किसी संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात करें? (सूत्र और उदाहरणों के साथ)

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आप एक वर्ग का आयतन ज्ञात करना जानते हैं $\left(\text{side} \right) \times \left(\text{side}\right) \times \left(\text{side} \right)$, जहां $\text{side}$ एक वर्ग के किनारे (या भुजा) की लंबाई है। यदि आप किसी घन के किनारे की लंबाई ज्ञात करना चाहते हैं जिसका आयतन ज्ञात है। आप यह कैसे करेंगे? ऐसे मामलों में, हम  संख्या का घनमूल ज्ञात करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि घन का आयतन $64 \text{cm}^3$ है, तो उसके किनारे (या भुजा) की लंबाई $4 \text{cm}$ होगी।

आइए समझते हैं कि किसी संख्या का घनमूल क्या है, किसी संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात करें, और किसी संख्या के घनमूल के गुण क्या हैं।

घनमूल क्या है?

जब भी किसी संख्या $a$ को तीन बार गुणा किया जाता है, तो परिणामी संख्या उस संख्या की घन संख्या कहलाती है। किसी संख्या $a$ के लिए घन संख्या को $a^{3}$ के रूप में दर्शाया जाता है और इसे “$a$-क्यूब्ड” (या) “$a$ से $3$ की घात” के रूप में पढ़ा जाता है।

अतः किसी भी संख्या का घनमूल एक अन्य संख्या होती है जिसे स्वयं से दो बार गुणा करने पर वह संख्या प्राप्त होती है जिसका घनमूल ज्ञात करना होता है।

उदाहरण के लिए, संख्या $4$। हम जानते हैं कि $4 \times 4 \times 4 = 64$। इसलिए, $64$ को $4$ का घन कहा जाता है। इसका मतलब है कि $4$ $64$ का घनमूल है और इसे $\sqrt[3]{64} = 4$ के रूप में लिखा जाता है।

सामान्य तौर पर, यदि $b$ $a$ का घनमूल है, तो $\sqrt[3]{a} = b$। रेडिकल साइन $\sqrt[3]{}$ किसी भी संख्या के लिए क्यूब रूट चिन्ह के रूप में प्रयोग किया जाता है, जिसमें चिन्ह के ऊपर बाईं ओर एक छोटा 3 लिखा होता है।

घनमूल को निरूपित करने का दूसरा तरीका है $\frac{1}{3}$ को किसी संख्या के घातांक के रूप में लिखना, अर्थात $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3 }}$.

घनमूल किसी संख्या के घन का प्रतिलोम संक्रिया है।

किसी संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात करें?

किसी भी वास्तविक संख्या का घनमूल या तो अभाज्य गुणनखंडन विधि या अनुमान विधि द्वारा प्राप्त किया जाता है, जब वह संख्या जिसका वर्गमूल ज्ञात करना होता है वह एक पूर्ण घन संख्या हो।

संख्याओं का घनमूल ज्ञात करने के लिए हम इन दो विधियों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं।

  • अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा घनमूल
  • अनुमान विधि द्वारा घनमूल

अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा घनमूल

इस विधि में जिस संख्या का घनमूल ज्ञात करना होता है, वह पूर्णतः उसके अभाज्य गुणनखंडों में हल हो जाता है। समान अभाज्य गुणनखंडों को इस प्रकार समूहीकृत किया जाता है कि तीन समान गुणनखंड एक समूह बनाते हैं। घनमूल को निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक समूह से एक गुणनखंड एकत्र किया जाता है और एक साथ गुणा किया जाता है।

स्टैप 1: दी गई संख्या पूरी तरह से इसके अभाज्य गुणनखंडों में हल हो जाती है। सबसे कम संभव अभाज्य संख्या के साथ विभाजन शुरू करने और फिर उच्च अभाज्य संख्या पर जाने की हम सलाह देते हैं जब भागफल चुनी गई संख्या से पूरी तरह से विभाज्य नहीं होता है।

संख्या $287496$ का उदाहरण लें जिसका घनमूल निर्धारित किया जाना है। $287496$ का अभाज्य गुणनखंड $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 11 \times 11 \times 11$ है। 

स्टैप 2: गुणनखंडों को $3$ की घात में लिखें।

$287496$ इसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में फिर से लिखा गया है:

$287496 = 2^{3} \times 3^{3} \times 11^{3}$

स्टैप 3: संख्या का घनमूल स्टैप 2 में प्रत्येक समूह से लिए गए एक कारक के गुणनफल के रूप में पाया जाता है। इसलिए, $287496$ का घनमूल $2 \times 3 \times 11 = 66$ है।

अनुमान विधि द्वारा घनमूल

अनुमान विधि में, हम संख्याओं को समूहों में विभाजित करते हैं और फिर उसके घनमूल का अनुमान लगाते हैं। अनुमान विधि द्वारा घनमूल का निर्धारण करते समय अपनाए जाने वाले स्टैप्स का वर्णन नीचे किया गया है।

स्टैप 1: दी गई संख्या को $3$ अंकों के समूहों में विभाजित किया गया है, जो संख्या के सबसे दाहिने अंक से शुरू होता है। यदि  तीन का समूह न बनता हो, तो शून्य को इसके बाईं ओर जोड़ दिया जाता है ताकि इसे $3$ अंकों का समूह बनाया जा सके। हालाँकि, हमें इस बात का ध्यान रखना चाहिए कि शून्य जोड़ने से अंकों का स्थानीय मान परिवर्तित न हो।

आइए $287496$ का घनमूल निकालने का प्रयास करें।

$287496$ का घनमूल ज्ञात करने के लिए, हमें संख्या को इकाई के स्थान पर अंक से शुरू करते हुए तीन अंकों के समूहों में विभाजित करना शुरू करते हैं। $287 \text{ 496 }$

स्टैप 2: दाईं ओर से शुरू होने वाले पहले समूह से, इकाई के अंक को नोट करें। स्टैप 1 में पहला सबसे दाहिना समूह $496$ है और इसकी इकाई के स्थान पर अंक $6$ है।

स्टैप 3: नीचे दी गई तालिका का उपयोग करके दी गई संख्या के घनमूल के इकाई के स्थान पर अंक का अनुमान लगाएं।

किसी संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात करें

स्टैप 1 में प्राप्त इकाई के स्थान का अंक $6$ है और इसलिए $287496$ के घनमूल का इकाई का अंक भी $6$ है।

स्टैप 4: अब, दाईं ओर से दूसरे समूह को लें। उन पूर्ण घन संख्याओं की जाँच करें जिनके बीच यह संख्या है। मान लीजिए कि इस समूह में संख्या $\text{A}^{3}$ और $\text{B}^{3}$ के बीच है और $\text{B}^{3}$ के करीब है, तो घनमूल का दहाई अंक $B$ माना जाता है, अन्यथा यह $A$ होगा।

दी गई संख्या $287496$ में, दाईं ओर से $3$ अंकों का दूसरा समूह $287$ है।

यह संख्या दो पूर्ण घन संख्याओं $216$ और $343$ यानी $6^{3}$ और $5^{3}$ के बीच स्थित है। चूँकि $287$ $216$ यानी $6^{3}$ के करीब है, $287496$ के घनमूल का दही अंक $6$ है।

अनुमान विधि का उपयोग करके पाया गया $287496$ का घनमूल $66$ है।

अभयास के लिए प्रश्न

  1. गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित संख्याओं का घनमूल ज्ञात कीजिए।
  • $74088$
  • $1157625$
  • $57066625$
  • $287496$
  1. अनुमान विधि का उपयोग करके निम्नलिखित संख्याओं का घनमूल ज्ञात कीजिए।
  • $20346417$
  • $12326391$
  • $343000$
  • $52313624$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

किसी संख्या का घनमूल क्या होता है?

घनमूल किसी संख्या के घन का विपरीत होता है और इसे $\sqrt[3]{}$ द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, $\sqrt[3]{512} = 8$,  $512$  का घनमूल, क्योंकि जब $8$ को खुद से तीन बार गुणा किया जाता है, तो यह $512$ प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, $8^{3} = 512$ है, इसलिए  $\sqrt[3]{512} = 8$ है।

घन और घनमूल में क्या अंतर है?

जब किसी संख्या को अपने आप से तीन बार गुणा किया जाता है, तो गुणनफल दी गई संख्या का घन होता है।
उदाहरण के लिए, $4$ का घन $64$ है क्योंकि $4 \times 4 \times 4 = 64$।
किसी संख्या का घनमूल वह संख्या होती है जिसका घन दी गई संख्या होती है।
उदाहरण के लिए, $64$ का घनमूल $4$ है।

घनमूल का प्रयोग कहाँ किया जाता है?

घनमूल का उपयोग घन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है। इनका उपयोग घन की भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए भी किया जाता है यदि इसका आयतन दिया गया हो।

निष्कर्ष

किसी भी संख्या का घनमूल एक अन्य संख्या होती है जिसे स्वयं से दो बार गुणा करने पर वह संख्या प्राप्त होती है जिसका घनमूल ज्ञात करना होता है। किसी संख्या का घनमूल ज्ञात करने की $2$ विधियाँ हैं – अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा, और अनुमान विधि द्वारा।

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