माध्य – परिभाषा, सूत्र, गुण और उदाहरण

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सांख्यिकी में, माध्य या औसत, माध्यक और बहुलक के साथ संख्यात्मक प्रतिनिधियों में से एक है। इन अंकों, अर्थात् माध्य, माध्यक और बहुलक को केंद्रीय प्रवृत्ति के मापक भी कहा जाता है। माध्य सभी आँकड़ों के योग का आँकड़ों की कुल संख्या का अनुपात है।

आइए समझें कि माध्य सूत्र क्या है और उदाहरणों का उपयोग करके इसके गुणों के साथ माध्य की गणना कैसे की जाती है।

माध्य क्या है?

माध्य जिसे औसत भी कहा जाता है। इसकी गणना किसी दिए गए आँकड़ों के सेट में सभी मानों को जोड़कर और फिर उस सेट के भीतर कुल आँकड़ों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। माध्य की गणना विभिन्न विधियों का उपयोग करके की जाती है, जो आँकड़ों की मात्रा और बंटन पर आधारित होती हैं।

एक भौतिक अर्थ में, माध्य को गुरुत्वाकर्षण का केंद्र माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप किसी विशेष अवधि के दौरान किसी स्थान पर जाना चाहते हैं और उस अवधि के दौरान किसी स्थान का तापमान जानना चाहते हैं। ऐसे मामलों में, हम पिछले कुछ वर्षों से उस अवधि के दौरान दिनों के तापमान का औसत या माध्य ज्ञात करते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि हम पिछले 10 दिनों के तापमान को एकत्रित करते हैं, जो 25, 21, 23, 25, 24, 26, 21, 20, 24, और 22 (डिग्री सेल्सियस में) पाए गए, तो औसत तापमान इन 10 दिनों में से $\frac{25 + 21 + 23 + 25 + 24 + 26 + 21 + 20 + 24 + 22}{10} = \frac{231}{10} = 23.1^{\circ}\text {C}$।

माध्य के गुण

आइए माध्य के कुछ महत्वपूर्ण गुणों पर एक नजर डालते हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास $n$ आंकड़ें $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, …, $x_{n}$ और $\overline{x}$ उनके अंकगणितीय माध्य हैं , तब

• यदि दिए गए आँकड़ों के सेट में सभी का मान $m$ है, तो उनका माध्य भी $m$ होता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास $12$, $12$, $12$, $12$ और $12$ हैं। इसलिए, उनका माध्य $\frac{12 + 12 + 12 + 12 + 12}{5} = \frac {60}{5} = 12$ होगा।
• उनके माध्य से अवलोकनों के एक सेट के विचलन का बीजगणितीय योग शून्य है, यानी, $\left( x_{1} – \overline{x} \right) + \left( x_{2} – \overline{x} \right) + \left ( x_{3} – \overline{x} \right) + … + \left( x_{n} – \overline{x} \right)= 0$। असतत डेटा के लिए, $\sum \left(x_{i} – \overline{x} \right) = 0$ और समूहीकृत आवृत्ति बंटन के लिए, $\sum f\left(x_{i} – \overline{x} \right) = 0$।
• यदि आँकड़ों के सेट में प्रत्येक मान एक निश्चित मान से बढ़ता या घटता है, तो माध्य भी उसी संख्या से बढ़ता/घटता है। यदि $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, …, $x_{n}$ का माध्य $\overline{x}$ है, तो $x_{1} + k$, $x_{2} + k$, $x_{3} + k$, …, $x_{n} +k$  का माध्य होगा $\overline{x} +k$।
• यदि आँकड़ों के सेट में प्रत्येक मान को एक निश्चित मान से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो माध्य भी उसी संख्या से गुणा या विभाजित हो जाता है। यदि $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, …, $x_{n}$ का माध्य $\overline{x}$ है, तो $k.x_{1}$, $k.x_{2}$, $k.x_{3}$, …, $k.x_{n}$ $k.\overline{x}$ है। इसी प्रकार, $\frac{x_{1}}{k}$, $\frac{x_{2}}{k}$, $\frac{x_{3}}{k}$, …, $ का माध्य \frac{x_{n}}{k}$ का माध्य  $\frac{\overline{x}}{k}$ होगा।

माध्य सूत्र

दिए गए आँकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए सामान्य सूत्र है $\overline{x} = \frac{\text{Sum of all Observations}}{\text{Count of Observations}}$।

अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्य

यदि $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, …, $x_{n}$ $n$ आँकड़ें हैं तो माध्य $\overline{x} = \frac{ x_{1} + x_{2} + x_{3} + … + x_{n}}{n} = \frac{\sum {x_{i}}}{n}$ होता है।

उदाहरण

Ex 1: $7$, $4$, $6$, $5$, $8$, $5$, $8$, $4$, $6$, $8$, $5$, $7$ और $5 का माध्य ज्ञात कीजिए।

आँकड़ों की संख्या $n = 13$।

आँकड़ों का योग = $\sum {x_{i}} = 7 + 4 + 6 + 5 + 8 + 5 + 8 + 4 + 6 + 8 + 5 + 7 + 5 = 78$

माध्य = $\frac {\sum {x_{i}}}{n} = \frac {78}{13} = 6$।

Ex 2: $5.2$, $4.8$, $5.0$, $5.6$, $4.4$, $5.8$, $5.4$, और $4.2$ का माध्य ज्ञात कीजिए।

आँकड़ों की संख्या = $n = 8$।

आँकड़ों का योग = $\sum {x_{i}} = 5.2 + 4.8 + 5.0 + 5.6 + 4.4 + 5.8 + 5.4 + 4.2 = 40.4$

माध्य = \frac {\sum {x_{i}}}{n} = \frac {40.4}{8} = 5.05$।

Ex 3: पिछले $10$ दिनों के लिए रिकॉर्ड किया गया तापमान (डिग्री सेल्सियस में) $-4$, $-5$, $0$, $2$, $-1$, $3$, $0$, $-3$, $-2$ है , और $-1$. औसत तापमान ज्ञात कीजिए।

दिनों की संख्या = $n = 10$।

आँकड़ों का योग = $\sum {x_{i}} = -4 + \left(-5 \right) + 0 + 2 + \left(-1 \right) + 3 + 0 + \left(-3 \right) + \left(-2 \right) + \left(-1 \right) = -11$।

औसत तापमान = $\frac {\sum {x_{i}}}{n} = \frac {-11}{10} = -1.1^{\circ}\text{C}$।

Ex 4: यदि $12$, $19$, $18$, $17$, $12$, $14$, $x$, $16$, $18$, और $14$ का माध्य $15.5$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

माध्य = $15.5$

आँकड़ों की संख्या = $n = 10$

आँकड़ों का योग = $\sum {x_{i}} = 12 + 19 + 18 + 17 + 12 + 14 + x + 16 + 18 + 14 = 140 + x$।

माध्य = $\frac {\sum {x_{i}}}{n} = \frac{140 + x}{10}$

इसलिए, $\frac {\sum {x_{i}}}{n} = \frac{140 + x}{10} = 15.5 => 140 + x = 15.5 \times 10 => 140 + x = 155 => x = 155 – 140 => x = 15$

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य

वर्गीकृत आँकड़ों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करने की तीन विधियाँ हैं।

• प्रत्यक्ष विधि
• कल्पित-माध्य विधि
• पग-विचलन विधि

विधि का चुनाव आँकड़ों के संख्यात्मक मूल्यों और उनकी बारम्बारता (घटनाओं की संख्या) पर निर्भर करता है। यदि $x_{i}$ और $f_{i}$ पर्याप्त रूप से छोटे हैं, तो प्रत्यक्ष विधि का उपयोग किया जाता है। लेकिन, यदि वे संख्यात्मक रूप से बड़े हैं, तो हम कल्पित माध्य विधि या पग-विचलन विधि का उपयोग करते हैं।

प्रत्यक्ष विधि

बारम्बारता बंटन तालिका या तो असतत आँकड़ों या सतत आँकड़ों की हो सकती है।

असतत आँकड़ों के लिए प्रत्यक्ष विधि

यदि $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, …, $x_{n}$ आँकड़ें हैं, और $f_{1}$, $f_{2}$, $ f_{3}$, …, $f_{n}$, इन आँकड़ों की बारम्बारताएँ हैं, तो आँकड़ों का योग $f_{1}x_{1} + f_{2}x_{2} + f_{3}x_{3} + … + f_{n}x_{n}$ होगा और आँकड़ों की संख्या सभी बारम्बारताओं के योग के बराबर है, यानी, $f_{1} + f_{2} + f_{3} + … + f_{n}$ होगा।

इसलिए, माध्य $\overline{x} = \frac{f_{1}x_{1} + f_{2}x_{2} + f_{3}x_{3} + … + f_{n}x_{n }}{f_{1} + f_{2} + f_{3} + … + f_{n}} = \frac{\sum{f_{i}x_{i}}}{\sum{f_{i} }}$।

प्रत्यक्ष विधि द्वारा माध्य की गणना करने के लिए निम्नलिखित चरणों का उपयोग किया जाता है।

स्टैप 1: बारंबारता तालिका इस प्रकार तैयार करें कि इसके पहले कॉलम में आँकड़ें $\left(x_{i} \right)$ हों और दूसरे कॉलम में संबंधित बारम्बारता $\left(f_{i} \right)$ हों . $f_{i}$ और $x_{i}$ का गुणनफल, यानी $f_{i}x_{i}$ को शामिल करने के लिए एक और कॉलम बनाएं

स्टैप 2: $\sum{f_{i}}$ प्राप्त करने के लिए दूसरे कॉलम में सभी बारम्बारताओं को जोड़ें।

स्टैप 3: $\sum{f_{i}x_{i}}$ प्राप्त करने के लिए तीसरे कॉलम में सभी $f_{i}x_{i}$ जोड़ें।

स्टैप 4: माध्य की गणना करने के लिए $\frac{\sum{f_{i}x_{i}}}{\sum{f_{i}}}$ सूत्र का उपयोग करें।

उदाहरण

Ex 1: निम्नलिखित के छात्रों की माध्य ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

छात्र की माध्य ऊंचाई $\overline{x} = \frac{\sum{f_{i}x_{i}}}{\sum{f_{i}}} = \frac {3509}{23} = 152.56 \text{cm}$

Ex 2: निम्नलिखित बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए।

माध्य =$\frac{\sum{f_{i}x_{i}}}{\sum{f_{i}}} = \frac{1326}{50} = 26.52$

Ex 3: $p$ का मान ज्ञात करें, यदि बंटन का माध्य $18$ है।

इसलिए, $\frac{399 + 100p + 5p^{2}}{23 + 5p} = 18 => 399 + 100p + 5p^{2} = 18 \times (23 + 5p) => 399 + 100p + 5p^{2} = 414 + 90p$

$ => 399 + 100p + 5p^{2} – 414 – 90p = 0 => 5p^{2} + 10p – 15 = 0 => p^{2} + 2p – 3 = 0$

$ => p^{2} – p + 3p – 3 = 0 => p\left(p – 1 \right) + 3 \left(p – 1 \right) = 0 => (p – 1)(p + 3) = 0 => p = 1 \text{ or } p = -3$

चूंकि बारम्बारता ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए,  $p = 1$.

सतत आँकड़ों के लिए प्रत्यक्ष विधि

प्रत्यक्ष विधि द्वारा माध्य की गणना करने के लिए निम्नलिखित चरणों का उपयोग किया जाता है।

स्टैप 1: चार स्तंभों वाली एक तालिका तैयार करें जैसे कि

• पहले कॉलम में वर्ग अंतराल है
• दूसरे कॉलम में बारम्बारता $\left(f_{i} \right)$ है।
• तीसरे कॉलम में वर्ग चिन्ह होते हैं। वर्ग चिन्ह की गणना करने का सूत्र $\frac{\text{Lower Limit} + \text{Upper Limit}}{2}$ है।
• चौथे कॉलम में बारम्बारता और वर्ग चिन्ह का गुणनफल होता है, यानी $f_{i}x_{i}$

स्टैप 2: $\sum{f_{i}}$ प्राप्त करने के लिए दूसरे कॉलम में सभी बारम्बारताओं को जोड़ें।

स्टैप 3: $\sum{f_{i}x_{i}}$ प्राप्त करने के लिए तीसरे कॉलम में सभी $f_{i}x_{i}$ जोड़ें।

स्टैप 4: माध्य की गणना करने के लिए $\frac{\sum{f_{i}x_{i}}}{\sum{f_{i}}}$ सूत्र का उपयोग करें।

उदाहरण

Ex 1: निम्नलिखित तालिका एक निश्चित कारखाने में श्रमिकों के रुपये में साप्ताहिक वेतन का बंटन है।

साप्ताहिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।

इसलिए, औसत साप्ताहिक मजदूरी हैं $\overline{x} = \frac{\sum{f_{i}x_{i}}}{\sum{f_{i}}} = \frac{79900}{180} =$ ₹$443.89$. (निकटतम पैसे तक पूर्णांकित)।

Ex 3: निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य $62.8$ है और सभी बारम्बारताओं का योग $50$ है। लापता बारम्बारताओं  $f_{1}$ और $f_{2}$ की गणना करें।

चूंकि, सभी बारम्बारताओं का योग $50$ है $50 => 5 + f_{1} + 10 + f_{2} + 7 + 8 = 50 =>f_{1} + f_{2} = 20$ ———- (1)

$\overline{x} = \frac{\sum{f_{i}x_{i}}}{\sum{f_{i}}} => 62.8 = \frac{2060 + 30f_{1} + 70f_{2}}{50} =>2060 + 30f_{1} + 70f_{2} = 62.8 \times 50$

$ =>2060 + 30f_{1} + 70f_{2} = 3140 =>30f_{1} + 70f_{2} = 3140 – 2060 =>30f_{1} + 70f_{2} = 1080 =>3f_{1} + 7f_{2} = 108$  —– (2)

समीकरणों (1) और (2) को हल करने पर, हम पाते हैं

$f_{1} = 8$ and $f_{2} = 12$.

Tइसलिए, लापता बारम्बारताएँ क्रमशः $8$ और $12$ हैं।

कल्पित-माध्य विधि

इस विधि में, एक कल्पित माध्य (अनुमानित माध्य भी कहा जाता है) लिया जाता है (अधिमानतः मध्य के पास), मान लीजिए $\text{A}$ और हम विचलन की गणना करते हैं $d_{i} = x_{i} – \text{A} $x_{i}$ के प्रत्येक मान के लिए $। फिर माध्य $\overline{x}$ की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\overline{x} = \text{A} + \frac{\sum{f_{i}d_{i}}}{\sum{f_ {मैं}}}$।

नोट: कल्पित माध्य $\text{A}$ प्रेक्षणों में से एक $x_{i}$ नहीं हो सकता है अर्थात, $\text{A}$ कोई गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है। माध्य का मान $\text{A}$ के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है।

कल्पित-माध्य विधि द्वारा माध्य की गणना करने के लिए निम्न चरणों का उपयोग किया जाता है।

स्टैप 1: बारंबारता बंटन इस प्रकार तैयार करें कि इसके पहले कॉलम में वर्ग अंतराल, दूसरे कॉलम में संबंधित बारंबारताएं और तीसरे कॉलम में वर्ग चिन्ह (या मध्य-मान) हों।

स्टैप 2: कल्पित माध्य $text{A}$ चुनें और विचलन $d_{i} = x_{i} – \text{A}$ लें। इन विचलनों को चौथे कॉलम में संबंधित बारंबारताओं के विरुद्ध लिखें।

स्टैप 3: पांचवें कॉलम में संबंधित विचलन यानी $f_{i}d_{i}$ के साथ प्रत्येक पंक्ति की बारम्बारता का गुणनफल होता है।

स्टैप 4: $\sum{f_{i}}$ प्राप्त करने के लिए दूसरे कॉलम में सभी बारम्बारताओं को जोड़ें।

स्टैप 5: $\sum{f_{i}d_{i}}$ प्राप्त करने के लिए पांचवें कॉलम में सभी गुणनफलों को जोड़ें।

उदाहरण

Ex 1: कल्पित-माध्य विधि का उपयोग करके माध्य की गणना करने के लिए उपरोक्त उदाहरण को लेते हैं।

निम्नलिखित तालिका एक निश्चित कारखाने में श्रमिकों के रुपये में साप्ताहिक वेतन का बंटन है।

साप्ताहिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, हम वर्ग चिह्न (या मध्य-मान) की गणना करेंगे।

वर्ग चिह्न $325$, $375$, $425$, $475$, $525$ और $575$ हैं।

कल्पित माध्य $A = 475$।

इसलिए, औसत साप्ताहिक मजदूरी है $\overline{x} = \text{A} + \frac{\sum{f_{i}d_{i}}}{\sum{f_{i}}} = 475 + \frac{-5600}{180} = $ ₹443.89$  (निकटतम पैसे में पूर्णांकित)

पग-विचलन विधि

अधिकांश प्रश्नों में, सभी वर्गों की चौड़ाई समान होती है, इसलिए ऐसे मामलों में, विचलन $d_{i}$ एक सामान्य संख्या से विभाज्य होते हैं, जैसे $h$। हम कोडित माध्य की गणना करके माध्य की गणना को और सरल बना सकते हैं, अर्थात् $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$, …, $u_{n}$ का माध्य जहां $ u_{i} = \frac{x_{i} – \text{A}}{h}$।

फिर, माध्य सूत्र $\overline{x}= \text{A} + h\left(\frac{\sum{f_{i}u_{i}}}{\sum {f_ {i}}} \right)$।

पग विचलन विधि द्वारा माध्य की गणना करने के लिए निम्न चरणों का उपयोग किया जाता है।

स्टैप 1: बारंबारता तालिका इस प्रकार तैयार करें कि इसके पहले कॉलम में वर्ग अंतराल, दूसरे कॉलम में संबंधित बारंबारताएं और तीसरे कॉलम में वर्ग-चिन्ह (मध्य-मान) हों।

स्टैप 2: कल्पित माध्य $\text{A}$ चुनें और विचलन $d_{i} = x_{i} – \text{A}$ लें। इन विचलनों को चौथे कॉलम में संबंधित बारंबारताओं के विरुद्ध लिखें।

स्टैप 3: एक संख्या $h$ चुनें, सभी विचलनों का सामान्य कारक, $u_{i}$ प्राप्त करने के लिए $d_{i}$ को $h$ से विभाजित करें। इन $u_{i}$ को संबंधित $d_{i}$ के सामने पांचवें कॉलम में लिखें।

स्टैप 4: छठे कॉलम में संबंधित $u_{i}$ यानी $f_{i}u_{i}$ के साथ प्रत्येक पंक्ति की बारम्बारताओं का गुणनफल होता है।

स्टैप 5: $\sum{f_{i}}$ प्राप्त करने के लिए दूसरे कॉलम में सभी बारम्बारताओं को जोड़ें।

स्टैप 6: $\sum{f_{i}u_{i}}$ प्राप्त करने के लिए छठे कॉलम में सभी गुणनफलों को जोड़ें।

स्टैप 7: माध्य की गणना करने के लिए, $\overline{x} = \text{A} + h\left(\frac{\sum{f_{i}u_{i}}}{\sum{f_{i}}} \right)$  सूत्र का उपयोग करें ।

उदाहरण

Ex 1: कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य की गणना करने के लिए उपरोक्त उदाहरण को लेते हैं।

निम्नलिखित तालिका एक निश्चित कारखाने में श्रमिकों के रुपये में साप्ताहिक वेतन का बंटन है।

साप्ताहिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, हम वर्ग-चिन्ह (या मिड-वैल्यू) की गणना करेंगे।

वर्ग-चिन्ह $325$, $375$, $425$, $475$, $525$ और $575$ हैं।

कल्पित माध्य $A = 425$ लेते हैं।

चूंकि, प्रत्येक वर्ग-चिन्ह के बीच का अंतर $50$ है, इसलिए, सामान्य संख्या $h = 50$ लेते हैं।

 $\overline{x} = \text{A} + h\left(\frac{\sum{f_{i}u_{i}}}{\sum{f_{i}}} \right) = 425 + 50 \times \frac{68}{180} = 425 + 18.89 =  $ ₹$443.89$  (निकटतम पैसे तक पूर्णांकित)।

माध्य के लाभ और हानियाँ

मुख्य बिंदु

माध्य से संबंधित महत्वपूर्ण सूत्र निम्नलिखित हैं।

• यदि $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, …, $x_{n}$ एक चर $X$ के $n$ चर हैं, तो माध्य इन मानों में से $\overline{x}$ द्वारा दर्शाया जाता है और $\overline{x} = \frac{\sum{x_{i}}}{n}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• वर्ग-चिन्ह (या मिड-वैल्यू) $x_{i} = \frac{\text{lower class limit} + \text{upper class limit}}{2}$।
• प्रत्यक्ष विधि द्वारा वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य का सूत्र $\overline{x} = \frac{\sum{f_{i}x_{i}}}{\sum{f_{i}}}$ है।
• कल्पित-माध्य विधि द्वारा वर्गीकृत डेटा के माध्य का सूत्र है $\overline{x} = \text{A} + \frac{\sum{f_{i}d_{i}}}{\sum{f_{i} }}$।
• कल्पित-माध्य विधि में प्रयुक्त $d_{i}$ को कल्पित माध्य $\text{A}$ से क्लासमार्क $x_{i}$ का विचलन कहा जाता है और इसे $d_{i} = x_{i} द्वारा दिया जाता है – पाठ {ए} $।
• पग विचलन विधि द्वारा वर्गीकृत आँकड़ों के माध्य का सूत्र है $\overline{x} = \text{A} + h\left(\frac{\sum{f_{i}u_{i}}}{\sum{f_ {i}}} \right)$।
• $u_{i}$ का उपयोग पग विचलन विधि में विचलन $d_{i}$ को एक सामान्य कारक $h$ से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात, $u_{i} = \frac{d_{i}}{h} $ या $u_{i} = \frac{x_{i} – \text{A}}{h}$।

अभ्यास के लिए प्रश्न

प्रथम पाँच अभाज्य संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए।

प्रथम पाँच विषम संख्याओं और प्रथम पाँच सम संख्याओं के माध्यों का अंतर ज्ञात कीजिए

एक महीने में $30$ दिनों के लिए एक कस्बे में रिकॉर्ड किए गए तापमान का बंटन निम्नलिखित है। महीने का माध्य तापमान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए

• प्रत्यक्ष विधि
• कल्पित-माध्य विधि
• पग विचलन विधि

निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य $50$ है, लेकिन $20 – 40$ और $60 – 80$ वर्गों में क्रमशः $f_{1}$ और $f_{2}$ की बारम्बारताएँ ज्ञात नहीं हैं। यदि सभी बारंबारताओं का योग $120$ है, तो इन बारंबारताओं को ज्ञात कीजिए।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

माध्य, या औसत का सबसे सरल और सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला माप है। माध्य सूत्र में केवल संख्याओं के समूह का योग लेना शामिल है, फिर उस योग को श्रृंखला में प्रयुक्त संख्याओं की संख्या से विभाजित करना। यह हमें सभी आँकड़ों पर विचार करके बारम्बारता बंटन के केंद्र को जानने में मदद करता है।

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