वृत्त की जीवा – परिभाषा, गुण और उदाहरण

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किसी वृत्त की परिधि पर स्थित दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त की जीवा कहलाता है। किसी वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली वृत्त की जीवा को वृत्त का व्यास कहा जाता है और यह वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।

आइए वृत्त की जीवा क्या है और इसके गुणों को उदाहरणों से समझते हैं।

वृत्त की जीवा क्या है?

वृत्त की परिधि पर स्थित दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त की जीवा कहलाती है। दूसरे शब्दों में, कोई भी रेखाखंड जिसका अंतबिंदु किसी वृत्त की परिधि पर स्थित होता है, वृत्त की जीवा होती है।

उपरोक्त आकृति में, $\text{AB}$ और $\text{DE}$ जीवा हैं क्योंकि रेखा खंडों के अंत बिंदु एक वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। जीवा $\text{DE}$ वृत्त का व्यास भी है।

रेखा खंड $\text{OC}$ एक जीवा नहीं है क्योंकि केवल एक समापन बिंदु परिधि पर स्थित है।

नोट: जीवा जो एक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, वृत्त का व्यास कहलाती है।

वृत्त की जीवा के गुण

वृत्त की जीवा के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

• वृत्त के केंद्र से खींची गई जीवा पर बनाया गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
• वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ वृत्त की जीवाएँ समान होती हैं।
• जब एक वृत्त की जीवा खींची जाती है, तो यह वृत्त को दो क्षेत्रों में विभाजित करती है, जिन्हें वृत्तखंड कहा जाता है: दीर्घ वृत्तखंड और लघु वृत्तखंड।
• एक जीवा जब दोनों ओर अपरिमित रूप से बढ़ाई जाती है तो वृत्त की छेदक रेखा बन जाती है।

जीवा की लंबाई सूत्र

वृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात करने के लिए दो मूल सूत्र हैं। पहला पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके और दूसरा त्रिकोणमिति का उपयोग करके।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके

केंद्र से लम्बवत दूरी का उपयोग करते हुए जीवा की लंबाई = $2 \times \sqrt{r^2 – d^2}$।

केंद्र $\text{O}$ और जीवा $\text{AB}$ और त्रिज्या $\text{OA}$ के साथ एक वृत्त पर विचार करें। केंद्र से जीवा $\text{AB}$ की दूरी $\text{OC}$ है।

समकोण $\triangle \text{OAC}$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $\text{AC} = \sqrt{\text{OA}^2 – \text{OC}^2}$

$=>\text{AC} = \sqrt{r^2 – d^2}$

अतः, जीवा की लंबाई $\text{AB} = 2 \times \text{AC} = 2 \times \sqrt{r^2 – d^2}$

त्रिकोणमिति का उपयोग करके

केंद्र से लम्बवत दूरी का उपयोग करते हुए जीवा की लंबाई = $2 \times r \times \sin \frac{\theta}{2}$.

केंद्र $\text{O}$ और जीवा $\text{AB}$ और त्रिज्या $\text{OA}$ के साथ एक वृत्त पर विचार करें। केंद्र से जीवा $\text{AB}$ की दूरी $\text{OC}$ है। और, माना ऊर्ध्वाधर कोण $\angle \text{AOB} = \theta$।

इसलिए, समकोण $\triangle \text{OAC}$ में, $\sin \frac{\theta}{2} = \frac{\text{AC}}{r}$

$=> \text{AB} = 2 \times r \times \sin \frac{\theta}{2}$

वृत्त की जीवा के प्रमेय

वृत्त की जीवा पर आधारित कुछ प्रमेय हैं।

प्रमेय 1: एक वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।

केंद्र $\text{O}$ और दो बराबर जीवा $\text{AB}$ और $\text{CD}$ के साथ एक वृत्त पर विचार करें और हम यह सिद्ध करना चाहते हैं कि $\angle \text{AOB} = \angle \text {COD}$।

त्रिभुज $\text{AOB}$ और $\text{COD}$ में,

$\text{OA} = \text{OC}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)

$\text{OB} = \text{OD}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)

$\text{AB} = \text{CD}$ (दिया गया है)

Therefore, $\triangle \text{AOB} \cong \triangle \text{COD}$ (SSS नियम)

This gives $\angle \text{AOB} = \angle \text{COD}$ (CPCT)

प्रमेय 2: वृत्त के केंद्र से जीवा पर बनाया गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

उपरोक्त आकृति पर विचार करें, जहां $\text{O}$ वृत्त का केंद्र है और $\text{AB}$ जीवा है।

इसके अलावा, $\text{OP}$ जीवा $\text{AB}$ पर खींचा गया लंब है और हम यह सिद्ध करना चाहते हैं कि $\text{AP} = \text{PB}$।

$\triangle \text{OAP}$ और $\triangle \text{OBP}$ में,

$\text{OA} = \text{OB}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)

$\text{OP} = \text{OP}$ (समान किनारे)

$\angle \text{OPA} = \angle \text{OPB} = 90^{\circ}$

RHS नियम द्वारा, $\triangle \text{OAP} \cong \triangle \text{OBP}$

अतः, $\text{AP} = \text{PB}$ (CPCT)

इसलिए, वृत्त के केंद्र से खींची गई जीवा पर बनाया गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. एक वृत्त की दो बराबर जीवाएँ $\text{AB}$ और $\text{CD}$, बढ़ाए जाने पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि $\text{PB} = \text{PD}$ है।
2. $5$ सेमी और $3$ सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
3. एक वृत्त की दो समानांतर जीवाओं की लंबाई $6$ सेमी और $8$ सेमी है। यदि छोटी जीवा केंद्र से $4$ सेमी की दूरी पर है, तो दूसरी जीवा केंद्र से कितनी दूरी पर है?

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

वृत्त की जीवा क्या है?

जीवा एक रेखा खंड है जो वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। जीवा केवल वृत्त के भीतर के भाग को ढकती है।

जीवा की लंबाई का सूत्र क्या है?

किसी भी जीवा की लंबाई सूत्र $2 \times \sqrt{r^2 – d^2}$ का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

क्या व्यास वृत्त की जीवा होती है?

हाँ, व्यास को वृत्त की जीवा भी माना जाता है। व्यास एक वृत्त में सबसे लंबी जीवा होती है और यह वृत्त को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

निष्कर्ष

वृत्त की परिधि पर स्थित दो बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त की जीवा कहलाता है। एक वृत्त की सभी जीवाओं में, जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है वह सबसे लंबी जीवा होती है और इसे वृत्त का व्यास भी कहा जाता है।

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