विभिन्न रूपों और उदाहरणों के साथ द्विघात समीकरण की परिभाषा

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उनकी घात के आधार पर विभिन्न प्रकार के समीकरण हैं, जैसे रैखिक, द्विघात, घन, चतुर्थक, आदि। वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने में इनमें से प्रत्येक समीकरण का अपना महत्व है। उदाहरण के लिए, जब एक रॉकेट लॉन्च किया जाता है, तो इसका पथ द्विघात समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है।

द्विघात समीकरण घात $2$ के समीकरण हैं। आइए द्विघात समीकरण की परिभाषा, इसे हल करने की विधियों और प्रश्नों को हल करने में उनके उपयोग को समझें।

द्विघात समीकरण परिभाषा

द्विघात समीकरण घात $2$ वाले बहुपद समीकरण हैं जो $p\left(x \right) = ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में होते हैं जहाँ $a$, $b$, $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \ne 0$ हैं। यह एक द्विघात समीकरण का सामान्य रूप है जहाँ $a$ को अग्रणी गुणांक कहा जाता है और $c$ को $p\left(x \right)$ का निरपेक्ष पद कहा जाता है। द्विघात समीकरण को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान द्विघात समीकरण के मूल या शून्य हैं। द्विघात समीकरण के इन दो शून्य या जड़ों को $\alpha$ और $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।

द्विघात समीकरण तैयार करना

वास्तविक गणित की समस्याओं में, द्विघात समीकरणों को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जाता है जैसे कि

• $\left(x – 1 \right) \left(x + 2 \right) = 0$
•  $-x^{2} = -5x + 3$
• $2x \left(x + 1 \right) = 8x$
• $x^{3} = x \left(x^{2} + 2x – 1 \right)$
• $\frac {2}{x – 1} + \frac{3}{x + 2} = 1$

आगे बढ़ने से पहले इन सभी समीकरणों को द्विघात समीकरण के एक मानक रूप में बदलने की आवश्यकता होती है।

आइए वास्तविक दुनिया की समस्याओं से द्विघात समीकरण बनाने की प्रक्रिया को समझते हैं।

Ex 1: एक प्राकृतिक संख्या, जब $12$ बढ़ा दी जाती है, तो वह $160$ के व्युत्क्रम के बराबर हो जाती है। संख्या ज्ञात कीजिए।

माना एक प्राकृतिक संख्या $x$ है।

तब इसका व्युत्क्रम = $\frac{1}{x}$।

संख्या में $12$ की वृद्धि हुई = $x + 12$

$160$ व्युत्क्रम का गुणा = $160 \times \frac{1}{x} = \frac{160}{x}$

इसलिए,  $x + 12 = \frac{160}{x}$

$x + 12 = \frac{160}{x} => \left(x + 12 \right) \times x = 160 => x^{2} + 12x = 160 => x^{2} + 12x – 160 = 0$

Ex 2: एक समान गति से यात्रा करने वाली एक ट्रेन $360 \text{km}$ की दूरी तय करने में $48$ मिनट कम लेती यदि इसकी गति $5 \text{km/h}$ अधिक होती। ट्रेन की मूल गति ज्ञात कीजिए।

माना ट्रेन की वास्तविक गति = $x \text{km/h}$

दूरी = $360 \text{km}$

लिया गया सामान्य समय = $\frac{360}{x} \text{h}$ $\left(\text{Time = } \frac{\text{Distance}}{\text{Speed}} \right)$

ट्रेन की बढ़ी हुई गति = $\left(x + 5 \right) \text{km/h}$

बढ़ी हुई गति के साथ लिया गया समय = $\frac{360}{x + 5} \text{h}$

इसलिए,  $\frac{360}{x}  – \frac{360}{x + 5} = \frac{48}{60}$

$=>360\left(\frac{1}{x}  – \frac{1}{x + 5} \right) = \frac{4}{5}$

$=>360\left(\frac{x + 5 – x}{x\left(x + 5 \right)} \right) = \frac{4}{5}$

$=>\frac{5}{x\left(x + 5 \right)} = \frac{4}{5} \times \frac{1}{360}$

$=>\frac{5}{x\left(x + 5 \right)} = \frac{1}{450}$

$=>\frac{1}{x\left(x + 5 \right)} = \frac{1}{450} \times \frac{1}{5}$

$=>\frac{1}{x^{2} + 5x} = \frac{1}{2250}$

$=>x^{2} + 5x = 2250$

Ex 3: यदि ज़ेबा वास्तव में उससे $5$ वर्ष छोटी होती, तो उसकी आयु का वर्ग (वर्षों में) उसकी वास्तविक आयु के पाँच गुना से $11$ अधिक होता। अब उसकी उम्र क्या है?

माना ज़ेबा की वर्तमान आयु = $x$ वर्ष

फिर उम्र $5$ साल छोटी होने पर = $x – 5$ साल

$\left(x – 5 \right)^{2} = 5 \times x = x^{2} – 2 \times x \times 5 + 5^{2} = 5x$

$ =>x^{2} – 10x + 25 = 5x =>x^{2} – 10x + 25 – 5x = 0 => x^{2} – 15x + 25 = 0$

Ex 4: $2 \text{p.m.}$ के $t$ मिनट पर, घड़ी की मिनट की सूई को $3 \text{p.m.}$ दिखाने के लिए आवश्यक समय $\frac{t^{2}}{4}$ से $3$ मिनट कम पाया गया । $ t$ ज्ञात करें।

हम जानते हैं कि $2 \text{p.m.}$ और $3 \text{p.m}$ = 1 \text{h } = 60 \text{min}$ के बीच का समय

दिया गया है कि $t$ मिनट पर $2 \text{p.m.}$ घड़ी की मिनट की सूई को $3 \text{p.m.}$ दिखाने के लिए आवश्यक समय $\frac{t^ से $3$ मिनट कम पाया गया। {2}}{4}$ मिनट यानी,

$t + \frac{t^{2}}{4} – 3 = 60$

$=>4t + t^{2} – 12 = 240$

$=>t^{2} + 4t – 252 = 0$

Ex 5: एक विमान अपने निर्धारित समय से $30$ मिनट देरी से रवाना हुआ और $1500$ किमी दूर गंतव्य तक समय पर पहुंचने के लिए, उसे अपनी गति सामान्य गति से $100 \text{km/h}$ बढ़ानी पड़ी। इसकी सामान्य गति ज्ञात कीजिए।

हवाई जहाज़ द्वारा तय की गई दूरी = $1500 \text{km}$

सामान्य गति $s \text{km/h}$ होने दें

माना सामान्य समय $t \text{h}$ है

विमान $30$ मिनट देरी से रवाना हुआ और समय पर पहुंचा।

इसलिए, इस मामले में लिया गया समय = $\left (t – 0.5 \right) h$

गति में $100 \text{km/h}$ की वृद्धि हुई

इसलिए, इस मामले में गति = $\left(s + 100 \right) \text{km/h}$

$s \times t = 1500$ ——–(1)

$\left(s + 100 \right) \left(t – 0.5 \right) = 1500$ ———(2)

(1)से, $t = \frac{1500}{s}$

(2) में $t$ का मान प्रतिस्थापित करने पर

$\left(s + 100 \right) \left(\frac{1500}{s} – 0.5 \right) = 1500$

$=>\left(s + 100 \right) \left(\frac{1500 – 0.5s}{s}\right) = 1500$

$=>\left(s + 100 \right) \left(1500 – 0.5s\right) = 1500s$

$=>1500s – 0.5s^{2} + 150000 – 50s = 1500s$

$=>- 0.5s^{2} + 150000 – 50s = 0$

$=> s^{2} – 300000 + 100s = 0$

$=> s^{2} + 100s – 300000 = 0$

द्विघात समीकरण का मानक रूप क्या है?

द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ है, जहां

• $a$ $x^{2}$ का गुणांक है
• $b$ $x$ का गुणांक है
• $c$ स्थिरांक है

नोट:

• द्विघात (अंग्रेजी में क्वाड्रटिक) नाम “क्वाड” से आया है जिसका अर्थ है वर्ग क्योंकि चर का वर्ग हो जाता है ($x^{2})।
• एक द्विघात समीकरण में हमेशा दो शून्य या मूल होते हैं।
• शून्यांकों या मूलों की प्रकृति वास्तविक या काल्पनिक हो सकती है।

इस समीकरण को ‘द्विघात'(अंग्रेजी में क्वाड्रटिक)  कहा जाता है क्योंकि इसकी डिग्री $2$ है क्योंकि ‘क्वाड’ का अर्थ ‘वर्ग’ होता है।

द्विघात समीकरण के मानक रूप के अलावा, द्विघात समीकरण को अन्य रूपों में भी लिखा जा सकता है।

• वर्टेक्स फॉर्म: $a \left(x – h \right)^{2} + k = 0$
• इंटरसेप्ट फॉर्म: $a \left(x – p \right) \left(x – q \right) = 0$

आइए द्विघात समीकरण के मानक रूप के बारे में अधिक जानें और देखें कि द्विघात समीकरण के एक रूप को दूसरे रूप में कैसे परिवर्तित किया जाता है।

द्विघात समीकरण के मानक रूप को वर्टेक्स फॉर्म में परिवर्तित करना

द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ को शीर्ष रूप में परिवर्तित किया जा सकता है $a \left(x – h \right)^{2} + k = 0$ जहां $\left(h, k \right)$ द्विघात फलन $f\left(x \right) = a \left(x – h \right)^{2} + k \right) का शीर्ष है।

नोट: $a$ का मान दोनों समीकरणों में समान है।

माना, $y = ax^{2} + bx + c$

$=> y – c =  ax^{2} + bx$

$=> y – c =  a\left(x^{2} + \frac{b}{a}x \right)$

$=> y – c =  a\left(x^{2} + 2 \times x \times \frac{b}{2a} + \frac{b^{2}}{4a^{2}} – \frac{b^{2}}{4a^{2}}\right)$

$=> y – c =  a\left(x^{2} + 2 \times x \times \frac{b}{2a} + \frac{b^{2}}{4a^{2}} \right) – \frac{b^{2}}{4a}$

$=> y – c =  a\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} – \frac{b^{2}}{4a}$

$=> y – c +  \frac{b^{2}}{4a} =  a\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2}$

$=> y – \left(c –  \frac{b^{2}}{4a} \right) =  a\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2}$

$=> y – \left(\frac{4ac – b^{2}}{4a} \right) = a\left(x – \left(-\frac{b}{2a} \right) \right)$

यह $y – k = a\left(x – h \right)^{2}$ के रूप में है, जहाँ $k = \frac{4ac – b^{2}}{4a}$ और $h = – \frac{b}{2a}$ और इसे द्विघात समीकरण का शीर्ष रूप कहते हैं।

नोट: $\left(h, k \right) = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac – b^{2}}{4a}\right)$ शीर्ष के निर्देशांक हैं एक पैराबोला का।

द्विघात समीकरण के मानक रूप को अवरोधन रूप में परिवर्तित करना

एक द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ को इंटरसेप्ट फॉर्म में परिवर्तित किया जा सकता है $y = a\left(x – p \right) \left(x – q \right)$ , जहां $b = -a\left(p + q \right)$ और $c = pq$।

माना $y = ax^{2} + bx + c$

$=>y = a\left(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right)$

$\frac{b}{a}$ को $-\left(p + q \right)$ के रूप में विभाजित करने पर, जैसे कि $pq = \frac{c}{a}$

$y = a\left(x^{2} – (p + q)x + pq\right)$

$=>y = a\left(x^{2} – px – qx + pq\right)$

$=>y = a\left( x\left(x – p \right) – q\left(x – p \right)\right)$

$=>y = a \left(x – p \right) \left(x – q \right)$

द्विघात समीकरण में विविक्तकर क्या है?

द्विघात समीकरणों के मामले में विविक्तकर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और जड़ों की प्रकृति का पता लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। हालांकि किसी भी बहुपद के लिए विविक्तकर खोजना इतना आसान नहीं है, फिर भी द्विघात और घन समीकरणों का विविक्तकर निकालने के सूत्र हैं जो हमारे काम को आसान बनाते हैं।

गणित में बहुपद का विविक्तकर बहुपद के गुणांकों का फलन होता है। यह यह निर्धारित करने में मददगार है कि वास्तव में उन्हें खोजे बिना बहुपद समीकरण के किस प्रकार के समाधान हैं। यानी, यह समीकरण के समाधान (समान और असमान; वास्तविक और अवास्तविक) में विभेद करता है और इसलिए इसे “विवेचक” नाम दिया गया है। इसे आमतौर पर $\triangle$ या $D$ द्वारा दर्शाया जाता है। विवेचक का मान कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है (अर्थात, या तो धनात्मक, ऋणात्मक, या 0)।

द्विघात समीकरण $ax^{2} + bc + c = 0$ के लिए, विविक्तकर $\text{D or }\triangle = b^{2} – 4ac$ द्वारा दिया जाता है।

द्विघात समीकरणों से संबंधित सूत्र

• महत्वपूर्ण सूत्रों की निम्नलिखित सूची द्विघात समीकरणों को हल करने में सहायक है।
• अपने मानक रूप में द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ है
• द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = b^{2} – 4ac$ है
• $D \gt 0$ के लिए जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं
• $D = 0$ के लिए मूल वास्तविक और समान हैं
• $D \lt 0$ के लिए वास्तविक जड़ें मौजूद नहीं हैं, या जड़ें काल्पनिक हैं
• द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र है $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$
• एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग है $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
• द्विघात समीकरण के मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ है।
• द्विघात समीकरण जिसकी जड़ें $\alpha$ और $\beta$ हैं, वह है $x^{2} – \left(\alpha + \beta \right)x + \alpha \beta = 0$
• द्विघात समीकरणों के लिए पद $a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1} = 0$, और $a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_ {2} = 0$ के मूल समान हैं $\left(a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1} \right) \left(b_{1}c_{2} – b_{2) }c_{1} \right) = \left(a_{2}c_{1} – a_{1}c_{2} \right)^{2}$
• जब $a \gt 0$, द्विघात व्यंजक $f\left(x \right) = ax^{2} + bx + c$ का न्यूनतम मान $x = -\frac{b}{2a}$ पर होता है
• जब $a \lt 0$, द्विघात व्यंजक $f\left(x \right) = ax^{2} + bx + c$ का अधिकतम मान $x = -\frac{b}{2a}$ पर होता है
• किसी भी द्विघात फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।
• $a \gt 0$ के लिए द्विघात फलन $f\left(x \right) = ax^{2} + bx + c$ की सीमा $[-\frac{b^{2} – 4ac}{4a}, \infty)$है
• $a \lt 0$ के लिए द्विघात फलन $f\left(x \right) = ax^{2} + bx + c$ की सीमा है: $(-\infty, -\frac{b^{2} – 4ac} {4a})$

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित में कौन से द्विघात समीकरण हैं? 

• $\left(x – 1 \right) \left(x + 4 \right) = x^{2} + 1$
• $\left(x + 1 \right) \left(2x + 3 \right) = x^{2} + 2$
• $\left(2x + 1 \right) \left(3x – 4 \right) = 6x^{2} + 3$

2. क्या $-2x^{2} = \left(5 – x \right) \left(2x – \frac{2}{5} \right)$ एक द्विघात समीकरण है?
3. यदि $\frac{1}{2}$ समीकरण $x^{2} + kx – \frac{5}{4} = 0$ का एक मूल है, तो $k$ का मान क्या है?
4. द्विघात समीकरण $9x^{2} + \frac{3}{4}x – \sqrt{2} = 0$ को एक पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसमें क्या जोड़ा या घटाया जाना चाहिए?
5. द्विघात समीकरण $x^{2} – 4x + 3$ का विविक्तकर क्या है?
6. निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को शीर्ष रूप में बदलें

• $x^{2} – 3x + 5$
• $2x^{2} + 7x + 9$

7. निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को अवरोधन रूप में बदलें

• $2x^{2} – 12x + 5$
• $-3x^{2} – 15x + 9$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

द्विघात समीकरण घात $2$ वाले बहुपद समीकरण हैं जो $p\left(x \right) = ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में होते हैं जहाँ $a$, $b$, $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \ne 0$ हैं। यह एक द्विघात समीकरण का सामान्य रूप है जहाँ $a$ को अग्रणी गुणांक कहा जाता है और $c$ को $p\left(x \right)$ का निरपेक्ष पद कहा जाता है। द्विघात समीकरणों में दो शुन्यंक या मूल होते हैं जो कभी-कभी काल्पनिक संख्या भी हो सकते हैं।

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