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ज्यामिति में, घन एक 3D ठोस वस्तु है जिसमें छह वर्गाकार फलक होते हैं और एक घन की सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। घन के आयतन की गणना सूत्र $a \times a \times a = a^{3}$ का उपयोग करके की जाती है, जहां $a$ घन के किनारे की लंबाई है। इसी तरह, संख्याओं के संदर्भ में, एक घन संख्या वह संख्या है जिसका मान एक ऐसी संख्या के बराबर होता है जिसे दो बार और गुणा किया जाता है, अर्थात $a \times \left(a \times a \right)$।
आइए समझते हैं कि घन संख्या क्या है, आप घन संख्या कैसे ज्ञात करते हैं, और घन संख्या के गुण क्या हैं।
घन संख्या क्या होती है?
घन संख्या एक परिणाम है जब किसी संख्या को अपने आप से दो बार गुणा किया जाता है। मूल रूप से, घन संख्या तीन समान संख्याओं के गुणनफल द्वारा प्राप्त संख्या है। गणितीय रूप से, एक संख्या $a$ की घन संख्या $a \times a \times a = a^{3}$ होती है।
ज्यामिति में, घन का आयतन घन संख्या का सबसे अच्छा उदाहरण है।
विषम और सम संख्याओं की घन संख्याएँ
जब आप किसी विषम संख्या को उसी से कितनी भी बार गुणा करते हैं, तो आपको हमेशा एक विषम संख्या प्राप्त होती है, अर्थात, यदि $a$ एक विषम संख्या है, तो $a \times a \times a \times… \text{ n times } = a^{n}$ हमेशा एक विषम संख्या होती है और इसलिए, $a^{3}$ एक विषम संख्या होती है।
इसलिए, एक विषम संख्या की घन संख्या हमेशा एक विषम संख्या होती है।
उदाहरण के लिए, $11$ एक विषम संख्या है और $11^{3} = 11 \times 11 \times 11 = 1331$ भी एक विषम संख्या है।
जब आप किसी सम संख्या को उसी से कितनी भी बार गुणा करते हैं, तो आपको हमेशा एक सम संख्या प्राप्त होती है, अर्थात, यदि $a$ एक सम संख्या है, तो $a \times a \times a \times… \text{ n times } = a^{n}$ हमेशा एक सम संख्या होती है और इसलिए, $a^{3}$ एक सम संख्या होती है।
इसलिए, एक विषम संख्या की घन संख्या हमेशा एक विषम संख्या होती है।
उदाहरण के लिए, $8$ एक सम संख्या है और $8^{3} = 8 \times 8 \times 8 = 512$ भी एक सम संख्या है।
किसी संख्या का घन कैसे ज्ञात करें?
यदि आप अपने घनों और घनमूलों के बारे में भ्रमित होते हैं, तो ध्यान रखें कि किसी संख्या का घन ज्ञात करना उतना ही सरल है जितना कि उसे अपने आप से गुणा करना। इस कारण, यह जानना महत्वपूर्ण है कि एकल अंकों के साथ-साथ बड़ी संख्याओं को कैसे गुणा किया जाए। भिन्नों का घन ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों के घन ज्ञात कीजिए। फिर परिणाम को कम या सरल करें।
संख्याओं का घन प्राप्त करने की प्रक्रिया निम्नलिखित है।
1 से 10 तक की संख्याओं की घन संख्याएँ
जब आप किसी संख्या का वर्ग करते हैं, तो आप केवल उस संख्या को स्वयं से गुणा करते हैं, इसलिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि गुणा कैसे किया जाता है। उदाहरण के लिए, $3$ का घन $3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$ है। आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले एकल अंकों का घन ज्ञात करना आसान बनाने के लिए, मूल गुणन सारणी को याद करने का प्रयास करें।
$1 = 1 \times 1 \times 1 = 1^{3}$
$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^{3}$
$27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^{3}$
$64 = 4 \times 4 \times 4 = 4^{3}$
$125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^{3}$
$216 = 6 \times 6 \times 6 = 6^{3}$
$343 = 7 \times 7 \times 7 = 7^{3}$
$512 = 8 \times 8 \times 8 = 8^{3}$
$729 = 9 \times 9 \times 9 = 9^{3}$
$1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^{3}$
बड़ी संख्या का घन
बड़ी संख्याओं का घन ज्ञात करने की मूल प्रक्रिया भी वही रहती है, अर्थात् संख्या को अपने आप से दो बार गुणा करना। बड़ी संख्याओं की घन संख्या ज्ञात करने के लिए आप कुछ तरकीबों या संख्याओं के गुणों का उपयोग कर सकते हैं।
विधि 1: संख्या को स्वयं से गुणा करना
इस विधि में, संख्या को दो बार और गुणा किया जाता है और परिणामी गुणनफल हमें उस संख्या का घन संख्या देता है। उदाहरण के लिए, $16^{3} = 16 \times 16 \times 16 = 4096$ का घन है। यहां, परिणामी गुणनफल $4096$ हमें $16$ की घन संख्या देता है यह विधि छोटी संख्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करती है।
विधि 2: मूल बीजगणितीय व्यंजक का उपयोग करना
जब संख्याएँ बड़ी हों, तो आप किसी संख्या का घन ज्ञात करने के लिए बीजगणितीय व्यंजकों का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ सहायक दो बीजीय सर्वसमिकाएँ हैं:
- $\left(a + b \right)^{3} = a^{3} + 2a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3}$
- $\left(a – b \right)^{3} = a^{3} – 2a^{2}b + 2ab^{2} – b^{3}$
उदाहरण
आइए इन सर्वसमिकाओं का उपयोग करके संख्याओं की घन संख्या ज्ञात करने के लिए कुछ उदाहरणों से समझें।
उदाहरण 1: $23$ की घन संख्या
$23$ का घन $23^{3} = \left(20 + 3\right)^{3}$ है
ध्यान दें कि $ \ left(20 + 3\right)^{3}$ $\left(a + b\right)^{3} के रूप में है, जहां $a = 20$ और $b = 3$।
इसलिए, $ \left(20 + 3\right)^{3}$ बन जाता है $20^{3} + 3 \times 20^{2} \times 3 + 3 \times 20 \times 3^{2} + 3^ {3} = 8000 + 3600 + 540 + 27 = 12167$
$23$ की घन संख्या की गणना $\left(a – b \right)^{3} = a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ का उपयोग करके भी की जा सकती है।
$23^{2}$ को $\left(30 – 7 \right)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $a = 30$ और $b = 7$।
इसलिए, $\left(30 – 7 \right)^{3} = 30^{3} – 3 \times 30^{2} \times 7 + 3 \times 30 \times 7^{2} – 7^{ 3} = 27000 – 18900 + 4410 – 343 = 12167$
इस प्रकार, हम देखते हैं कि $23$ की घन संख्या, यानी, $23^{3}$ दोनों में से किसी भी विधि का उपयोग करके $12167$ होता है।
घन संख्याओं द्वारा निर्मित पैटर्न
आप घन संख्याओं के बाद कुछ दिलचस्प पैटर्न देख सकते हैं।
क्रमागत विषम संख्याएँ जोड़ना
विषम संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो $2$ से विभाज्य नहीं होती हैं, अर्थात, वे संख्याएँ जो $2$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ छोड़ती हैं।
पहली कुछ विषम संख्याएँ $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, $15$, $17$, $19$, $21$,…
$1 = 1 = 1^{3}$
$3 + 5 = 8 = 2^{3}$
$7 + 9 + 11 = 27 = 3^{3}$
$13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^{3}$
$21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5^{3}$
$31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6^{3}$
घन संख्याओं के गुण
घन संख्याएँ निम्नलिखित गुण प्रदर्शित करती हैं:
गुण 1: किसी संख्या के अंतिम अंक में कोई परिवर्तन नहीं होगा और संख्या के घन संख्या के अंतिम अंक में कोई परिवर्तन नहीं होता है, केवल $2$ जो $8$ में बदल जाएगा और $8$ जो $2$ में बदल दिया जाएगा और $3 जो $7$ में बदल दिया जाएगा और $7$ जो $3$ में बदल जाएगा । उदाहरण के लिए, संख्या $2$ का घन $8$ है और संख्या $3$ का घन $27$ है, और इसी तरह, संख्या $8$ का घन $512$ है, और संख्या $7$ का घन $343$ है, और इसी तरह। आइए $2$, $3$, $7$, और $8$ के अलावा अन्य संख्याओं का उदाहरण लें। संख्या $4$ का घन $64$ है, $5$ की संख्या का घन $125$ है, संख्या $14$ का घन $2744$ है, इत्यादि। हम देख सकते हैं कि एक घन संख्या के अंतिम अंक और वह संख्या जो घन है, समान हैं।
गुण 2: जब सम संख्याओं को घन किया जाता है, तो परिणाम एक सम संख्या होगी। उदाहरण के लिए, $2^{3} = 8$, $4^{3} = 64$।
गुण 3: जब विषम संख्याओं को घन किया जाता है, तो परिणाम एक विषम संख्या होगी। उदाहरण के लिए, $3^{3} = 27$, $5^{3} = 125$।
पूर्ण घन संख्याएँ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों पूर्णांक हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, $8$ और $- 8$ दोनों क्रमशः $2$ और $- 2$ के पूर्ण घन हैं।
गुण 4: पूर्ण घनों को क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $8$ $2$ की घन संख्या है और इसे क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $3 + 5 = 8$; $27$ $3$ की एक घन संख्या है और इसे क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $7 + 9 + 11 = 27$।
पूर्ण घन संख्या क्या है?
पूर्ण घन वे संख्याएँ हैं जो एक ही संख्या के त्रिगुण गुणनफल हैं। दूसरे शब्दों में, एक पूर्ण घन एक ऐसा मान है जो एक पूर्ण संख्या के अपने आप से तीन गुना गुणा का परिणाम है। एक पूर्ण घन एक संख्या है, जिसे उसी संख्या के गुणनफल के तीन गुना के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण के लिए $7$ का घन $7^{3} = 7 \बार 7 \ बार 7 = 343$ है। अतः $343$ एक पूर्ण घन संख्या है।
आइए पूर्ण घन संख्याओं को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण
उदाहरण 1: क्या $165375$ एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो एक ऐसी छोटी से छोटी प्राकृतिक संख्या कीजिये जिससे $165375$ से गुणा गुणा करने पर एक पूर्ण घन संख्या प्राप्त हो?
165375 का अभाज्य गुणनखंड है $3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 = 3^{3} \times 5^{3} \times 7^{2}$।
$165375$ के अभाज्य गुणनखंड में $3$ और $5$ के पूर्ण घन शामिल हैं, लेकिन $7$ केवल $2$ बार है। संख्या में $7$ का एक पूर्ण घन शामिल करने के लिए, इसलिए, हमें इसे $7$ से गुणा करना होगा।
इसलिए, एक पूर्ण घन प्राप्त करने के लिए $7$ को $165375$ से गुणा करने की आवश्यकता है।
$165375 \times 7 = 1157625 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7 \times 7 = 3^{3} \times 5^{3} \times 7^{ 3} = \left(3 \times 5 \times 7 \right)^{3} = 105^{3}$ एक पूर्ण घन संख्या है।
उदाहरण 2: क्या $1080$ एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो किस छोटी से छोटी प्राकृतिक संख्या ज्ञात कीजिये जिससे $1080$ को विभाजित करने पर भागफल एक पूर्ण घन हो?
$1080$ का अभाज्य गुणनखंड $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^{3} \times 3^{3} \times 5$ है।
$1080$ के अभाज्य गुणनखंड में $2$ और $3$ के पूर्ण घन शामिल हैं, लेकिन $5$ केवल $1$ बार है। संख्या में सभी अभाज्य गुणनखंडों को पूर्ण घन के रूप में रखने के लिए, हमें $5$ निकालना होगा, अर्थात, संख्या को $5$ से विभाजित करना होगा।
इस प्रकार, एक पूर्ण घन प्राप्त करने के लिए $5$ को $1080$ से विभाजित करने की आवश्यकता है।
$1080 \div 5 = 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times 3^{3} = \left(2 \times 3 \right)^{3 } = 6^{3}$ एक पूर्ण घन संख्या है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित संख्याओं की घन संख्या ज्ञात कीजिए।
- $32$
- $49$
- $65$
- $74$
- $98$
- जाँच कीजिए कि निम्नलिखित पूर्ण घन संख्याएँ हैं या नहीं। यदि नहीं, तो गुणनफल को एक पूर्ण घन संख्या बनाने के लिए किस संख्या का गुणा किया जाना चाहिए?
- $2916$
- $189$
- $5400$
- जाँच कीजिए कि निम्नलिखित पूर्ण घन संख्याएँ हैं या नहीं। यदि नहीं, तो भागफल को एक पूर्ण घन संख्या बनाने के लिए किस संख्या को भाग दिया जाना चाहिए?
- $16384$
- $5184$
- $27648$
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
घन संख्या क्या होती है?
वह संख्या जो किसी पूर्णांक को अपने आप से दो बार गुणा करने पर प्राप्त होती है, घन संख्या कहलाती है। मान लीजिए, $n$ एक पूर्णांक है, तो $n$ की घन संख्या $n \times n \times n$ या $n^{3}$ है। उदाहरण के लिए, $5 \times 5 \times 5 = 125$ में, $5$ की घन संख्या है।
पूर्ण घन संख्याओं और पूर्ण घनमूलों के बीच क्या संबंध है?
$4913$ जैसी एक पूर्ण घन संख्या का पूर्ण घनमूल $17$ होता है। तो, $4913$ का घनमूल $17$ है। घन संख्या प्राप्त करने के लिए हम जिस संख्या का घन करते हैं, वह घन संख्या का घनमूल होती है। उदाहरण के लिए, $4 \times 4 \times 4 = 64$ में, $4$ $64$ का घनमूल है, और $64$ $4$ की घन संख्या है। पूर्ण घन संख्या और पूर्ण घन मूल का अर्थ है कि परिणाम हमेशा एक पूर्ण संख्या होगा। उदाहरण के लिए, $8$ एक पूर्ण घन संख्या है क्योंकि इसका घनमूल एक पूर्ण संख्या $2$ है।
निष्कर्ष
घन संख्या एक परिणाम है जब किसी संख्या को अपने आप से दो बार गुणा किया जाता है। मूल रूप से, घन संख्या तीन समान संख्याओं के गुणनफल द्वारा प्राप्त संख्या है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक घन संख्या को पूर्ण घन संख्या भी कहते हैं। घन संख्याएँ बहुत ही रोचक पैटर्न प्रदर्शित करती हैं।
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