बीजगणितीय व्यंजकों का भाग (विधियों और उदाहरणों के साथ)

This post is also available in: English

गणित में, योग, व्यवकलन, गुणन और भाग चार बुनियादी संक्रियाएँ हैं। जैसे हम संख्याओं को विभाजित करते हैं वैसे ही हम बीजगणितीय व्यंजकों का भी विभाजन कर सकते हैं। योग और व्यवकलन में, हम केवल समान पदों को जोड़ या घटा सकते हैं। परन्तु, बीजगणितीय व्यंजकों के भाग में, भाग लेने वाले पदों का समान पद होने की आवश्यकता नहीं है। हम दो या दो से अधिक समान पदों और असमान पदों का भाग कर सकते हैं।

आइए बीजगणितीय व्यंजकों को चरणों और उदाहरणों से विभाजित करने की विधियों को समझते हैं।

बीजीय व्यंजकों का भाग क्या है?

बीजगणितीय व्यंजकों का भाग दो दिए गए व्यंजकों को चरों और स्थिरांकों से विभाजित करने की एक विधि है। बीजगणितीय व्यंजकों के विभाजन  में शामिल सामान्य प्रक्रिया है

• पदों के गुणांकों को विभाजित करें
• समान आधार वाले चरों की घात घटायें
• समान और असमान पदों का बीजगणितीय योग प्राप्त करें

उदाहरण के लिए,  $32x^{6} \div 4x^{2} = \left(32 \div 4 \right) \left(x^{6} \div x^{2} \right) = 8x^{6 – 2} = 8x^4$

गुणांकों का भाग करते समय, पूर्णांकों के विभाजन के सामान्य नियमों का पालन किया जाता है।

• $\text{Positive} \div \text{Positive} = \text{Positive}$, i.e., $+ \div + = +$
• $\text{Positive} \div \text{Negative} = \text{Negative}$, i.e., $+ \div – = -$
• $\text{Negative} \div \text{Positive} = \text{Negative}$, i.e., $- \div + = -$
• $\text{Negative} \div \text{Negative} = \text{Positive}$, i.e., $- \div – = +$

और, चरों का भाग करते समय, घातांकों के विभाजन नियम का पालन किया जाता है

• $a^{m} \div a^{n} = a^{m – n}$

बीजगणितीय व्यंजकों को कैसे भाग करें?

बीजगणितीय व्यंजकों को मोटे तौर पर दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है – एकपदी और बहुपद। बीजगणितीय व्यंजकों के प्रकार के आधार पर ये बीजगणितीय व्यंजकों के भाग के तीन भिन्न प्रकार हैं।

• एकपदी को एकपदी से विभाजित करना
• बहुपद को एक एकपदी से विभाजित करना
• बहुपद को बहुपद से विभाजित करना

एकपदी को एकपदी से विभाजित करना

एक बीजगणितीय व्यंजक को एकपदी माना जाता है जब इसमें केवल एक पद होता है, जैसे $2x^{3}$, $b^{4}$, आदि। एक एकपदी को दूसरे एकपदी से विभाजित करते समय, दोनों के गुणांक का भागफल की गणना की जाती है और चरों को अलग-अलग विभाजित किया जाता है।

आइए, एक एकपदी को दूसरे एकपदी से विभाजित करने की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों को लेते हैं।

उदाहरण

Ex 1: $15m^{5} \div 3m^{2}$

$15m^{5} \div 3m^{2} = \frac{15m^{5}}{3m^{2}} = \frac{15}{3} \times \frac{m^{5}}{m^{2}} = 5m^{5 – 2} = 5m^{3}$

Ex 2: $12x^{3}y^{5} \div 5xy^{2}$

$12x^{3}y^{5} \div 5xy^{2} = \frac{12}{5} \times \frac{x^{3}y^{5}}{xy^{2}} = \frac{12}{5} \times \frac{x^{3}y^{5}}{xy^{2}} = \frac{12}{5}x^{3 – 1}y^{5 – 2} = \frac{12}{5}x^{2}y^{3}$

Ex 3: $8bx^{2}y \div 2axy^{2}$

$8bx^{2}y \div 2axy^{2} = \frac {8}{2} \times \frac{bx^{2}y}{axy^{2}} = 4 \frac{bx}{ay}$

बहुपद को एकपदी से विभाजित करना

उनमें शामिल पदों की संख्या के आधार पर कई प्रकार के बहुपद होते हैं जैसे कि

• द्विपद जिसमें दो पद हों
• त्रिपद जिसमें तीन पद हों
• बहुपद जिसमें तीन से अधिक पद हों

इस प्रकार के व्यंजकों को सरल बनाने के लिए, हम एक समान गुणनखण्ड की तलाश करते हैं। एक समान गुणनखण्ड तब पाया जाता है जब हमारे पास समान संख्या या चर या अंश और हर दोनों में संख्या और चर का संयोजन होता है।

उदाहरण

आइए अब, एकपदी से बहुपदों को भाग देते हैं।

Ex 1: $\left(4y^{3} – 6y^{2} + 7y \right) \div 2y$

यहाँ, त्रिपद $4y^{3} – 6y^{2} + 7y$ है, और एकपदी $2y$ है।

त्रिपद में, समान गुणनखंड $2y$ लेने पर, यह बन जाता है – $4y^{3} – 6y^{2} + 7y = 2y \left(2y^{2} – 3y + \frac{7}{2} \right)$

अब, हम भाग संक्रिया करते हैं: $2y \left(2y^{2} – 3y + \frac{7}{2} \right) \div 2y = \frac{2y \left(2y^{2} – 3y + \frac{7}{2} \right)}{2y}$.

$2y$ को अंश और हर से काट दें, तो हमें $2y^{2} – 3y + \frac{7}{2}$ मिलता है

अतः, $\left(4y^{3} – 6y^{2} + 7y \right) \div 2y = 2y^{2} – 3y + \frac{7}{2}$.

Ex 2: $\left(2ay^{4} + 6by^{2} + 4aby \right) \div 2ab$

यहाँ, त्रिपद $2ay^{4} + 6 बटा^{2} + 4ax$ है, और एकपदी $2ab$ है।

त्रिपद में, समान गुणनखंड $2y$ लेने पर, यह बन जाता है:

$2ay^{4} + 6by^{2} + 4aby = 2y\left(ay^{3} + 3by + 2ab \right)$

अब, हम भाग संक्रिया करते हैं: $\left(2ay^{4} + 6by^{2} + 4aby \right) \div 2ab = \frac {2y\left(ay^{3} + 3by + 2ab \right)}{2y}$.

$2y$ को अंश और हर से काट दें, तो हमें मिलता है $ay^{3} + 3by + 2ab$

अतः, $\left(2ay^{4} + 6by^{2} + 4aby \right) \div 2ab = ay^{3} + 3by + 2ab$.

बहुपद को बहुपद से विभाजित करना

किसी बहुपद को किसी दूसरे बहुपद से विभाजित करते समय, दोनों बहुपदों से समान गुणनखंड लिए जाते हैं और फिर भागफल प्राप्त करने के लिए समान गुणनखंड को काट दिया जाता है।

जब एक बहुपद को दूसरे बहुपद से विभाजित किया जाता है तो भागफल ज्ञात करने के स्टैप्स हैं

स्टैप 1: दोनों बहुपदों का समान गुणनखंड ज्ञात करें।

स्टैप 2: समान गुणनखंड को रद्द करें।

स्टैप 3: भागफल शेष बहुपद है।

उदाहरण

आइए कुछ बहुपदों के उदाहरण द्वारा हम विभाजन संक्रिया को समझते हैं।

Ex 1: $\left(3x^{2} + 6x \right) \div (x + 2)$

यहाँ, दोनों बहुपद द्विपद हैं।

$3x^{2} + 6x$ में से समान गुणनखंड निकालने पर।

$3x^{2} + 6x = 3x \left(x + 2 \right)$.

अतः, $\left(3x^{2} + 6x \right) \div \left(x + 2 \right) = \frac{3x^{2} + 6x}{x + 2} = \frac{3x \left(x + 2 \right)}{x + 2} = 3x$.

Ex 2: $\left(6x^{2} + 8x + 2 \right) \div \left(2x + 2 \right)$

यहाँ, एक बहुपद त्रिपद है और दूसरा द्विपद है।

समान गुणनखंडों को हटाने पर।

बहुपद $6x^{2} + 8x + 2$ के लिए, $2x + 2$ समान गुणनखंड है।

तो, हमें $6x^{2} + 8x + 2 = \left(2x +2 \right) \left(3x + 1 \right)$ मिलता है

अब, $2x + 2$ को उनके बीच एक समान गुणनखंड के रूप में मानें।

अतः, $\left(6x^{2} + 8x + 2 \right) \div \left(2x + 2 \right) = \frac{\left(2x +2 \right) \left(3x + 1 \right)}{2x + 2}$.

अंश और हर से $2x + 2$ को हटा दें, तो हमें यह बहुपद मिलता है: $\left(6x^{2} + 8x + 2 \right) \div \left(2x + 2 \right) = 3x + 1$।

बीजगणितीय व्यंजकों के विभाजन के लिए युक्तियाँ

हम किसी भी बीजगणितीय पद को किसी अन्य बीजगणितीय पद से विभाजित कर सकते हैं। यह दो समान पदों का विभाजन या समान और असमान पदों का विभाजन हो सकता है।

• हम एक बीजगणितीय व्यंजक में समान पदों में चरों के क्रम की अवहेलना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $3a + 2b$, और, $9b + a$ दोनों समान पद हैं।
• हम किसी भी पद के संख्यात्मक गुणांक के रूप में $1$ लिखने की उपेक्षा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $xy$ $1xy$ के समान है।
• हम समान चरों के साथ एक लापता पद को $0$ से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, लापता पद के चर के आधार पर एक लापता पद को $0x$, $0y$, या $0xy$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित को विभाजित करें

• $9x^{2}$ by $3x$
• $7x^{5}$ by $2x^{2}$
• $12a^{2}b^{3}$ by $2ab$
• $15m^{2} + 5m$ by $5m + 1$
• $26a^{2} + 12a$ by $13a + 6$
• $15x^{2} + 11x + 2$ by $6x^{2} + 11x + 3$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

बीजगणितीय व्यंजकों का विभाजन दो दिए गए व्यंजकों को चरों और स्थिरांकों से विभाजित करने की एक विधि है। बीजगणितीय व्यंजकों के विभाजन में शामिल सामान्य प्रक्रिया समान गुणनखंडों को खोजना है, जिसे बाद में भागफल प्राप्त करने के लिए रद्द कर दिया जाता है।

अनुशंसित पाठन

• बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन (विधियों और उदाहरणों के साथ)
• बीजगणितीय व्यंजकों का योग (विधियों और उदाहरणों के साथ)
• बीजगणितीय व्यंजक क्या है (परिभाषा, सूत्र और उदाहरण)
• बीजगणित क्या है – परिभाषा, मूल बातें और उदाहरण
• गणित में पैटर्न क्या है (परिभाषा, प्रकार और उदाहरण)
• बीजगणितीय व्यंजकों का गुणन (विधियों और उदाहरणों के साथ)