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गणित में, दो आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं यदि उनका आकार और आकार समान हो। हम यह भी कह सकते हैं कि यदि दो आकृतियाँ सर्वांगसम हैं, तो एक आकृति की दर्पण छवि दूसरी आकृति के समान होती है।
आइए त्रिभुजों की सर्वांगसमता क्या है और त्रिभुजों की सर्वांगसमता क्या है मानदंड को उदाहरण सहित समझते हैं।
त्रिभुजों में सर्वांगसमता क्या है?
दो त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं यदि एक त्रिभुज के तीन कोण और तीनों भुजाएँ दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों और संगत भुजाओं के बराबर हों।
उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{ABC}$ और $\triangle \text{PQR}$, हम पहचान सकते हैं कि $\text{AB} = \text{PQ}$, $\text{BC} = \text{QR}$, और $\text{CA} = \text{RP}$, $\angle \text{A} = \angle \text{P}$, $\angle \text{B} = \angle \text{Q}$, और $\angle \text{C} = \angle \text{R}$।
त्रिभुजों के संगत भाग
सर्वांगसम होने के लिए दो त्रिभुजों का आकार और माप समान होना चाहिए। विचाराधीन दोनों त्रिभुजों को एक दूसरे पर आरोपित करना चाहिए। जब हम किसी त्रिभुज को घुमाते हैं, प्रतिबिंबित करते हैं और/या अनुवाद करते हैं, तो उसकी स्थिति या स्वरूप भिन्न प्रतीत होता है। उस स्थिति में, हमें एक त्रिभुज के छह भागों और दूसरे त्रिभुज में उनके संगत भागों की पहचान करने की आवश्यकता होती है।
दो त्रिभुजों में बराबर भुजाएँ संगत भुजाएँ कहलाती हैं और जो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं उन्हें संगत कोण कहते हैं।
उपरोक्त आकृति में,
- संगत भुजाएँ हैं $\text{AB}$ और $\text{PQ}$, $\text{BC}$ और $\text{QR}$, $\text{CA}$ और $\text{RP}$
- संगत कोण हैं $\angle \text{A}$ और $\angle \text{P}$, $\angle \text{B}$ और $\angle \text{Q}$, $\angle \text{C }$ और $\angle \text{R}$
- संगत शीर्ष हैं $\text{A}$ और $\text{P}$, $\text{B}$ और $\text{Q}$, $\text{C}$ और $\text{R}$
गणितीय रूप से इसे लिखा जाता है
- $\text{AB} \leftrightarrow \text{PQ}$, $\text{BC} \leftrightarrow \text{QR}$, $\text{CA} \leftrightarrow \text{RP}$
- $\angle \text{A} \leftrightarrow \angle \text{P}$, $\angle \text{B} \leftrightarrow \angle \text{Q}$, $\angle \text{C} \leftrightarrow \angle \text{R} $
- $\text{A} \leftrightarrow \text{P}$, $\text{B} \leftrightarrow \text{Q}$, $\text{C} \leftrightarrow \text{R}$
त्रिभुजों की सर्वांगसमता मानदंड
दो त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं यदि वे समान आकार और समान आकार के हों। आवश्यक रूप से, यह निर्धारित करने के लिए कि वे सर्वांगसम हैं, दोनों त्रिभुजों के सभी छः संगत अवयव नहीं पाए जाने चाहिए। दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए 4 मानदंड हैं। वे SSS, SAS, ASA और RHS सर्वांगसमता गुण हैं।
सर्वांगसमता के लिए SSS मानदंड
SSS कसौटी साइड-साइड-साइड(भुजा-भुजा-भुजा) कसौटी के लिए है। इस मानदंड के तहत, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं के बराबर हों।
यदि $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{XYZ}$ SSS कसौटी द्वारा, तो $\triangle \text{ABC}$ के तीनों कोण $\triangle \text{ XYZ}$ के संबंधित कोणों के बराबर होने के लिए बाध्य हैं।
सर्वांगसमता के लिए SAS मानदंड
SAS कसौटी साइड-एंगल-साइड (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के लिए है। इस कसौटी के द्वारा, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों।
यदि $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{XYZ}$ SAS कसौटी के द्वारा, तो तीसरी भुजा ($\text{AB}$) और $\triangle \text{ABC}$ के अन्य दो कोण संबंधित भुजा ($\text{XY}$) और $\triangle \text{XYZ}$ के कोणों के बराबर होने के लिए बाध्य हैं।
सर्वांगसमता के लिए ASA मानदंड
ASA कसौटी कोण-भुजा-कोण कसौटी के लिए है। ASA की कसौटी के द्वारा, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज के कोई भी दो कोण और उनके बीच की भुजा दूसरे त्रिभुज के संबंधित कोणों और उनके बीच की भुजा के बराबर हो।
यदि $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{XYZ}$ ASA मानदंड के द्वारा, तो तीसरा कोण $\left( \angle \text{BAC} \right)$ और के अन्य दो भुजाएँ $\triangle \text{ABC}$ संगत कोण $\left( \angle \text{YXZ} \right)$ और $\triangle \text{XYZ}$ की भुजाओं के बराबर होना चाहिए।
सर्वांगसमता के लिए RHS मानदंड
RHS कसौटी समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता कसौटी के लिए है। इस कसौटी के द्वारा, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण और भुजा दूसरे समकोण त्रिभुज के कर्ण और संगत भुजा के बराबर हो।
यदि $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{XYZ}$ RHS कसौटी के द्वारा, तो तीसरी भुजा ($\text{AB}$) और $\triangle \text{ABC}$ के अन्य दो कोण संगत भुजा ($\text{AB}$) और $\triangle \text{XYZ}$ के कोणों के बराबर होना चाहिए।
सर्वांगसम त्रिभुज और समरूप त्रिभुज के बीच अंतर
सर्वांगसमता और समरूपता त्रिभुजों के दो अलग-अलग गुण हैं। सर्वांगसम त्रिभुजों और समरूप त्रिभुजों में निम्नलिखित अंतर हैं।
| सर्वांगसम त्रिभुज | समरूप त्रिभुज |
| सर्वांगसम त्रिभुज आकार और आकार में समान होते हैं। वे अपने मूल आकार में एक दूसरे को आरोपित करते हैं। | समान त्रिभुजों का आकार समान होता है लेकिन आकार में भिन्न हो सकते हैं। आवर्धित या विवर्धित होने पर वे एक-दूसरे पर आरोपित हो जाते हैं। |
| उन्हें प्रतीक $’\cong’$ का उपयोग करके दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, सर्वांगसम त्रिभुज $\text{ABC}$ और $\text{XYZ}$ को $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{XYZ}$ के रूप में दर्शाया जाएगा। | उन्हें प्रतीक $’\sim’$ का उपयोग करके दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, समरूप त्रिभुज $\text{ABC}$ और $\text{XYZ}$ को $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{XYZ}$ के रूप में दर्शाया जाएगा। |
| सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 1 के बराबर होता है। | समरूप त्रिभुजों में सभी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। इस उभयनिष्ठ अनुपात को समरूप त्रिभुजों में ‘स्केल गुणक’ भी कहा जाता है। |
मुख्य बिंदु
- दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज के छह भाग (3 भुजाएँ और 3 कोण) दूसरे त्रिभुज के संगत छह भागों के बराबर हों।
- यह निर्धारित करने के लिए चार शर्तें हैं कि क्या दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं। वे SSS, SAS, ASA, और RHS मानदंड हैं।
- समान संगत कोणों वाले दो त्रिभुज एक दूसरे के सर्वांगसम नहीं हो सकते हैं क्योंकि एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज की बढ़ी हुई प्रतिलिपि हो सकता है। इसलिए, सर्वांगसमता के लिए कोई AAA कसौटी नहीं है।
- हम सर्वांगसमता को चिन्ह $\left( \cong \right)$ का उपयोग करके प्रदर्शित करते हैं।
- यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं तो उनके परिमाप और क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- सर्वांगसमता का क्या अर्थ है?
- सर्वांगसम आकृतियों का क्या अर्थ है?
- सर्वांगसम त्रिभुजों का क्या अर्थ है?
- SSS सर्वांगसमता कसौटी को समझाइए।
- SAS सर्वांगसमता कसौटी को समझाइए।
- ASA सर्वांगसमता कसौटी को समझाइए।
- RHS सर्वांगसमता कसौटी को समझाइए।
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
सर्वांगसम त्रिभुज क्या होते हैं?
दो त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं यदि वे समान आकार और समान माप के हों। दूसरे शब्दों में, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि किसी त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण उसके सर्वांगसम त्रिभुज की संगत भुजाओं और कोणों के बराबर हों।
त्रिभुजों में सर्वांगसमता के परीक्षण क्या हैं?
हम किन्हीं दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता को चार अलग-अलग गुणों का प्रयोग करके सिद्ध कर सकते हैं, जो हैं – SSS, SAS, ASA और RHS।
क्या हम AAA कसौटी का प्रयोग करके त्रिभुजों में सर्वांगसमता सिद्ध कर सकते हैं?
नहीं, हम AAA कसौटी का प्रयोग करके त्रिभुजों में सर्वांगसमता सिद्ध नहीं कर सकते। यदि दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं तो एक त्रिभुज के कम से कम तीन भाग दूसरे त्रिभुज के संगत भागों के बराबर होने चाहिए। हालाँकि, यदि एक त्रिभुज के तीन कोण दूसरे त्रिभुज के संगत कोणों के बराबर हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं परन्तु सर्वांगसम नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, दो समबाहु त्रिभुजों के तीनों कोण बराबर होते हैं, लेकिन उनकी भुजाएँ भिन्न हो सकती हैं, और इसलिए वे सर्वांगसम नहीं होंगे, परन्तु समरूप होंगे।
निष्कर्ष
दो त्रिभुज सर्वांगसम कहलाते हैं यदि वे समान आकार और समान माप के हों। जब भी दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, तो उनका परिमाप और क्षेत्रफल समान होता है। दो त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए चार मापदंड हैं और वे SSS, SAS, ASA और RHS हैं।
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