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रेखाओं का अध्ययन ज्यामिति के महत्वपूर्ण विषयों में से एक है। एक समतल में दो या दो से अधिक रेखाएँ समानांतर रेखाएँ या प्रतिच्छेदी रेखाएँ हो सकती हैं। जब दो या दो से अधिक रेखाएँ एक ही बिंदु से होकर गुजरती हैं तो उन्हें समवर्ती रेखाएँ कहते हैं।
आइए उदाहरण के साथ समझते हैं कि ज्यामिति में समवर्ती रेखाएँ क्या हैं, और कब रेखाएँ समवर्ती होती हैं।
ज्यामिति में समवर्ती रेखाएँ क्या हैं?
समवर्ती रेखाओं को उन रेखाओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। तीन या अधिक रेखाएँ समवर्ती कहलाती हैं यदि वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। केवल रेखाएँ संगामी हो सकती हैं, किरणें और रेखाखंड संगामी नहीं हो सकते क्योंकि यह आवश्यक नहीं है कि वे हर समय एक बिंदु पर मिलें। एक बिंदु से होकर गुजरने वाली दो से अधिक रेखाएँ हो सकती हैं।
कुछ उदाहरणों में से एक वृत्त के व्यास वृत्त के केंद्र में समवर्ती हैं। चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं और विकर्णों को मिलाने वाले रेखाखंड समवर्ती होती हैं।
समवर्ती रेखाओं और प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच अंतर
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, यदि किन्हीं तीन रेखाओं या रेखाखंडों या किरणों में एक ही प्रतिच्छेदन बिंदु हो, तो उन्हें समवर्ती कहा जाता है। जबकि, प्रतिच्छेदी रेखाओं के मामले में, केवल दो रेखाएँ या रेखा खंड या किरणें होती हैं जो एक दूसरे को काटती हैं।
समवर्ती रेखाओं और प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच निम्नलिखित अंतर हैं
| समवर्ती रेखाएँ | प्रतिच्छेदी रेखाएँ |
| तीन या अधिक रेखाएँ एक बिंदु से होकर गुजरती हैं। | केवल दो रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। |
| जिस एकल बिंदु पर ये रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, उसे संगामी बिंदु कहते हैं। | जिस बिंदु पर दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं उसे प्रतिच्छेदन बिंदु कहा जाता है। |
उदाहरण:  | उदाहरण:  |
त्रिभुजों में समवर्ती रेखाएँ
त्रिभुज में समवर्ती रेखाएँ हैं:
- शीर्षलंब: तीनों शीर्षों से एक त्रिभुज के तीन शीर्षलम्ब एक दूसरे को एक उभयनिष्ठ बिंदु पर काटती हैं। यह बिंदु जहां शीर्षलंब प्रतिच्छेद करती हैं उसे लंबकेन्द्र कहा जाता है।
- माध्यिकाएँ: त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ जो विपरीत भुजा को समान भागों में विभाजित करती हैं और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे केन्द्रक के रूप में जाना जाता है।
- कोण समद्विभाजक: कोण समद्विभाजक वे किरणें होती हैं जो प्रत्येक शीर्ष से कोण को समद्विभाजित करती हैं और एक बिंदु पर मिलती हैं। बिंदु को यहां अंतःकेंद्र कहा जाता है।
- लम्ब समद्विभाजक: लम्ब समद्विभाजक वे रेखाएँ होती हैं जो विपरीत भुजाओं को $90^{\circ}$ कोणों पर काटती हैं और एक बिंदु से होकर गुजरती हैं। इस बिंदु को परिकेन्द्र कहते हैं।
कैसे ज्ञात करें कि रेखाएँ समवर्ती हैं?
दी गई रेखाएँ समवर्ती हैं या नहीं, यह जाँचने की दो विधियाँ हैं।
विधि 1:
आइए तीन रेखाओं पर विचार करें,
रेखा 1 = $a_1x + b_1y + c_1z = 0$ और
रेखा 2 = $a_2x + b_2y + c_2z = 0$ और
रेखा 3 = $a_3x + b_3y + c_3z = 0$
यह जाँचने के लिए कि क्या उपरोक्त तीन रेखाएँ समवर्ती हैं, एक सारणिक के रूप में निम्नलिखित स्थिति का मान $0$ पर किया जाना चाहिए।
उदाहरण
Ex 1: जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ समवर्ती हैं या नहीं।
$4x – 2y – 4 = 0$ —– (1)
$x – y + 2 = 0$ —– (2)
$2x + 3y – 26 = 0$ —– (3)
यहाँ, $a_1 = 4$, $b_1 = -2$, and $c_1 = -4$
$a_2 = 1$, $b_2 = -1$, and $c_2 = 2$
$a_3 = 2$, $b_3 = 3$, and $c_3 = -26$
उपरोक्त मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है
$= 4 \times \left(-1 \times \left(-26 \right) – 2 \times 3 \right) – (-2) \times (1 \times (-26) – 2 \times 2) – 4 \times (1 \times 3 – (-1) \times 2)$
$= 4 \times \left(26 – 6 \right) + 2 \times (-26 – 4) – 4 \times (3 + 2)$
$= 4 \times (20) + 2 \times (-30) – 4 \times 5$
$= 80 – 60 – 20 = 0$
अतः दी गई रेखाएँ समवर्ती हैं।
विधि 2:
यह जांचने के लिए कि क्या तीन रेखाएँ समवर्ती हैं, हम पहले दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं और फिर यह देखने के लिए जाँचते हैं कि क्या तीसरी रेखा प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। यह सुनिश्चित करेगा कि तीनों रेखाएँ समवर्ती हैं। आइए इसे एक उदाहरण से बेहतर समझते हैं। किन्हीं तीन रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं।
उदाहरण
Ex 1: जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ समवर्ती हैं या नहीं।
$4x – 2y – 4 = 0$ —– (1)
$x – y + 2 = 0$ —– (2)
$2x + 3y – 26 = 0$ —– (3)
स्टैप 1: रेखा 1 और रेखा 2 का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरण (1) और (2) को हल करें।
समीकरण (2) से $y$ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
$4x – 2 (x + 2) – 4 = 0$
$4x – 2x – 4 – 4 = 0$
$2x – 8 = 0$
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$
$x = 4$ का मान समीकरण (2) में रखने पर, हमें $y$ का मान प्राप्त होता है।
$y = x + 2$
$y = 4 + 2$
$y = 6$
इसलिए, रेखा 1 और रेखा 2 एक बिंदु $(4,6)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
स्टैप 2: तीसरी रेखा के समीकरण में पहली दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को प्रतिस्थापित करें।
तीसरी रेखा का समीकरण है $2x + 3y = 26$ —– (3)
$(4,6)$ के मान को समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,
$2 \times 4 + 3 \times 6 = 26$
$8 + 18 = 26$
$26 = 26$
इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरी रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि तीन रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं और समवर्ती रेखाएँ हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- समवर्ती रेखाएँ क्या होती हैं?
- प्रतिच्छेदी रेखाओं और समवर्ती रेखाओं में क्या अंतर है?
- तीन रेखाओं के समवर्ती होने की क्या शर्त है?
- रिक्त स्थान भरें
- वह बिंदु जिससे होकर सभी समवर्ती रेखाएँ गुजरती हैं, __________ कहलाती हैं।
- एक त्रिभुज की तीन माध्यिकाओं के समवर्ती बिंदु को _________ कहा जाता है।
- एक त्रिभुज की तीन शीर्षलेम्बों के समवर्ती बिंदु को _________ कहा जाता है।
- एक त्रिभुज के तीन कोण समद्विभाजकों के समवर्ती बिंदु को _________ कहा जाता है।
- एक त्रिभुज के तीन लंब समद्विभाजकों के समवर्ती बिंदु को _________ कहा जाता है।
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
समवर्ती रेखाएँ क्या होती हैं?
तीन या अधिक रेखाएँ संगामी कहलाती हैं यदि वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। केवल रेखाएँ संगामी हो सकती हैं, किरणें और रेखाखंड संगामी नहीं हो सकते क्योंकि यह आवश्यक नहीं है कि वे हर समय एक बिंदु पर मिलें।
क्या समानांतर रेखाएँ समवर्ती हैं?
नहीं, समानांतर रेखाएँ संगामी रेखाएँ नहीं हो सकतीं, क्योंकि वे कभी भी किसी बिंदु पर नहीं मिलतीं। यहां तक कि जब समानांतर रेखाएँ अनिश्चित काल तक विस्तारित होती हैं तो वे समवर्ती रेखाएँ नहीं हो सकतीं, क्योंकि उनके पास एक सामान्य बिंदु नहीं होगा जिस पर वे प्रतिच्छेद करती हों।
आप कैसे ज्ञात करेंगे कि कोई रेखा समवर्ती है?
समवर्ती रेखाओं के समूह को परिभाषित करने के लिए कम से कम तीन रेखाएँ होनी चाहिए। यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो वे एक बिंदु पर मिलती हैं। यदि कोई तीसरी रेखा भी इस प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है तो हम कह सकते हैं कि तीन रेखाएँ समवर्ती होती हैं।
प्रतिच्छेदी रेखाओं और समवर्ती रेखाओं में क्या अंतर है?
तीन रेखाएँ एक बिंदु पर मिलकर समवर्ती रेखाएँ बनाती हैं। मिलन बिंदु को ‘संगामी बिंदु’ कहा जाता है। जब दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं तो उन्हें प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहते हैं। इन दो रेखाओं के मिलन बिंदु को ‘प्रतिच्छेदन बिंदु’ कहा जाता है।
त्रिभुज की समवर्ती रेखाएँ क्या होती हैं?
एक त्रिभुज के लिए चार समवर्ती रेखाएँ होती हैं। वे माध्यिकाएँ, शीर्षलम्ब, कोण द्विभाजक और लंब समद्विभाजक हैं। जहाँ शीर्षलंब प्रतिच्छेद करती हैं उसे लंबकेन्द्र, जहाँ शीर्षलम्ब प्रतिच्छेद करती हैं, उसे केन्द्रक के रूप में जाना जाता है, जहाँ कोण द्विभाजक प्रतिच्छेद करती हैं, वह अंतःकेंद्र होता है, और जहाँ लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करती हैं वह परिकेन्द्र कहलाता है।
निष्कर्ष
जब तीन या तीन से अधिक रेखाएँ एक ही बिंदु से होकर गुजरती हैं, तो रेखाएँ समवर्ती रेखाएँ कहलाती हैं, और इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को संगामी बिंदु कहा जाता है। समवर्ती रेखाएँ त्रिभुजों में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र हैं।
