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एक सांख्यिकीय के आंकड़ों का बंटन आंकड़ों का प्रसार है जो आंकड़ों के सभी संभावित मान या अंतराल दिखाता है और वे कैसे होते हैं। एक बंटन केवल एक चर पर आंकड़ों या अंकों का एक संग्रह है। आमतौर पर, इन अंकों को आरोही से अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है और फिर उन्हें रेखांकन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।
किसी विशेष अनुप्रयोग या वातावरण के अनुकूल सांख्यिकी में कई प्रकार के बंटन होते हैं। सांख्यिकी में कुछ सबसे सामान्य प्रकार के बंटन नॉर्मल या गॉसियन बंटन, बर्नौली बंटन, द्विपद बंटन, पॉइसन बंटन, घातीय बंटन, गामा बंटन और वीबुल बंटन हैं।
आइए समझते हैं उदाहरणों के साथ कि द्विपद बंटन क्या है, और उपयोग किए जाने वाले सूत्र।
द्विपद बंटन की परिभाषा क्या है?
द्विपद बंटन सांख्यिकी में आमतौर पर उपयोग किया जाने वाला असतत बंटन है। यह $n$ परीक्षणों में एक प्रयोग की $x$ सफलताओं की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है, प्रयोग में प्रत्येक परीक्षण के लिए एक सफलता प्रायिकता $p$ दी गई है। द्विपद बंटन सांख्यिकीय महत्व के प्रसिद्ध द्विपद परीक्षण के लिए आधार बनाता है। एक परीक्षण जिसमें सफलता/असफलता जैसे एकल परिणाम होते हैं, उसे बर्नौली परीक्षण या बर्नौली प्रयोग भी कहा जाता है, और परिणामों की एक श्रृंखला को बर्नौली प्रक्रिया कहा जाता है।
आइये एक प्रयोग पर विचार करें जहां $n$ प्रयोगों की एक श्रृंखला के साथ हर बार एक चित/पट के लिए एक सिक्का उछाला जाता है। फिर द्विपद प्रायिकता बंटन में, बूलियन-मूल्य 1 सफलता माना जाता है (चित प्राप्त करना), प्रायिकता $p$ के साथ दर्शाया गया है और विफलता (पट प्राप्त करना) 0 के साथ दर्शाया गया है प्रायिकता $q(q = 1 – p)$ के साथ दर्शाया गया है। एक प्रयोग में जब $n = 1$ होता है, द्विपद बंटन को बर्नौली बंटन कहा जाता है।
द्विपद बंटन के उदाहरण
- द्विपद बंटन के कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं।
- एक सिक्के को उछालने के $n$ परीक्षणों के प्रयोग में सफलताओं की संख्या (मान लीजिए चित)।
- किसी पासे को फेंकने के $n$ परीक्षणों के प्रयोग में सफलताओं की संख्या (मान लीजिए छह)।
- $n$ वस्तुओं की जांच के $n$परीक्षणों के एक प्रयोग में सफलताओं की संख्या (दोषपूर्ण आइटम कहते हैं)।
- किसी विशिष्ट उत्पाद या स्थान के लिए जनता से सकारात्मक और नकारात्मक समीक्षाओं का सर्वेक्षण करना।
- एक संगठन में पुरुष और महिला कर्मचारियों की संख्या ढूँढना।
- एक चुनाव में एक उम्मीदवार द्वारा एकत्र किए गए वोटों की संख्या की गणना 0 या 1 प्रायिकता के आधार पर की जाती है।
द्विपद बंटन के गुण
- द्विपद बंटन के विशिष्ट गुण निम्नलिखित हैं।
- दो संभावित परिणाम होते हैं: सही या गलत, सफलता या विफलता, हाँ या नहीं, $1$ या $0$।
- $n$ स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या या $n$ बार-बार दोहराए जाने वाले परीक्षणों की एक निश्चित संख्या है।
- सफलता या असफलता की संभावना प्रत्येक परीक्षण के लिए समान रहती है।
- $न$ स्वतंत्र परीक्षणों में से केवल सफलताओं की संख्या की गणना की जाती है।
- प्रत्येक परीक्षण एक स्वतंत्र परीक्षण है, जिसका अर्थ है कि एक परीक्षण का परिणाम दूसरे परीक्षण के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
हमें द्विपद बंटन का उपयोग कब करना चाहिए?
द्विपद बंटन कई प्रकार के वातावरण में उपयोगी होते हैं। यह जानना महत्वपूर्ण है कि इस प्रकार के वितरण का उपयोग कब किया जाना चाहिए। बुनियादी विशेषताएं जो हमें कुल $n$ स्वतंत्र परीक्षणों के लिए होनी चाहिए, आयोजित की जाती हैं और हम $x$ सफलताओं की संभावना का पता लगाना चाहते हैं, जहां प्रत्येक सफलता की प्रायिकता $p$ होती है। द्विपद वितरण का उपयोग करने से पहले निम्नलिखित शर्तें हैं जिन्हें जांचने की आवश्यकता है।
- परीक्षणों की निश्चित संख्या
- स्वतंत्र परीक्षण
- दो विभिन्न परिणाम
- सफलता की प्रायिकता सभी परीक्षणों के लिए समान रहती है
परीक्षणों की निश्चित संख्या
जांच की जा रही प्रक्रिया में स्पष्ट रूप से परिभाषित परीक्षणों की संख्या होनी चाहिए जो भिन्न न हों। हम अपने विश्लेषण के माध्यम से इस संख्या को बीच में नहीं बदल सकते। प्रत्येक परीक्षण को अन्य सभी परीक्षणों की तरह ही किया जाना चाहिए, हालांकि परिणाम भिन्न हो सकते हैं। परीक्षणों की संख्या सूत्र में $न$ द्वारा दर्शाई गई है।
एक प्रक्रिया के लिए निश्चित परीक्षण होने के एक उदाहरण में दस बार मरने से परिणामों का अध्ययन करना शामिल होगा। यहाँ पासे का प्रत्येक रोल एक परीक्षण है। प्रत्येक परीक्षण आयोजित किए जाने की कुल संख्या को सम्मुचय से परिभाषित किया जाता है।
स्वतंत्र परीक्षण
प्रत्येक परीक्षण को स्वतंत्र होना है। प्रत्येक परीक्षण का किसी अन्य पर बिल्कुल कोई प्रभाव नहीं होना चाहिए। दो पासा पलटने या कई सिक्के उछालने के उदाहरण स्वतंत्र घटनाओं का वर्णन करते हैं। चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, हम संभावनाओं को एक साथ गुणा करने के लिए गुणन नियम का उपयोग करने में सक्षम हैं।
व्यवहार में, विशेष रूप से कुछ प्रतिचयन तकनीकों के कारण, ऐसे समय हो सकते हैं जब परीक्षण तकनीकी रूप से स्वतंत्र नहीं होते हैं। एक द्विपद वितरण का उपयोग कभी-कभी इन स्थितियों में किया जा सकता है जब तक कि जनसंख्या नमूने के सापेक्ष बड़ी हो।
दो विभिन्न परिणाम
प्रत्येक परीक्षण को दो संभावित परिणामों – सफलताओं और असफलताओं में बांटा गया है। हालाँकि हम आम तौर पर सफलता को एक सकारात्मक चीज के रूप में सोचते हैं, हमें इस शब्द को बहुत अधिक नहीं पढ़ना चाहिए। हम संकेत दे रहे हैं कि परीक्षण एक सफलता है क्योंकि यह उस चीज के अनुरूप है जिसे हमने सफलता कहने का निश्चय किया है।
इस उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए हम प्रकाश बल्बों की विफलता दर का परीक्षण कर रहे हैं। अगर हम यह जानना चाहते हैं कि एक बैच में कितने लोग काम नहीं करेंगे, तो हम अपने परीक्षण की सफलता को तब परिभाषित कर सकते हैं जब हमारे पास एक लाइट बल्ब है जो काम करने में विफल रहता है। परीक्षण की विफलता तब होती है जब प्रकाश बल्ब काम करता है। यह थोड़ा पिछड़ा हुआ लग सकता है, लेकिन हमारे परीक्षण की सफलताओं और असफलताओं को परिभाषित करने के कुछ अच्छे कारण हो सकते हैं जैसा कि हमने किया है। यह बेहतर हो सकता है, अंकन उद्देश्यों के लिए, जोर देने के लिए कि एक प्रकाश बल्ब के काम करने की उच्च संभावना के बजाय एक प्रकाश बल्ब के काम नहीं करने की कम संभावना है।
समान प्रायिकताएँ
हम जिस प्रक्रिया का अध्ययन कर रहे हैं, उसके दौरान सफल परीक्षणों की संभावनाएँ समान रहनी चाहिए। सिक्का उछालना इसका एक उदाहरण है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कितने सिक्के उछाले जाते हैं, हर बार सिर के फड़कने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ होती है।
मान लीजिए कि एक बैग में $100$ मार्बल्स में से $20$ नीले मार्बल्स हैं। यादृच्छिक रूप से एक नीला मार्बल चुनने की प्रायिकता $\frac{20}{100} = 0.2$ है। अब बचे हुए मार्बल में से फिर से चुनें। $99$ के मार्बल्स में से $19$ के नीले मार्बल्स हैं। एक और नीला मार्बल चुनने की प्रायिकता $\frac{19}{99} = 0.19$ है। जैसा कि आप देख सकते हैं कि सफलता की प्रायिकता बदल रही है। इसलिए ऐसे मामलों में, हम द्विपद बंटन का उपयोग नहीं कर सकते हैं।
द्विपद बंटन सूत्र क्या है?
किसी भी यादृच्छिक चर $\text{X}$ के लिए $n$ परीक्षणों में $x$ सफलताओं की प्रायिकता की गणना करने के लिए सूत्र इस प्रकार है।
$\text{P}(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (1-p)^{n-x}$
अथवा $\text{P}(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (q)^{n-x}$
जहां,
$n$ = प्रयोगों की संख्या
$x = 0, 1, 2, 3, 4, …$
$p$ = एक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता
$q$ = एक प्रयोग में विफलता की प्रायिकता (= $1 – p$)
द्विपद बंटन सूत्र $n$-बर्नौली परीक्षणों के रूप में भी लिखा जाता है, जहाँ $^n \text{C}_x = \frac{n!}{x!(n-x)!}$। इसलिए, $\text{P}(x:n,p) = \frac{n!}{x!(n-x)!}.p^x.(q)^{n-x}$
द्विपद बंटन सूत्र के उदाहरण
Example 1: यदि एक सिक्के को $5$ बार उछाला जाता है, तो ठीक $2$ चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
परीक्षणों की संख्या $n = 5$
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$
विफलता की प्रायिकता $q = 1 – p = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
सफलताओं की संख्या $x = 2$
$\text{P}(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (q)^{n-x}$
अतः $\text{P}\left(2:5,\frac{1}{2} \right) = ^5 \text{C}_2 \left(\frac{1}{2} \right)^2 \left(\frac{1}{2} \right)^{5-2}$
$= 10 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{8}$
$= \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$
Example 2: यदि एक पासे को $4$ बार उछाला जाता है, तो ठीक $3$ छक्के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
परीक्षणों की संख्या $n = 4$
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$
विफलता की प्रायिकता $q = 1 – p = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{2}$
सफलताओं की संख्या $x = 3$
$\text{P}(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (q)^{n-x}$
अतः $\text{P}\left(3:4,\frac{1}{6} \right) = ^4 \text{C}_3 \left(\frac{1}{6} \right)^3 \left(\frac{1}{6} \right)^{4-3}$
$= 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{1}{6}$
$= 4 \times \frac{1}{1296} = \frac{1}{324}$
Example 3: यदि एक पासे को 6$ बार उछाला जाता है, तो 4$ बार अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
परीक्षणों की संख्या $n = 6$
एक पासे में कुल संभावित परिणामों की संख्या = $6$
अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5$ कहलाती हैं
एक पासे में अभाज्य संख्याओं की संख्या = $3$
इसलिए अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$
विफलता की प्रायिकता $q = 1 – p = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
सफलताओं की संख्या $x = 4$
$\text{P}(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (q)^{n-x}$
$= ^6 \text{C}_4 \times \left(\frac{1}{2} \right)^4 \times \left(\frac{1}{2} \right)^{6-4}$
$= 15 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{4}$
$= 15 \times \frac{1}{64} $
$= \frac{15}{64} $
Example 4: यदि एक सिक्के को $5$ बार उछाला जाता है, तो कम से कम $3$ चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
परीक्षणों की संख्या $n = 5$
सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$
विफलता की संभावना $q = 1 – p = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
कम से कम $3$ चित का अर्थ है हेड की संख्या = $3$, $4$, या $5$।
सफलताओं की संख्या $x = 3, 4, 5$
$\text{P}(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (q)^{n-x}$
$\text{P}(3) = ^5 \text{C}_3 \left( \frac{1}{2} \right)^3 \times \left(\frac{1}{2} \right)^{5-3}$
$= 10 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{4}$
$= 10 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{16}$
$\text{P}(4) = ^5 \text{C}_4 \left( \frac{1}{2} \right)^4 \times \left(\frac{1}{2} \right)^{5-4}$
$= 5 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2}$
$= 5 \times \frac{1}{32} =\frac{5}{32}$
$\text{P}(5) = ^5 \text{C}_5 \left( \frac{1}{2} \right)^5 \times \left(\frac{1}{2} \right)^{5-5}$
$= 1 \times \frac{1}{32} \times 1 = \frac{1}{32}$
अतः आवश्यक प्रायिकता = $\frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32}$
$= \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$
Example 5: स्पोर्ट्स कार खरीदने वाले $60\%$ पुरुष हैं। यदि $10$ स्पोर्ट्स कार के मालिक बेतरतीब ढंग से चुने जाते हैं तो $7$ के पुरुष होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
सफलता की प्रायिकता $p = 60\% = 0.6$
इसलिए विफलता की प्रायिकता $q = 1 – 0.6 = 0.4$
परीक्षणों की संख्या $n = 10$
सफलता की संख्या $x = 7$
$\text{P}(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (q)^{n-x}$
$=> \text{P}(7:10,0.6) = ^{10} \text{C}_7 \times 0.6^7 \times 0.4^{10-7}$
$= 120 \times 0.0279936 \times 0.064 = 0.2150$ ($4$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित)
द्विपद बंटन माध्य और प्रसरण
एक द्विपद बंटन के लिए, सफलताओं की दी गई संख्या के लिए माध्य, प्रसरण और मानक विचलन को सूत्रों का उपयोग करके दर्शाया जाता है
माध्य, $ \ mu = np $
प्रसरण, $\sigma ^2 = npq$
मानक विचलन $\sigma= \sqrt{npq}$
जहां,
$p$ सफलता की प्रायिकता है
$q$ विफलता की प्रायिकता है ($q = 1-p$)
द्विपद बंटन माध्य और प्रसरण के उदाहरण
Example 1: $n = 18$ और $p = 0.4$ वाले द्विपद यादृच्छिक चर का माध्य ज्ञात कीजिए।
$n = 18$
$p = 0.4$
माध्य, $\mu = np = 18 \times 0.4 = 7.2$
Example 2: $n = 18$ और $p = 0.4$ वाले द्विपद बंटन का मानक विचलन क्या है?
$n = 18$
$p = 0.4$
$q = 1 – p = 1 – 0.4 = 0.6$
मानक विचलन $\sigma= \sqrt{npq}$
$=\sqrt{18 \times 0.4 \times 0.6} = \sqrt{4.32} = 2.08$
Example 3: $12$ परीक्षणों और $0.5$ के रूप में सफलता की प्रायिकता वाले द्विपद बंटन का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
परीक्षणों की संख्या $n = 12$
सफलता की प्रायिकता $p = 0.5$
विफलता की प्रायिकता $q = 1 – p = 1 – 0.5 = 0.5$
प्रसरण, $\sigma ^2 = npq = 12 \times 0.5 \times 0.5 = 3$
Example 4: $16$ परीक्षणों और $0.8$ के रूप में सफलता की प्रायिकता वाले द्विपद बंटन का माध्य, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
परीक्षणों की संख्या $n = 16$
सफलता की प्रायिकता $p = 0.8$
विफलता की संभावना $q = 1 – p = 1 – 0.8 = 0.2$
माध्य, $ \ mu = np = 16 \times 0.8 = 12.8 $
प्रसरण, $\sigma ^2 = npq = 16 \times 0.8 \times 0.2 = 2.56$
मानक विचलन $\sigma= \sqrt{npq} = \sqrt{16 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{2.56} = 1.6$
अभ्यास के लिए प्रश्न
- एक सिक्का चार बार उछाला जाता है। पट की तुलना में अधिक चित प्राप्त होने की प्रायिकता की गणना करें।
- एक एजेंट समान रूप से वृद्ध, स्वस्थ पांच लोगों को जीवन बीमा पॉलिसी बेचता है। हाल के आँकड़ों के अनुसार, किसी व्यक्ति के इन स्थितियों में $30$ या अधिक वर्षों तक रहने की संभावना $\frac{2}{3}$ है। संभावना की गणना करें कि $30$ वर्षों के बाद:
- सभी पांच लोग अभी भी जीवित हैं।
- कम से कम तीन लोग अभी भी जीवित हैं।
- ठीक दो लोग अभी भी जीवित हैं।
- यदि शाम को छह से सात बजे तक हर पांच में से एक टेलीफोन लाइन बातचीत में लगी हुई है: इसकी क्या प्रायिकता है कि जब $10$ टेलीफोन नंबर यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं, तो केवल दो उपयोग में होते हैं?
- शूटिंग रेंज में एक आदमी के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। यदि वह $10$ बार निशाना लगाता है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह लक्ष्य को ठीक तीन बार मारेगा? इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कम से कम एक बार लक्ष्य को भेदता है?
- एक बॉक्स में $10$ लाल और $20$ नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है और यह नोट किया जाता है कि यह लाल है या नहीं। प्रक्रिया दोहराती है, $10$ बार गेंद लौटाती है। इस खेल के अपेक्षित मूल्य और मानक विचलन की गणना करें।
- यह निर्धारित किया गया है कि रोड स्टॉप पर चेक किए गए ड्राइवरों में से $5\%$ में अल्कोहल के अंश दिखाई देते हैं और $10\%$ ड्राइवरों की जाँच की गई, जिन्होंने सीट बेल्ट नहीं पहनी थी। इसके अलावा, यह देखा गया है कि दो उल्लंघन एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। यदि कोई अधिकारी पांच ड्राइवरों को यादृच्छिक रूप से रोकता है:
- प्रायिकता की गणना करें कि वास्तव में तीन चालकों ने दो में से कोई एक अपराध किया है।
- इस प्रायिकता की गणना करें कि चेक किए गए ड्राइवरों में से कम से कम एक ने दो अपराधों में से कम से कम एक अपराध किया है।
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
सांख्यिकी में द्विपद बंटन और द्विपद बंटन सूत्र क्या है?
द्विपद बंटन एक नॉर्मल असतत वितरण है जिसका उपयोग सांख्यिकी में किया जाता है, जैसा कि सामान्य बंटन जैसे निरंतर बंटन के विपरीत होता है। द्विपद बंटन, इसलिए, $n$ परीक्षणों में $x$ सफलताओं की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है, प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की संभावना $p$ दी गई है। द्विपद बंटन सूत्र किसी भी यादृच्छिक चर $\text{X}$ के लिए है, इसके द्वारा दिया गया है; $P(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (1-p)^{n-x}$ या $\text{P}(x:n,p) = ^n \text {C} _ x p^x (q)^{n-x}$, जहां, $n$ प्रयोगों की संख्या है, $p$ एकल प्रयोग में सफलता की संभावना है, $q$ एक प्रयोग में विफलता की संभावना है एकल प्रयोग $(= 1 – p)$ और $0, 1, 2, 3, 4, …, n$ के रूप में मान लेता है।
द्विपद बंटन सूत्र का उद्देश्य क्या है?
द्विपद बंटन सूत्र हमें “सफलताओं” की एक निर्दिष्ट संख्या को देखने की संभावना की गणना करने की अनुमति देता है जब प्रक्रिया को एक विशिष्ट संख्या में दोहराया जाता है (उदाहरण के लिए, रोगियों के एक सेट में) और किसी दिए गए रोगी के लिए परिणाम या तो एक सफलता है या एक विफलता।
द्विपद बंटन का सूत्र क्या है?
द्विपद बंटन का सूत्र है $\text{P}(x: n,p) = ^n \text{C}_x p^x (q)^{n-x}$
कहाँ
$p$ सफलता की प्रायिकता है,
$q$ विफलता की प्रायिकता है,
$n$ = परीक्षणों की संख्या।
माध्य और प्रसरण के लिए द्विपद बंटन सूत्र क्या है?
द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण हैं:
माध्य = $np$
प्रसरण = $npq$
जहां,
$p$ सफलता की प्रायिकता है,
$q$ विफलता की प्रायिकता है,
$n$ = परीक्षणों की संख्या।
निष्कर्ष
द्विपद बंटन $n$ परीक्षणों में एक प्रयोग की $x$ सफलताओं की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है, प्रयोग में प्रत्येक परीक्षण के लिए एक सफलता प्रायिकता $p$ दी गई है। द्विपद वितरण सांख्यिकीय महत्व के प्रसिद्ध द्विपद परीक्षण के लिए आधार बनाता है। द्विपद बंटन में प्रयुक्त सूत्र है $\text{P}(x:n,p) = ^n \text{C}_x p^x (q)^{n-x}$ जहां, $n$ = की संख्या प्रयोग, $x = 0, 1, 2, 3, 4, …$, $p$ = एक प्रयोग में सफलता की प्रायिकता और $q$ = एक प्रयोग में विफलता की प्रायिकता (= $1 – p$)।
