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वृत्त एक द्वि-आयामी आकृति है जो बिंदुओं के एक समूह द्वारा बनाई जाती है जो समतल पर एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक स्थिर या एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर होती है। दूसरे शब्दों में, एक वृत्त एक बिंदु का बिंदुपथ है जो एक तल में चलता है ताकि एक ही तल में एक निश्चित बिंदु से इसकी दूरी हमेशा स्थिर रहे। किसी वृत्त की त्रिज्याओं, जीवाओं या स्पर्श रेखाओं के बीच बने कोण को वृत्त का कोण कहते हैं।
आइए एक वृत्त में कोण से संबंधित गुणों और कोण के गुणों के आधार पर प्रमेय को समझते हैं।
वृत्त में कोण
आइए पहले जीवा द्वारा वृत्त के किसी बिंदु पर अंतरित कोण से प्रारंभ करें।
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।
उपरोक्त चित्र में, $\text{PQ}$ केंद्र $\text{O}$ वाले वृत्त में एक जीवा है। उपरोक्त आकृति में तीन कोण हैं।
- $\angle \text{PRQ}$
- $\angle \text{POQ}$
- $\angle \text{PSQ}$
ये सभी कोण जीवा $\text{PQ}$ द्वारा अंतरित होते हैं।
$\angle \text{PRQ}$ और $\angle \text{PSQ}$ को जीवा $\text{PQ}$ द्वारा दो बिंदुओं $\text{P}$ और $\text{S}$ पर बनाया गया है। इन कोणों को जीवा द्वारा वृत्त के किसी बिंदु पर अंतरित कोण कहा जाता है।
$\angle \text{POQ}$ को वृत्त के केंद्र $\text{O}$ में जीवा $\text{PQ}$ द्वारा अंतरित किया गया है। इस कोण को जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र पर अंतरित कोण के रूप में जाना जाता है।
आइए आगे इन दो प्रकार के कोणों के गुणों को समझते हैं, अर्थात,
- जीवा द्वारा वृत्त के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण
- जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाया गया कोण
वृत्त के समान वृत्तखंड में कोण समान होते हैं
इस कथन से संबंधित प्रमेय कि एक वृत्त के एक ही वृत्तखंड में कोण बराबर होते हैं, वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।
प्रमेय: वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं
उपरोक्त आकृति में, आपको केंद्र $\text{O}$ वाले एक वृत्त की दो समान जीवाएँ $\text{AB}$ और $\text{CD}$ दी गई हैं और आप यह सिद्ध करना चाहते हैं कि $\angle \text{AOB} = \angle \text{COD}$।
त्रिभुज $\text{AOB}$ और $\text{COD}$ में,
$\text{OA} = \text{OC}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\text{OB} = \text{OD}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\text{AB} = \text{CD}$ (दिया गया है)
इसलिए, $\triangle \text{AOB} \cong \triangle \text{COD}$ (SSS rule)
अतः, $\angle \text{AOB} = \angle \text{COD}$ (CPCT)
अब, उपरोक्त प्रमेय के विलोम को समझते हैं, अर्थात, यदि एक वृत्त की जीवाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण बराबर हैं, तो जीवाएँ बराबर हैं।
दोबारा, आइए उसी आकृति को संदर्भ में लें।
यहाँ, यह दिया गया है कि $\angle \text{AOB} = \angle \text{COD}$, और आप सिद्ध करना चाहते हैं कि $\text{AB} = \text{CD}$।
$\triangle \text{AOB}$ और $\triangle \text{COD}$ पर विचार करें
$\text{OA} = \text{OC}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\text{OB} = \text{OD}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\angle \text{AOB} = \angle \text{COD}$ (दिया गया है)
इसलिए, $\triangle \text{AOB} \cong \triangle \text{COD}$
अतः, $\text{AB} = \text{CD}$ (CPCT)
प्रमेय: किसी चाप (जीवा) द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर बनाए गए कोण का दुगुना होता है।
उपरोक्त आकृति तीन मामलों को दिखाता है जहां एक चाप (या एक जीवा) $\text{PQ}$ केंद्र $\angle \text{POQ}$ पर एक कोण बनाता है और वृत्त पर किसी भी बिंदु $\text{A}$ पर .
चित्र में दिखाए गए तीन स्थितियाँ हैं
- लघु चाप $\text{PQ}$
- अर्धवृत्त $\text{PQ}$
- दीर्घ चाप $\text{PQ}$
आइए $\text{AO}$ को जोड़ें और इसे बिंदु $\text{B}$ तक बढ़ाएँ। (तीनों स्थितियों में)।
सभी मामलों में, $\angle \text{BOQ} = \angle \text{OAQ} + \angle \text{AQO}$ (त्रिभुज का एक बाहरी कोण दो आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है)
$\triangle \text{OAQ}$ में भी
$\text{OA} = \text{OQ}$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\angle \text{OAQ} = \angle \text{OQA}$ (प्रमेय का प्रयोग करते हुए ‘यदि दो समकोण त्रिभुजों में एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा दूसरे त्रिभुज के कर्ण और एक भुजा के बराबर हो, तो दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं।’)
इसलिए, $\angle \text{BOQ} = 2 \angle \text{OAQ}$ ——————- (1)
इसी प्रकार आप इसे सिद्ध कर सकते हैं $\angle \text{BOP} = 2 \angle \text{OAP}$ —————- (2)
(1) और (2) से आप पाते हैं $\angle \text{BOP} + \angle \text{BOQ} = 2 \left( \angle \text{OAP} + \angle \text{OAQ} \right)$
जो समान है $\angle \text{POQ} = 2 \angle \text{PAQ}$ —————- (3)
केस 3 (दीर्घ चाप) के लिए, जहाँ $\text{PQ}$ दीर्घ चाप है, (3) बृहत्कोण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $\text{POQ} = 2 \angle \text{PAQ}$.
उपरोक्त प्रमेयों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।
वृत्त में कोण
| एक ही चाप द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं |  |
| व्यास (या अर्धवृत्त) द्वारा अंतरित कोण $90^{\circ}$ होता है |  |
| केंद्रीय कोण एक ही चाप द्वारा अंतरित किसी भी कोण का दुगुना होता है |  |
मुख्य बिंदु
- एक ही चाप द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं।
- समान लंबाई के चापों द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण बराबर होते हैं।
- एक वृत्त का केंद्रीय कोण उसी चाप द्वारा अंतरित किसी भी कोण का दुगुना होता है।
- अर्धवृत्त में बना हुआ कोण $90^{\circ}$ है।
- संपर्क के बिंदु के माध्यम से स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर होता है।
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं
- एक चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण अंतः विपरीत कोण के बराबर होता है।
- एक त्रिज्या या व्यास जो जीवा के लंबवत होता है, जीवा को दो समान भागों में विभाजित करता है और इसके विपरीत।
- एक वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा के बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है।
- जब दो वृत्तखंड वृत्त के बाहर एक ही बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचे जाते हैं, तो वृत्तखंड लंबाई में बराबर होते हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- वृत्त में अंकित कोण का क्या अर्थ है?
- वृत्त की जीवा के केंद्रीय कोण का क्या अर्थ है?
- वृत्त की जीवा द्वारा अंतरित कोण और उसके केंद्रीय कोण के बीच क्या संबंध है?
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
अर्धवृत्त में कोण का क्या अर्थ है?
वृत्त के व्यास द्वारा वृत्त के किसी बिंदु पर बनाया गया कोण अर्धवृत्त में बना कोण कहलाता है।
अर्धवृत्त में कोण का माप कितना होता है?
अर्धवृत्त में कोण का माप या एक वृत्त के व्यास द्वारा इसके किसी शेष भाग पर बनाया गया कोण $90^{\circ}$ होता है।
क्या वृत्त की दो बराबर जीवाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण बराबर होते हैं?
हाँ, एक वृत्त की दो बराबर जीवाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण बराबर होते हैं।
निष्कर्ष
जीवा द्वारा वृत्त के किसी भाग पर बनाया गया कोण जीवा द्वारा वृत्त के किसी बिंदु पर बनाया गया कोण कहलाता है और जीवा द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाया गया कोण केंद्रीय कोण कहलाता है। केंद्रीय कोण हमेशा वृत्त के किसी शेष भाग पर जीवा द्वारा अंतरित कोण के माप का दुगुना होता है।
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