त्रिभुज का शीर्षलंब (परिभाषा और गुण)

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त्रिभुज ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण 2D आकृतियों में से एक है। त्रिभुजों में कुछ गुण होते हैं जिनका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। ऐसा ही एक गुण त्रिभुज का शीर्षलंब है।

आइए समझते हैं कि त्रिभुज का शीर्षलंब क्या है और इसके क्या गुण हैं।

त्रिभुज का शीर्षलंब क्या होता है?

त्रिभुज का शीर्षलंब त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में खींची गई लंबवत रेखा खंड है। शीर्षलंब उस त्रिभुज के आधार के साथ एक समकोण बनाती है जिसे वह स्पर्श करता है। शीर्षलंब को आमतौर पर त्रिकोण की ऊंचाई के रूप में संदर्भित किया जाता है और इसे $h$ अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है।

शीर्षलंब की लंबाई को शीर्ष और उसके विपरीत पक्ष के बीच की दूरी की गणना करके मापा जाता है। आप प्रत्येक त्रिभुज में प्रत्येक शीर्ष से विपरीत भुजाओं तक तीन शीर्षलंब खींच सकते हैं।

त्रिभुज के शीर्षलंब के गुण

• त्रिभुज की ऊँचाई के निम्नलिखित गुण हैं जो आपको इसे पहचानने में मदद करते हैं।
• एक त्रिभुज के तीन शीर्षलंब हो सकते हैं।
• त्रिभुज के प्रकार के आधार पर शीर्षलंब त्रिभुज के भीतर या बाहर हो सकती है।
• शीर्षलंब इसके विपरीत दिशा में $90^{\circ}$ का कोण बनाती है।
• त्रिभुज के तीन शीर्षलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु को त्रिभुज का लंबकेन्द्र कहा जाता है।

त्रिभुज का शीर्षलंब कैसे ज्ञात करें?

त्रिभुज विभिन्न प्रकार के होते हैं। अलग-अलग त्रिभुजों के लिए, त्रिभुज का शीर्षलंब ज्ञात करने के लिए अलग-अलग सूत्र हैं। आइए अब इन सूत्रों पर चर्चा करें।

विषमबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब

विषमबाहु त्रिभुज में विभिन्न लंबाई के तीन शीर्षलंब होते हैं। विषमबाहु त्रिभुज का शीर्ष लंब ज्ञात करने के लिए, हम $h = \frac{2 \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}}{b}$ द्वारा दिए गए हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं, जहाँ $h$ त्रिभुज की ऊँचाई या ऊँचाई है, $s$ त्रिभुज की अर्ध-परिधि है और $a$, $b$, और $c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

विषमबाहु त्रिभुज की ऊँचाई के सूत्र को प्राप्त करने के स्टैप्स इस प्रकार हैं:

स्टैप 1: त्रिभुज $A = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}$ के क्षेत्रफल के लिए हीरोन का सूत्र लिखें

स्टैप 2: त्रिभुज $A = \frac{1}{2} \times b \times h$ के क्षेत्रफल का मूल सूत्र लिखें

स्टैप 3: दो सूत्रों $\frac{1}{2} \times b \times h = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}$ की बराबरी करें

स्टैप 4: $h = \frac{2 \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}}{b}$ प्राप्त करने के लिए चरण 3 में दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए।

समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब

एक समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दोनों भुजाओं में से कोई एक बराबर होती है। समद्विबाहु त्रिभुज में भी, एक समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब उसके आधार के लंबवत होती है।

आइए एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई के लिए सूत्र प्राप्त करें। उपरोक्त चित्र में समद्विबाहु त्रिभुज में, भुजा $\text{AB} = \text{AC}$, $\text{BC}$ आधार है, और $\text{AD}$ ऊँचाई है।

चलिए $\text{AB}$ और $\text{AC}$ को $a$, $\text{BC}$ को $b$, और $\text{AD}$ को $h$ से प्रदर्शित करते हैं।

हम एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई के गुणों में से एक का उपयोग करते हैं कि यह त्रिभुज के आधार का लम्ब समद्विभाजक है।

पाइथागोरस प्रमेय को $\triangle \text{ADB}$ में लागू करने पर, हम पाते हैं, 

$\text{AD}^2 = \text{AB}^2- \text{BD}^2$ _________________ (1)

चूँकि, $\text{AD}$ भुजा $\text{BC}$ का समद्विभाजक है, यह इसे 2 बराबर भागों में विभाजित करता है।

इसलिए, $\text{BD} = \frac{1}{2} \times \text{BC}$

समीकरण 1 में $\text{BD}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

$\text{AD}^2 = \text{AB}^2- \text{BD}^2$

$=>h^2 = a^2 – \left(\frac{1}{2} \times b \right)^2$

$=> h = \sqrt{a^2 – \frac{1}{4}b^2}$

समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब

समबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं। आइए समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को $a$ मानते हैं, तो इसकी परिधि $3a$ हो जाती है और इसलिए अर्द्धपरिधि $s = \frac{3a}{2}$ और त्रिभुज के आधार द्वारा दी जाएगी $a$ के रूप में।

अब, आइए एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें। यहाँ, $a$ = समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई; $b$ = एक समबाहु त्रिभुज का आधार जो अन्य भुजाओं के बराबर है, इसलिए इसे $a$ के रूप में लिखा जाएगा; $s$ = त्रिभुज का अर्ध परिमाप, जो इसमें $\frac{3a}{2}$ के रूप में लिखा जाएगा।

$h = \frac{2 \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}}{b}$

$=> h = \frac{2}{a} \sqrt{\frac{3a}{2} \left(\frac{3a}{2} – a \right) \left(\frac{3a}{2} – a \right) \left(\frac{3a}{2} – a \right)}$

$=>h = \frac{2}{a} \sqrt{\frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}}$

$=>h = \frac{2}{a} \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$=>h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब

एक समकोण त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है। जब हम किसी समकोण त्रिभुज के शीर्ष से कर्ण तक त्रिभुज का शीर्षलंब बनाते हैं, तो इससे दो समरूप त्रिभुज बनते हैं। हम एक समकोण त्रिभुज के इस गुण का उपयोग इसके शीर्षलंब के सूत्र को प्राप्त करने के लिए करते हैं।

उपरोक्त चित्र में, $\triangle \text{PSR} \sim \triangle \text{RSQ}$

इसलिए, $\frac{\text{PS}}{\text{RS}} = \frac{\text{RS}}{\text{SQ}}$

$=> \text{RS}^2 = \text{PS} \times \text{SQ}$

इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: $h^2 = x \times y$, जहां $x$ और $y$ दो समरूप त्रिभुजों के आधार हैं: $\triangle \text{PSR}$ और $\triangle \text {RSQ}$।

इसलिए, एक समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब $h = \sqrt{xy}$ द्वारा दिया जाता है।

त्रिभुज के शीर्षलंब और माध्यिका के बीच अंतर

त्रिभुज के शीर्षलंब और माध्यिका के बीच अंतर निम्नलिखित हैं।

त्रिभुज का शीर्ष लंब	त्रिभुज की माध्यिका
एक त्रिभुज का शीर्षलअम्ब आधार से विपरीत शीर्ष तक लंबवत दूरी होती है।	एक त्रिभुज की माध्यिका शीर्ष से विपरीत दिशा में खींचा गया रेखा खंड होता है।
यह त्रिभुज के प्रकार के आधार पर त्रिभुज के बाहर या भीतर दोनों हो सकता है।	यह सदैव त्रिभुज के भीतर स्थित होती है।
यह त्रिभुज को दो बराबर भागों में विभाजित नहीं करता है।	यह एक त्रिभुज को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
यह त्रिभुज के आधार को समद्विभाजित नहीं करता है।	यह त्रिभुज के आधार को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
वह बिंदु जहां त्रिभुज के तीनों शीर्षबिंदु मिलते हैं, वह त्रिभुज का परिकेन्द्र कहलाता है।	त्रिभुज की तीनों माध्यिकाएँ जिस बिंदु पर मिलती हैं, उसे त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. त्रिभुज का शीर्षलंब क्या होता है?
2. त्रिभुज के शीर्षलंब की लम्बाई कितनी होती है?
3. त्रिभुज के सभी शीर्षलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु को ________ कहा जाता है।
4. त्रिभुज का क्षेत्रफल $48$ वर्ग इकाई है। शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात करें यदि आधार की लंबाई $6$ इकाई है।
5. एक विषमबाहु त्रिभुज की शीर्षलंब की लंबाई की गणना करें जिसकी भुजाएँ क्रमशः $7$ इकाइयाँ, $8$ इकाइयाँ और $9$ इकाइयाँ हैं।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

त्रिभुज का शीर्षलंब त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में खींची गई लंबवत रेखा खंड है। किसी भी त्रिभुज के तीन शीर्षलंब हो सकते हैं और त्रिभुज के इन तीन शीर्षलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु को उसका लंबकेन्द्र कहा जाता है।

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