निर्देशांक ज्यामिति में चतुर्भुज का क्षेत्रफल – सूत्र और उदाहरण

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चतुर्भुज एक बंद आकार और एक प्रकार का बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ, चार शीर्ष और चार कोण होते हैं। यह चार असंरेखी  बिंदुओं को मिलाकर बनता है। चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके अंदर मौजूद क्षेत्र की मात्रा है। हम सूत्रों का उपयोग करके सम चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

इस लेख में, आप सीखेंगे कि निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करके किसी भी प्रकार के चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है।

निर्देशांक ज्यामिति में चतुर्भुज का क्षेत्रफल

जब किसी चतुर्भुज में एक विकर्ण खींचा जाता है तो वह दो त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है। चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा। किसी भी चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम अलग-अलग त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं और उनके क्षेत्रफलों को जोड़ते हैं।

उपरोक्त चित्र में, चतुर्भुज $\text{ABCD}$ को दो त्रिभुजों $\text{ABC}$ और $\text{CDA}$ में एक विकर्ण $\text{AC}$ द्वारा विभाजित किया गया है।

$\text{Quad. ABCD}$ का क्षेत्रफल = $\triangle \text{ABC}$ का क्षेत्रफल + $\triangle \text{CDA}$ का क्षेत्रफल।

उपरोक्त चित्र में, चतुर्भुज $\text{ABCD}$ को दो त्रिभुजों $\text{ABD}$ और $\text{BCD}$ में एक विकर्ण $\text{BD}$ द्वारा विभाजित किया गया है।

$\text{Quad. ABCD}$ का क्षेत्रफल = $\triangle \text{ABD}$ का क्षेत्रफल + $\triangle \text{BCD}$ का क्षेत्रफल।

यदि किसी चतुर्भुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हो तो हम दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की गणना करके चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

उपरोक्त चित्र में,

$\triangle \text{ABC}$ का क्षेत्रफल = $|\frac{1}{2}[x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)]|$

$\triangle \text{ACD}$ का क्षेत्रफल = $|\frac{1}{2}[x_1(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_3)]|$

अतः चतुर्भुज $\text{ABCD}$  का क्षेत्रफल = $|\frac{1}{2}[x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)]| + |\frac{1}{2}[x_1(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)] + [x_1(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) + x_1(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_3) + x_1(y_3 – y_4) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) + x_3(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_3 + y_3 – y_4) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2 + y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(- y_2 + y_4) + x_4(y_1 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_1 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|x_1 y_2 – x_1 y_4 + x_2 y_3 – x_2 y_1 + x_3 y_4 – x_3 y_2 + x_4 y_1 – x_4 y_3|$

$= \frac{1}{2}|x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1  – x_1 y_4 – x_2 y_1 – x_3 y_2 – x_4 y_3|$

$= \frac{1}{2}|(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1)  – (x_2 y_1 + x_3 y_2 +  x_4 y_3 + x_1 y_4)|$

$= \frac{1}{2}|(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1)  – (y_1  x_2 + y_2 x_3 +  y_3  x_4 + y_4 x_1)|$

उपरोक्त चित्र में,

$\triangle \text{ABD}$ का क्षेत्रफल = $|\frac{1}{2}[x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_2)]|$

$\triangle \text{BCD}$ का क्षेत्रफल = $|\frac{1}{2}[x_2(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_2 – y_3)]|$

अतः चतुर्भुज $\text{ABCD}$  का क्षेत्रफल = $|\frac{1}{2}[x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_2)]| + |\frac{1}{2}[x_2(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_2 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_2)] + [x_2(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_2 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_4 – y_1) + x_4(y_1 – y_2) + x_2(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_2 – y_3)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_4 – y_1) + x_2(y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_2 – y_3) + x_4(y_1 – y_2)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_4 – y_1 + y_3 – y_4) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_2 – y_3 + y_1 – y_2)]|$

$= \frac{1}{2}|[x_1(y_2 – y_4) + x_2(- y_1 + y_3) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(- y_3 + y_1)]|$

$= \frac{1}{2}|x_1 y_2 – x_1 y_4 + x_2 y_3 – x_2 y_1 + x_3 y_4 – x_3 y_2 + x_4 y_1 – x_4 y_3|$

$= \frac{1}{2}|(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1) – (x_2 y_1 +  x_3 y_2 + x_4 y_3 + x_1 y_4)|$

$= \frac{1}{2}|(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1) – (y_1x_2  + y_2 x_3  + y_3 x_4 + y_4 x_1)|$

निर्देशांक ज्यामिति में चतुर्भुज के क्षेत्रफल के उदाहरण

Example 1: $\text{A}(−3, 1)$, $\text{B}(−1, 4)$, $\text{C}(3, 2)$, और $\text{D}(1, −2)$ शीर्षों वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$\text{A}(x_1, y_1)$, $\text{B}(x_2, y_2)$, $\text{C}(x_3, y_3)$, और $\text{D}(x_4, y_4)$  शीर्षों वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल

$\frac{1}{2}|(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1) – (y_1x_2  + y_2 x_3  + y_3 x_4 + y_4 x_1)|$ होता है।

इसलिए शीर्षों $\text{A}(−3, 1)$, $\text{B}(−1, 4)$, $\text{C}(3, 2)$, and $\text{D}(1, −2)$ वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल 

$ = \frac{1}{2}|(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1) – (y_1x_2  + y_2 x_3  + y_3 x_4 + y_4 x_1)|$

$ = \frac{1}{2}|(-3 \times 4 + (-1) \times 2 + 3 \times (-2) + 1 \times 1) – (1 \times (-1)  + 4 \times 3  + 2 \times 1 + (-2) \times (-3))|$

$ = \frac{1}{2}|(-12 – 2 – 6 + 1) – (-1  + 12  + 2 + 6)|$

$ = \frac{1}{2}|-19 – 19|$

$ = \frac{1}{2} \times |-38|$

$ = \frac{1}{2} \times 38 = 19$ वर्ग इकाई

Example 2: $\text{A}(-3, 2)$, $\text{B}(5, 4)$, $\text{C}(7, -6)$, और $\text{D}(-5, -4)$ शीर्षों वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

$\text{A}(x_1, y_1)$, $\text{B}(x_2, y_2)$, $\text{C}(x_3, y_3)$, और $\text{D}(x_4, y_4)$ शीर्षों वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल

= $\frac{1}{2}|(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1) – (y_1x_2  + y_2 x_3  + y_3 x_4 + y_4 x_1)|$.

इसलिए शीर्षों $\text{A}(-3, 2)$, $\text{B}(5, 4)$, $\text{C}(7, -6)$ और $\text{D}(-5, -4)$ वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल

$= \frac{1}{2}|(-3 \times 4 + 5 \times (-6) + 7 \times (-4) – 5 \times 2) – (2 \times 5  + 4 \times 7  + (-6) \times (-5) – 4 \times (-3))|$

$= \frac{1}{2}|(-12 – 30 – 28 – 10) – (10  + 28  + 30 + 12)|$

$= \frac{1}{2}|-80 – 80|$

$= \frac{1}{2} \times |-160|$

$= \frac{1}{2} \times 160 = 80$ वर्ग इकाई

Practice Problems

1. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $\text{A}(3,2)$, $\text{B}(5,4)$, $\text{C}(7,6)$ और \text{D}(5,4)$ हैं। 
2. निम्न शीर्ष $(7, 5)$, $(4, 10)$, $(-6, 11)$, और $(-5,2)$ के साथ चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
3. उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक $(1,2)$, $(6,2)$, $(5,3)$, और $(3,4)$ हैं।
4. चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसके कोणीय बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः $(1,1)$, $(3,4)$, $(5,−2)$, और $(4,−7)$ हैं।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

वह चतुर्भुज जिसके शीर्ष दिए गए हों के क्षेत्रफल की गणना $\frac{1}{2}|(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1) – (y_1x_2  + y_2 x_3  + y_3 x_4 + y_4 x_1)|$ सूत्र से की जाती है। यह सूत्र निर्देशांक ज्यामिति में त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का विस्तार है।

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