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समांतर चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज है जो समानांतर रेखाओं से बनता है। एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं के दोनों जोड़े समान्तर और बराबर होते हैं। अन्य 2डी आकृतियों की तरह, समांतर चतुर्भुज से जुड़े माप दो प्रकार के होते हैं – परिधि और क्षेत्रफल।
आइए उदाहरणों के साथ समझते हैं कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है और समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए विभिन्न सूत्र क्या हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 2डी तल में समांतर चतुर्भुज द्वारा कवर किया गया क्षेत्र या स्थान है और यह इकाई वर्गों की कुल संख्या को संदर्भित करता है जो इसमें फिट हो सकते हैं। इसे वर्ग इकाइयों में मापा जाता है जैसे $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{ft}^2$, $\text{in}^2$, आदि। समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए आधार (एक भुजा) और ऊंचाई (जिसे ऊंचाई भी कहा जाता है) का उपयोग किया जाता है।
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना पक्षों या विकर्णों का उपयोग करके विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कुछ सूत्र हैं
- भुजा और ऊंचाई का उपयोग करके
- विकर्णों का उपयोग करके
- भुजाओं का उपयोग करके
भुजा और ऊँचाई का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
एक समांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ पर विचार करें, जैसे कि आसन्न भुजाएँ $a$ और $b$ हैं और $h$ ऊंचाई है (विपरीत शीर्ष से भुजा $b$ की लंबवत दूरी), तो का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज सूत्र $\text{क्षेत्र} = b \times h$ द्वारा दिया जाता है।
भुजा और ऊँचाई का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के उदाहरण
उदाहरण 1: $5$ सेमी आधार और $7$ सेमी ऊंचाई वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
समांतर चतुर्भुज का आधार $b = 5$ सेमी
समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई $h = 7$ सेमी
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $b \times h = 5 \times 7 = 35 \text{ cm}^2$
उदाहरण 2: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी चौड़ाई $8$ सेमी और ऊंचाई $11$ सेमी है।
समांतर चतुर्भुज $b की चौड़ाई (आधार) = 8$ सेमी
समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई $h = 11$ सेमी
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $b \times h = 8 \times 11 = 88 \text{ cm}^2$
उदाहरण 3: समांतर चतुर्भुज का आधार उसकी ऊंचाई का तीन गुना है। यदि क्षेत्रफल $192 \text{cm}^2$ है, तो आधार और ऊंचाई ज्ञात करें।
माना समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई = $x$ सेमी
अतः समांतर चतुर्भुज का आधार = $3x$ सेमी
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\text{Base} \times \text{Height}$
इसलिए $3x \times x = 192 => 3x^2 = 192$
$ => x^2 = \frac{192}{3} => x^2 = 64$
दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात करें
$x = \sqrt{64} => x = 8$
समांतर चतुर्भुज का आधार = $3 \गुणा 8 = 24$ सेमी
तथा समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई = $8$ सेमी
उदाहरण 4: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $1250$ वर्ग है। सेमी। इसकी ऊंचाई इसके आधार से दोगुनी है. ऊँचाई और आधार ज्ञात कीजिए।
माना समांतर चतुर्भुज का आधार = $x$ सेमी
अतः समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई = $2x$ सेमी
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\text{Base} \times \text{Height}$
$x \times 2x = 1250 => 2x^2 = 1250$
$=> x^2 = \frac{1250}{2} => x^2 = 625$
दोनों पक्षों का वर्गमूल ज्ञात करने पर
$x = \sqrt{625} => x = 25$
अत: समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई = $2 \गुणा 25 = 50$ सेमी
और समांतर चतुर्भुज का आधार = $25$ सेमी
उदाहरण 5: एक खेल के मैदान का क्षेत्रफल जो एक समांतर चतुर्भुज के आकार का है $2500 \text{ ft}^2$ है, जिसके एक तरफ का माप $250$ फीट है। संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
समांतर चतुर्भुज आकार के खेल के मैदान का क्षेत्रफल = $2500 \text{ ft}^2$
एक ओर की लंबाई $b = 250$ ft
माना संगत ऊँचाई की ऊँचाई = $h$
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $bh$
इसलिए $250 \times h = 2500 => h = \frac{2500}{250}$
$=> h = 10$ फीट
इसलिए ऊंचाई (ऊंचाई) = $10$ फीट।
विकर्णों का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
एक समांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ पर विचार करें, जैसे कि आसन्न भुजाएँ $a$ और $b$ हैं और $\text{AC}$ और $\text{BD}$ विकर्ण हैं जो $\text{O}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और एक कोण $\alpha$ बनाते हैं। यदि विकर्णों की लंबाई $\text{d}_1$ और $\text{d}_2$ है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
विकर्णों का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के उदाहरण
उदाहरण 1: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके विकर्ण $8$ सेमी और $6$ सेमी मापते हैं और उनके बीच का कोण $30^{\circ}$ है।
समांतर चतुर्भुज के पहले विकर्ण की लंबाई $\text{d}_1 = 8$ सेमी
समांतर चतुर्भुज के दूसरे विकर्ण की लंबाई $\text{d}_2 = 6$ सेमी
विकर्णों के बीच का कोण $\alpha = 30^{\circ}$
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \text{d}_1 \text{d}_2 \sin \alpha$
$= \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin 30^{\circ}$
$= 24 \गुना \frac{1}{2} = 12 \text{cm}^2$
उदाहरण 2: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण क्रमशः $5$ सेमी और $7$ सेमी हैं, $\frac{35 \sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$ है। विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$
यहां $d_1 = 5$ सेमी, $d_2 = 7$ सेमी, और क्षेत्रफल = $\frac{35 \sqrt{3}}{4} \text{ सेमी}^2$
इसलिए $\frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin \alpha = \frac{35 \sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$
$=> \frac{1}{2} \times 35 \times \sin \alpha = \frac{35 \sqrt{3}}{4}$
$=> \frac{1}{2} \times \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}$
$=> \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$=> \alpha = 60^{\circ}$
अत: विकर्णों के बीच का कोण = $60^{\circ}$
भुजाओं का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
एक समांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ पर विचार करें, जैसे कि आसन्न भुजाएँ $a$ और $b$ हों। इसके अलावा, यदि $\alpha$ भुजाओं $a$ और $b$ के बीच का कोण है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र $\text{Area} = a b \sin \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
भुजाओं का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के उदाहरण
उदाहरण 1: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी आसन्न भुजाएँ $10$ सेमी और $8$ सेमी हैं और उनके बीच का कोण $30^{\circ}$ है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $a b \sin \alpha$
यहां $a = 10$ सेमी, $b = 8$ सेमी, और $\alpha = 30^{\circ}$
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $10 \times 8 \times \sin 30^{\circ}$
$= 10 \गुना 8 \गुना \frac{1}{2} = 40 \text{ सेमी}^2$।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ हैं
- $a = 9$ cm and $b = 12$ cm
- $a = 16$ in and $b = 20$ in
- उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके दो विकर्ण और उनके बीच का कोण है
- $d_1 = 4$ cm, $d_2 = 6$ cm and $\alpha = 45^{\circ}$
- $d_1 = 10$ cm, $d_2 = 14$ cm and $\alpha = 90^{\circ}$
- उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ तथा भुजाओं के बीच का कोण है
- $a = 12$ cm, $b = 18$ cm, $\alpha = 90^{\circ}$
- $a = 8$ cm, $b = 14$ cm, $\alpha = 60^{\circ}$
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कितना होता है?
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को इसके द्वारा द्वि-आयामी अंतरिक्ष में घिरे क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे वर्ग इकाइयों में मापा जाता है जैसे $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{in}^2$, आदि।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र क्या है?
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आमतौर पर तीन सूत्रों का उपयोग किया जाता है। ये हैं
1. $b \times h$, जहां $b$ एक भुजा की लंबाई है और $h$ विपरीत शीर्ष से इसकी लंबवत दूरी है
2. $\frac{1}{2} \text{d}_1 \text{d}_2 \sin \alpha$, जहां $\text{d}_1$, $\text{d}_2$ विकर्ण हैं और $ \alpha$ उनके बीच का कोण है
3. $a b \sin \alpha$, जहां $a$, $b$ आसन्न भुजाएं हैं और $\alpha$ उनके बीच का कोण है
जब विकर्ण दिए गए हों तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या होता है?
विकर्ण दिए जाने पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र है $\frac{1}{2} \times \text{d}_1 \times $\text{d}_2 \times \sin \alpha$, जहां $ \text{d}_1$ और $\text{d}_2$ समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई हैं, और $\alpha$ उनके बीच का कोण है।
समांतर चतुर्भुज का परिमाप कितना होता है?
समांतर चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए सभी भुजाओं को एक साथ जोड़ें। समांतर चतुर्भुज की परिधि ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र $2 (a + b)$ है, जहां $a$, और $b$ समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ हैं।
निष्कर्ष
समांतर चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज है जो समानांतर रेखाओं से बनता है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सबसे अधिक उपयोग किये जाने वाले तीन सूत्र हैं
- $b \times h$, जहां $b$ एक भुजा की लंबाई है और $h$ विपरीत शीर्ष से इसकी लंबवत दूरी है
- $\frac{1}{2} \text{d}_1 \text{d}_2 \sin \alpha$, जहां $\text{d}_1$, $\text{d}_2$ विकर्ण हैं और $ \alpha$ उनके बीच का कोण है
- $a b \sin \alpha$, जहां $a$, $b$ आसन्न भुजाएं हैं और $\alpha$ उनके बीच का कोण है
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