त्रिभुज का कोण समद्विभाजक – परिभाषा, गुण और उदाहरण

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त्रिभुज गणित में सबसे अधिक अध्ययन की जाने वाली 2डी आकृतियों में से एक है। एक त्रिभुज में कुछ महत्वपूर्ण गुण होते हैं जैसे माध्यिकाएँ और शीर्ष समद्विभाजक। त्रिभुज के कोण समद्विभाजक ऐसी ही एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

आइए एक त्रिभुज के कोण समद्विभाजक और उसके गुणों को उदाहरणों से समझते हैं।

कोण समद्विभाजक

कोण समद्विभाजक एक रेखा है जो किसी दिए गए कोण को दो सर्वांगसम (या बराबर) कोणों में विभाजित करती है। उदाहरण के लिए, $60^{\circ}$ कोण का एक कोण समद्विभाजक इसे $30^{\circ}$ प्रत्येक के दो कोणों में विभाजित करेगा।

उपरोक्त चित्र में, $\text{OC}$ $\angle \text{AOB}$ का कोण समद्विभाजक है, क्योंकि $\angle \text{AOC} = \angle \text{COB} = \frac{1} {2} \angle \text{AOB}$।

त्रिभुज का कोण समद्विभाजक क्या है?

त्रिभुज में, कोण का समद्विभाजक एक सीधी रेखा होती है जो कोण को दो सर्वांगसम (या बराबर) कोणों में विभाजित करती है। किसी भी त्रिभुज में तीन कोण समद्विभाजक हो सकते हैं, प्रत्येक शीर्ष के लिए एक।

जिस बिंदु पर ये तीन कोण समद्विभाजक त्रिभुज में मिलते हैं, उसे अंतःकेन्द्र के रूप में जाना जाता है। त्रिभुज के तीनों शीर्षों से अंत:केंद्र समदूरस्थ होता है, अर्थात त्रिभुज के सभी शीर्षों से अंत:केंद्र के बीच की दूरी समान होती है।

नीचे दिए गए चित्र में $\text{AD}$, $\text{BE}$, और $\text{CF}$ क्रमशः $\angle \text{CAB}$, $\angle \text{ABC}$,और $\angle \text{BCA}$  के कोण समद्विभाजक हैं । $\text{G}$ तीनों समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है जिसे अंत:केंद्र के रूप में जाना जाता है।

उपरोक्त चित्र में, आप देख सकते हैं कि अन्तः केंद्र $\text{G}$ की दूरी प्रत्येक शीर्ष $\text{A}$, $\text{B}$, और $\text{ C}$ से बराबर है।

त्रिभुज के कोण समद्विभाजक के गुण

त्रिभुज के कोण समद्विभाजक के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं।

• एक कोण समद्विभाजक एक कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
• किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु कोण की भुजाओं या भुजाओं से समान दूरी पर होता है।
• एक त्रिभुज में, यह विपरीत भुजा को अन्य दो भुजाओं के माप के अनुपात में विभाजित करता है।

आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रमेय

आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रमेय कहता है कि त्रिभुज के कोण का एक कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज के अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{ABC}$ में, $\text{AD}$ $\angle \text{A}$ का कोण समद्विभाजक है, और कोण समद्विभाजक प्रमेय अनुसार, $\frac{\text {CD}}{\text{DB}} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$।

आइए प्रमेय को सिद्ध करें।

$\text{BE} || \text{AD}$ खींचिए 

$\text{CA}$ को $\text{BE}$ से मिलाने के लिए $\text{E}$ तक बढ़ाएँ

मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा,

$\frac{\text{CD}}{\text{DB}} = \frac{\text{CA}}{\text{AE}}$ ——————— (1)

$\angle 4 = \angle 1$ ($\angle 4$ और $\angle 1$ संगत कोण हैं)

चूँकि, $\text{AD}$ कोण $\angle \text{CAB}$ का एक कोण समद्विभाजक है, इसलिए, $\angle 1 = \angle 2$

साथ ही, एकान्तर आंतरिक कोण प्रमेय द्वारा, $\angle 2 = \angle 3$

इसलिए, सकर्मक गुण द्वारा $\angle 4 = \angle 3$ 

चूँकि, $\angle 3$ और $\angle 4$ बराबर हैं, इसलिए, $\triangle {ABE}$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जहाँ $\text{AE} = \text{AB}$

(1) में $\text{AE}$ को $\text{AB}$ से प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

$\frac{\text{CD}}{\text{DB}} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. कोण समद्विभाजक क्या होता है?
2. त्रिभुज का कोण समद्विभाजक क्या होता है?
3. एक त्रिभुज के कितने कोण समद्विभाजक हो सकते हैं?
4. एक त्रिभुज के सभी कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को इसका ____________ कहा जाता है।
5. $\triangle \text{ABC}$ में, $\text{AD}$ $\angle \text{A}$ के समद्विभाजक है, भुजा $\text{BC}$ से $\text{D}$ पर मिलता है, यदि $\text{AB} = 10 \text{cm}$, $\text{AC} = 14 \text{cm}$ और $\text{BC} = 6 \text{cm}$, तो $\text{ BD}$ और $\text{DC}$ ज्ञात कीजिये।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

त्रिभुज में, कोण का समद्विभाजक एक सीधी रेखा होती है जो कोण को दो सर्वांगसम (या बराबर) कोणों में विभाजित करती है। किसी भी त्रिभुज में तीन कोण समद्विभाजक हो सकते हैं, प्रत्येक शीर्ष के लिए एक। एक त्रिभुज में तीनों कोणों के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसका अंत:केन्द्र कहलाता है।

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