 2)$ से विभाजित करने पर, हम पाते हैं

इसलिए, $2x^3 – 7x^2 – 10x + 32 = (x – 2)(2x^2 – 3x – 16)$

अब, विचार करें $2x^2 – 3x – 16$

पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं $2x^2 – 3x – 16 = 2(x^2 – \frac{3}{2}x – 8)$

$ = 2(x^2 – 2 \times x \times \frac{3}{4} – 8)$

$ = 2(x^2 – 2 \times x \times \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 – (\frac{3}{4})^2 – 8)$

$ = 2(x^2 – 2 \times x \times \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 – \frac{9}{16} – 8)$

$ = 2(x^2 – 2 \times x \times \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 – \frac{137}{16})$

$ = 2(x – \frac{3}{4})^2 – \frac{137}{16}$

इसलिए, $2(x – \frac{3}{4})^2 – \frac{137}{16} = 0$

$=> 2(x – \frac{3}{4})^2 – \frac{137}{16} = 0$

$=> 2(x – \frac{3}{4})^2 = \frac{137}{16}$ 

$=> (x – \frac{3}{4})^2 = \frac{137}{32}$

$=> x – \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{137}}{4\sqrt{2}}$

$=> x – \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{274}}{8}$

$=> x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{274}}{8}$

$=> x = \frac{6 \pm \sqrt{274}}{8}$

$=> x = \frac{6 + \sqrt{274}}{8}$ and $x = \frac{6 – \sqrt{274}}{8}$

इसलिए, $2x^2 – 3x – 16 = \left(x – \frac{6 + \sqrt{274}}{8} \right) \left(x – \frac{6 – \sqrt{274}}{8} \right)$

अतः, $2x^{3} – 7x^{2} – 10x + 32 = (x – 2)\left(x – \frac{6 + \sqrt{274}}{8} \right) \left(x – \frac{6 – \sqrt{274}}{8} \right)$

गुणनखंड प्रमेय और शेषफल प्रमेय के बीच अंतर

गुणनखंड प्रमेय और शेषफल प्रमेय के बीच अंतर निम्नलिखित हैं:

गुणनखंड प्रमेय के बारे में याद रखने योग्य बातें

• गुणनखंड प्रमेय मुख्य रूप से बहुपदों का गुणनखंडन करने और उस बहुपद की $n$ मूलों को ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है
• वास्तविक जीवन में, पैसे का आदान-प्रदान करने, किसी भी मात्रा को बराबर टुकड़ों में विभाजित करने, समय को समझने और कीमतों की तुलना करने में गुणनखंड उपयोगी है
• गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, $(x – a)$ को $n \ge 1$ की घात वाले बहुपद $p(x)$ का गुणनखंड माना जा सकता है, यदि और केवल यदि $p(a) = 0$

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निर्धारित करें कि क्या $(x +1)$ निम्नलिखित बहुपदों का एक गुणनखंड है।
   • $3x^3 + 8x^2 – 6x – 5$
   • $x^3 – 14x^2 + 3x + 12$
2. $f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 39x + 20$ दिया गया है। यह दर्शाने के लिए गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करें कि $(x + 4)$ f(x)$ का एक गुणनखंड  है। $f(x)$ का पूरी तरह से गुणनखंडन करें।
3. $f(x) = 2x^{3} – 7x^{2} – 5x + 4$ दिया है। यह दर्शाने के लिए गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करें कि $(x + 1)$ $f(x)$ का एक गुणनखंड है। $f(x)$ का पूरी तरह से गुणनखंडन करें।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

गुणनखंड प्रमेय बताता है कि यदि $f(x)$ $n$ घात का एक बहुपद है जो $1$ से अधिक या उसके बराबर है, और $a$ कोई वास्तविक संख्या है, तो $(x – a)$ का एक गुणनखंड है $f(x)$ यदि $f(a) = 0$। गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग बहुपदों के गुणनखण्ड करने और बहुपदों के मूल ज्ञात करने के लिए किया जाता है। यह किसी दिए गए बहुपद समीकरण से सभी ज्ञात शून्याकों को हटाकर और सभी अज्ञात शून्याकों को छोड़कर प्रक्रिया को आसान बनाता है।

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