चतुर्भुज का कोण योग गुण – प्रमेय, प्रमाण और उदाहरण

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चतुर्भुज एक बंद आकृति और बहुभुज है जिसमें चार भुजाएँ, चार शीर्ष और चार कोण होते हैं। यह चार असंरेख बिंदुओं को मिलाने से बनता है। चतुर्भुज का आकार चाहे जो भी हो, उसके चारों कोणों का योग सदैव समान रहता है। इसे चतुर्भुज का कोण योग गुण कहा जाता है।

आइए उदाहरणों से समझें कि चतुर्भुज का कोण योग गुण क्या है।

चतुर्भुज का कोण योग गुण

चतुर्भुज एक 2D ज्यामितीय आकृति है जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। चतुर्भुज का कोण योग गुण बताता है कि चतुर्भुज के सभी चार आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।

चतुर्भुज का कोण योग गुण

उपरोक्त आकृति में, एक चतुर्भुज में $\text{ABCD}$ के लिए, $\angle\text{A} + \angle \text{B} + \angle \text{C} + \angle \text{D} = 360 ^{\circ}$।

चतुर्भुज के कोण योग गुण का प्रमाण

यह साबित करने के लिए कि एक चतुर्भुज के चार आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ है, आइए एक चतुर्भुज $\text{ABCD}$ पर विचार करें, जिसका विकर्ण $\text{AC}$ है।

चतुर्भुज का कोण योग गुण

विकर्ण $\text{AC}$ चतुर्भुज $\text{ABCD}$ को दो त्रिभुजों $\text{ABC}$ और $\text{ACD}$ में विभाजित करता है।

 त्रिभुज $\text{ABC}$ में, $\angle \text{CAB} + \angle \text{ABC} + \angle \text{BCA} = 180^{\circ}$ (एक त्रिभुज में तीन आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है) ——————————— (1)

त्रिभुज $\text{ACD}$ में, $\angle \text{DAC} + \angle \text{ACD} + \angle \text{CDA} = 180^{\circ}$ (एक त्रिभुज में तीन आंतरिक कोणों का योग  $180^{\circ}$ है) ——————————— (2)

(1) और (2) जोड़ने पर

$\angle \text{CAB} + \angle \text{ABC} + \angle \text{BCA} + \angle \text{DAC} + \angle \text{ACD} + \angle \text{CDA} = 180^{\circ} + 180^{\circ}$

$=> (\angle \text{CAB} + \angle \text{DAC}) + \angle \text{ABC} + (\angle \text{BCA} + \angle \text{ACD}) + \angle \text{CDA} = 360^{\circ}$

$=> \angle \text{DAB} + \angle \text{ABC} + \angle \text{BCD} + \angle \text{CDA} = 360^{\circ}$

$=> \angle \text{A} + \angle \text{B} + \angle \text{C} + \angle \text{D} = 360^{\circ}$

चतुर्भुज के कोण योग गुण पर उदाहरण

उदाहरण 1: निम्नलिखित में से किस कोण के लिए चतुर्भुज संभव नहीं है?

  1. $100^{\circ}$, $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $80^{\circ}$
  2. $100^{\circ}$, $80^{\circ}$, $ 60^{\circ}$, $70^{\circ}$
  3. $110^{\circ}$, $70^{\circ}$, $80^{\circ}$, $110^{\circ}$
  4. $110^{\circ}$, $50^{\circ}$, $120^{\circ}$, $80^{\circ}$
  5. $100^{\circ}$, $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $80^{\circ}$

कोणों का योग = $100^{\circ} + 60^{\circ} + 120^{\circ} + 80^{\circ} = 360^{\circ}$

चूँकि चारों आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ है, इसलिए चतुर्भुज संभव है।

  1. $100^{\circ}$, $80^{\circ}$, $ 60^{\circ}$, $70^{\circ}$

कोणों का योग = $100^{\circ} + 80^{\circ} + 60^{\circ} + 70^{\circ} = 310^{\circ}$

चूँकि चारों आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ नहीं है, इसलिए चतुर्भुज संभव नहीं है।

  1. $110^{\circ}$, $70^{\circ}$, $80^{\circ}$, $110^{\circ}$

कोणों का योग = $110^{\circ} + 70^{\circ} + 80^{\circ} + 110^{\circ} = 370^{\circ}$

चूँकि चारों आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ नहीं है, इसलिए चतुर्भुज संभव नहीं है।

  1. $110^{\circ}$, $50^{\circ}$, $120^{\circ}$, $80^{\circ}$

कोणों का योग = $110^{\circ} + 50^{\circ} + 120^{\circ} + 80^{\circ} = 360^{\circ}$

चूँकि चारों आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ नहीं है, इसलिए चतुर्भुज संभव नहीं है।

उदाहरण  2: एक चतुर्भुज के तीन कोण $100^{\circ}$, $80^{\circ}$, और $75^{\circ}$ हैं। चौथे कोण का माप ज्ञात कीजिए।

माना चतुर्भुज के चौथे कोण का माप $x$ (डिग्री में) है।

इसलिए $255 + x = 360$

$=> x = 360 – 255$

$=> x = 105$

अतः चतुर्भुज के चौथे कोण का माप $105^{\circ}$ है।

उदाहरण  3: एक चतुर्भुज के चार आंतरिक कोणों का माप $6 : 4 : 3 : 2$ के अनुपात में है। दो सबसे बड़े कोणों का योग ज्ञात कीजिए।

एक चतुर्भुज के चार आंतरिक कोणों का माप $6 : 4 : 3 : 2$ के अनुपात में है।

इसलिए मान लीजिए कि चारों कोणों की माप $6x$, $4x$, $3x$, और $2x$ (डिग्री में) है

चतुर्भुज के कोण योग गुण के अनुसार $6x + 4x + 3x + 2x = 360$

$=> 15x = 360$

$=> x = \frac{360}{15} => x = 24$

अतः चतुर्भुज के चार कोणों का माप होता है

$6 \times 24 = 144^{\circ}$

$4 \times 24 = 96^{\circ}$

$3 \times 24 = 72^{\circ}$

$2 \times 24 = 48^{\circ}$

इस प्रकार दो सबसे बड़े कोणों का योग $144 + 96 = 240^{\circ}$ है।

उदाहरण  4: $x$ और $y$ का मान ज्ञात कीजिए।

चतुर्भुज का कोण योग गुण

चतुर्भुज के कोण योग गुण के अनुसार, $\angle \text{P} + \angle \text{Q} + \angle \text{R} + \angle \text{S} = 360$

$=> x + y + 20 + x + 100 + 80 + y = 360$

$=> 2x + 2y + 200 = 360$

$=> 2x + 2y = 360 – 200$

$=> 2x + 2y = 160$

$=> 2(x + y) = 160$

$=> x + y = \frac{160}{2}$

$=> x + y = 80$ ———————————————— (1)

साथ ही $130 + 20 + x = 180$ (आंतरिक कोण और बाह्य कोण का योग $180^{\circ}$ है)

$x + 150 = 180$

$=> x = 180 – 150$

$=> x = 30$

(1) में $x = 30$ प्रतिस्थापित करने पर

$30 + y = 80$

$=> y = 80 – 30$

$=> y = 50$

उदाहरण 5: $\angle \text{POQ}$ का मान क्या है यदि $\text{OP}$ और $\text{OQ}$ कोण समद्विभाजक हैं?

चतुर्भुज का कोण योग गुण

उपरोक्त चतुर्भुज में $\text{PQRS}$, $\angle \text{P} + \angle \text{Q} + \angle \text{R} + \angle \text{S} = 360^{\circ }$

$=> \angle \text{P} + \angle \text{Q} + 60 + 110 = 360$

$=> \angle \text{P} + \angle \text{Q} + 170 = 360$

$=> \angle \text{P} + \angle \text{Q} = 360 – 170$

$=> \angle \text{P} + \angle \text{Q} = 190$

इसलिए $\angle \text{OPQ} + \angle \text{PQO} = \frac{1}{2}\angle \text{P} + \frac{1}{2}\angle \text{Q}$ ($\text{OP}$ और $\text{OQ}$, $\angle \text{P}$ और $\angle \text{Q}$ के कोण समद्विभाजक हैं।

$=> \angle \text{OPQ} + \angle \text{PQO} = \frac{1}{2} \times 190$

$=> \angle \text{OPQ} + \angle \text{PQO} = 95$

त्रिभुज  $\text{OPQ}$ में, $\angle \text{OPQ} + \angle \text{PQO} + \angle \text{POQ} = 180^{\circ}$ (त्रिभुज का कोण योग गुण)

$=> 95 + \angle \text{POQ} = 180$

$=> \angle \text{POQ} = 180 – 95$

$=> \angle \text{POQ} = 85^{\circ}$

अभ्यास के लिए प्रश्न

  1. यदि एक चतुर्भुज के तीन आंतरिक कोणों का योग $240^{\circ}$ है, तो चौथा कोण ज्ञात करें।
  2. यदि किसी चतुर्भुज के कोणों का अनुपात $6:3:4:5$ है, तो चारों कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
  3. एक चतुर्भुज में, यदि दो कोणों का योग $240^{\circ}$ है, तो अन्य दो समान कोणों का माप ज्ञात करें यदि वे $1 : 3$ के अनुपात में हैं।
  4. यदि एक चतुर्भुज के तीन कोण बराबर हैं और चौथे कोण का माप $30^{\circ}$ है, तो प्रत्येक समान कोण का माप ज्ञात करें?
  5. यदि किसी चतुर्भुज का एक कोण दूसरे कोण का दोगुना है और अन्य दो कोणों का माप $60^{\circ}$, $80^{\circ}$ है। अज्ञात कोणों की माप ज्ञात कीजिए।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

चतुर्भुज के कोण योग गुण को समझाइये।

चतुर्भुज के कोण योग गुण से पता चलता है कि चतुर्भुज के सभी चार आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ है।

एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग क्या होता है?

एक चतुर्भुज के चारों आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।

चतुर्भुज के कोण योग गुण को कैसे सिद्ध करें?

किसी चतुर्भुज के कोण योग गुण को सिद्ध करने के लिए, हम उसके किन्हीं दो विपरीत शीर्षों को मिलाते हुए एक विकर्ण बनाते हैं। विकर्ण चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। फिर त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके, हम चतुर्भुज के कोण योग गुण को सिद्ध करते हैं।

नोट: एक त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ है।

एक चतुर्भुज के बाह्य कोणों के योग का माप क्या है?

एक चतुर्भुज के चारों बाह्य कोणों के योग का माप $360^{\circ}$ है।

नोट: किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।

निष्कर्ष

चतुर्भुज एक 2D ज्यामितीय आकृति है जिसमें चार भुजाएँ, चार कोण और चार शीर्ष होते हैं। चतुर्भुज का कोण योग गुण बताता है कि चतुर्भुज के सभी चार आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है। चतुर्भुज का कोण योग गुण चतुर्भुज पर आधारित समस्याओं को हल करने में मदद करता है।

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