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गणित में, सर्वसमिका एक समानता है जो उस समानता में उपयोग किए जाने वाले सभी चरों को बदल देने पर भी सत्य बनी रहती है। गणित में बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग सूत्रों के रूप में किया जाता है जो सरल और आसान चरणों में संगणना करने में मदद करते हैं। उदाहरण के लिए, $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ एक बीजगणितीय सर्वसमिका है।
आइए समझते हैं कि बीजगणित में सर्वसमिका क्या है और इसके विभिन्न प्रकार क्या हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका क्या हैं?
बीजगणितीय सर्वसमिका वे समीकरण होते हैं जहाँ समीकरण के बाएँ पक्ष का मान हमेशा दाएँ पक्ष के मान के बराबर होता है, चाहे उसमें उपस्थित चरों का मान कुछ भी हो।
इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करते हैं।
समीकरण $2x – 7 = 3$ को लेता हैं। यह समीकरण केवल $x$ के एक मान के लिए सत्य है और यह $x = 5$ है।
$x = 3$ के लिए, LHS = $2 \times 5 – 7 = 10 – 7 = 3 = $ RHS।
यदि हम कोई अन्य मान लेते हैं जैसे $x = 2$, तो $x = 2$ के लिए, LHS = $2 \times 2 – 7 = 4 – 7 = -3 \ne $ RHS।
एक अन्य समीकरण $x^{2} + 5x – 14 = 0$ पर विचार करें। यह समीकरण केवल $x$ के दो मानों के लिए सत्य है और वे $x = 2$ और $x = -7$ हैं।
$x = 2$ के लिए, LHS = $2^{2} + 5 \times 2 – 14 = 4 + 10 – 14 = 0 = $ RHS, और इसी प्रकार, $x = -7$ के लिए, LHS = $\left( -7 \right)^{2} + 5 \left( \left(-7 \right) \right) – 14 = 49 – 35 – 14 = 0$.
किसी भी अन्य मान के लिए, $x^{2} + 5x – 14 = 0$ का LHS और RHS समान नहीं हैं।
अब, एक सर्वसमिका $\left(a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ पर विचार करें। इसे एक तत्समक कहा जाता है, क्योंकि इस समीकरण के LHS और RHS चर $a$ और $b$ के मूल्यों के बावजूद हमेशा समान होते हैं।
$a = 2$ और $b = 3$ के लिए, LHS = $\left(2 + 3 \right)^{2} = 5^{2} = 25$ और RHS = $2^{2} + 2 \times 2 \times 3 + 3^{2} = 4 + 12 + 9 = 25$।
इसी प्रकार, $a = 4$ और $b = 6$ के मानों के दूसरे सेट के लिए, LHS = $\left(4 + 6 \right)^{2} = 100$ और RHS = $4^{2} + 2 \times 4 \times 6 + 6^{2} = 16 + 48 + 36 = 100$।
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं के प्रकार
किसी सर्वसमिका में शामिल चरों की संख्या के आधार पर विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ होती हैं। इस खंड में, हम सर्वसमिकाओं की दो व्यापक श्रेणियों पर चर्चा करेंगे।
- दो चर वाली सर्वसमिकाएं
- तीन चर वाली सर्वसमिकाएं
दो चर वाली सर्वसमिकाएं
ये ऐसी सर्वसमिकाएं हैं जिनमें दो चर होते हैं। इन सर्वसमिकाओं को वर्ग/घन का विस्तार करके और बहुपद गुणन करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। सबसे आम दो चर वाली सर्वसमिकाएं हैं
- $\left(a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
- $\left(a – b \right)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}$
- $\left(a + b \right) \left(a – b \right) = a^{2} – b^{2}$
- $\left(a + b \right)^{3} = a^{3} +3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
- $\left(a – b \right)^{3} = a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3}$
- $a^{2} – b^{2} = \left(a – b \right) \left(a + b \right)$
- $x^{2} + x \left(a + b \right) + ab = \left(x + a \right) \left(x + b \right)$
- $a^{3} – b^{3} = \left(a – b \right) \left(a^{2} + ab + b^{2} \right)$
- $a^{3} + b^{3} = \left(a + b \right) \left(a^{2} – ab + b^{2} \right)$
तीन चर वाली सर्वसमिकाएं
ये वे सर्वसमिकाएं हैं जिनमें तीन चर होते हैं। ये सर्वसमिकाएं कम से कम चरणों के साथ बीजगणितीय व्यंजकों में आसानी से हल करने में सहायक होती हैं। सबसे आम तीन चर वाली सर्वसमिकाएं हैं
- $\left(a + b + c \right)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac$
- $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left(a + b + c \right)^{2} – 2\left(ab + bc + ac \right)$
- $a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3abc = \left(a + b + c \right) \left(a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – ca – bc \right)$
सर्वसमिकाओं की जाँच
हम सरल बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके इन सर्वसमिकाओं को सिद्ध कर सकते हैं। निम्नलिखित दो और तीन चर वाली सर्वसमिकाओं के प्रमाण हैं।
दो चर वाली सर्वसमिकाओं की जाँच
$\left(a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
सर्वसमिका का LHS है $\left(a + b \right)^{2}$
$\left(a + b \right)^{2} = \left(a + b \right)\left(a + b \right) = a\left(a + b \right) + b\left(a + b \right) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b$
$ = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
आइए सूत्र को ज्यामितीय रूप से समझते हैं।
किनारे की लंबाई $a$ इकाइयों के एक वर्ग पर विचार करें (आकृति में नारंगी दिखाया गया है)
वर्ग के किनारे की लंबाई को $b$ इकाइयों से आगे बढ़ाते हैं, ताकि नए वर्ग (बड़ा) की बढ़त की लंबाई $\left(a + b \right)$ हो जाए।
किनारे की लंबाई के नए वर्ग का क्षेत्रफल = नारंगी वर्ग का क्षेत्रफल + दो सियान वर्गों का क्षेत्रफल + हरे वर्ग का क्षेत्रफल
= $a^{2} + 2ab + b^{2}$.
चूँकि बड़े वर्ग के किनारे की लंबाई $\left(a + b \right)$ है, इसलिए बड़े वर्ग का क्षेत्रफल $\left(a + b \right)^{2}$ है।
इस प्रकार, हमें $\left(a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ मिलता है।
उदाहरण
Ex 1: $\left(a + b \right)^{2}$ सूत्र का उपयोग करके $\left(2x + 5y \right)^{2}$ का मान ज्ञात करें।
$\left(2x + 5y \right)^{2}$ की तुलना $\left(a + b \right)^{2}$ से करने पर, हमें $a = 2x$ और $b = 5y$ मिलता है।
$\left(a + b \right)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
अतः, $\left(2x + 5y \right)^{2} = \left(2x \right)^{2} + 2\times 2x \times 5y + \left(5y \right)^{2} = 4x^{2} + 20xy + 25y^{2}$.
Ex 2: $\left(a + b \right)^{2}$ सूत्र का उपयोग करके $107^{2}$ का मान ज्ञात कीजिये।
$107^{2}$ को $\left(100 + 7 \right)^{2}$ रूप में लिखा जा सकता है।
$\left(100 + 7 \right)^{2}$ की तुलना $\left(a + b \right)^{2}$ से करने पर, हमें $a = 100$ और $b = 7$ मिलता है।
अतः, $\left(100 + 7 \right)^{2} = 100^{2} + 2 \times 100 \times 7 + 7^{2} = 10000 + 1400 + 49 = 11449$
इसलिए, $107^{2} = 11449$.
$\left(a – b \right)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}$
LHS of the identity is $\left(a – b \right)^{2}$
$\left(a – b \right)^{2} = \left(a – b \right)\left(a – b \right) = a\left(a – b \right) – b\left(a – b \right) = a \times a + a \times \left(-b \right) – b \times a – b \times \left(-b \right) $
$= a^{2} – ab – ba + b^{2} = a^{2} – ab – ab + b^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}$
आइए $\left(a – b \right)^{2}$ को लंबाई $\left(a – b \right)$ वाले वर्ग के क्षेत्रफल के रूप में लें।
उपरोक्त आकृति में, सबसे बड़ा वर्ग (शीर्ष पर वर्ग) क्षेत्रफल $a^{2}$ के साथ दिखाया गया है।
यह सिद्ध करने के लिए $\left(a – b \right)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}$, मान $b$ से सभी पक्षों की लंबाई कम करने पर विचार करें, ताकि यह $a – b$ हो जाता है।
उपरोक्त चित्र में, $\left(a – b \right)^{2}$ नीले क्षेत्र द्वारा दिखाया गया है। अब उन ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज पट्टियों को घटाएं जिनका क्षेत्रफल $a \times b$ है। $a \times b$ को दो बार हटाने से नीचे दाएँ कोने में ओवरलैपिंग वर्ग भी दो बार हट जाएगा इसलिए वह क्षेत्र जोड़ें जो $b^{2}$ है।
आँकड़ों को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें $\left(a – b \right)^{2} = a^{2} – ab – ab + b^{2}$ मिलता है।
इसलिए यह बीजगणितीय सर्वसमिका $\left(a − b \right)^{2} = a^{2} − 2ab + b^{2}$ होती है।
उदाहरण
Ex 1: $\left(a – b \right)^{2}$ सूत्र का प्रयोग करके $\left(3m – \frac{n}{2} \right)^{2}$ का मान ज्ञात करें।
$\left(3m – \frac{n}{2} \right)^{2}$ की तुलना $\left(a – b \right)^{2}$ से करने पर हमें मिलता है $a = 3m$ और $b = \frac{n}{2}$
$\left(a – b \right)^{2} = a^{2} – 2ab + b^{2}$
अतः, $\left(3m – \frac{n}{2} \right)^{2} = \left(3m \right)^{2} – 2\times 3m \times \frac{n}{2} + \left(\frac{n}{2} \right)^{2} = 9m^{2} – 3mn + \frac{n^{2}}{4}$.
Ex 2: $\left(a – b \right)^{2}$ सूत्र का उपयोग करके $96^{2}$ का मान ज्ञात कीजिये।
$96^{2}$ को $\left(100 – 4 \right)^{2}$ लिखा जा सकता है।
$\left(100 – 4 \right)^{2}$ की तुलना $\left(a – b \right)^{2}$ से करने पर हमें $a = 100$ और $b = 4$ मिलता है
अतः,, $\left(100 – 4 \right)^{2} = 100^{2} – 2 \times 100 \times 4 + 4^{2} = 10000 – 800 + 16 = 9216$
इसलिए $96^{2} = 9216$.
$\left(a + b \right) \left(a – b \right) = a^{2} – b^{2}$
सर्वसमिका का LHS है $\left(a + b \right) \left(a – b \right)$
$\left(a + b \right) \left(a – b \right) = a\left(a – b \right) + b\left(a – b \right) = a \times a + a \times \left(-b \right) + b \times a – b \times b = a^{2} – ab + ba – b^{2} = a^{2} – ab + ab – b^{2} = a^{2} – b^{2}$
आइए सूत्र को ज्यामितीय रूप से समझते हैं।
$\left(a + b \right)^{3} = a^{3} +3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
सर्वसमिका का LHS है $\left(a + b \right)^{3}$
$\left(a + b \right)^{3} = \left(a + b \right)\left(a + b \right)^{2} = \left(a + b \right) \left(a^{2} + 2ab + b^{2} \right) = a\left(a^{2} + 2ab + b^{2} \right) + b\left(a^{2} + 2ab + b^{2} \right) $
$= a \times a^{2} + a \times 2ab + a \times b^{2} + b \times a^{2} + b \times 2ab + b \times b^{2} = a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3} $
$= a^{3} + 2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} + b^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
$\left(a – b \right)^{3} = a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3}$
सर्वसमिका का LHS है $\left(a – b \right)^{3}$
$\left(a – b \right)^{3} = \left(a – b \right)\left(a – b \right)^{2} = \left(a – b \right) \left(a^{2} – 2ab + b^{2} \right) = a\left(a^{2} – 2ab + b^{2} \right) – b\left(a^{2} – 2ab + b^{2} \right)$
$ = a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b + 2ab^{2} – b^{3} = a^{3} – 2a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} – b^{3} = a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3}$
$x^{2} + x \left(a + b \right) + ab = \left(x + a \right) \left(x + b \right)$
सर्वसमिका का LHS है $\left(x + a \right) \left(x + b \right)$
$\left(x + a \right) \left(x + b \right) = x\left(x + b \right) + a\left(x + b \right) = x^{2} + bx + ax + ab = x^{2} + ax + bx + ab = x^{2} + \left(a + b \right)x + ab$
$a^{3} – b^{3} = \left(a – b \right) \left(a^{2} + ab + b^{2} \right)$
सर्वसमिका का RHS है $\left(a – b \right) \left(a^{2} + ab + b^{2} \right)$
$\left(a – b \right) \left(a^{2} + ab + b^{2} \right) = a\left(a^{2} + ab + b^{2} \right) – b\left(a^{2} + ab + b^{2} \right) = a^{3} + a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – ab^{2} – b^{3}$
$= a^{3} + a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} – ab^{2} – b^{3} = a^{3} – b^{3}$
$a^{3} + b^{3} = \left(a + b \right) \left(a^{2} – ab + b^{2} \right)$
सर्वसमिका का RHS है $\left(a + b \right) \left(a^{2} – ab + b^{2} \right)$
$\left(a + b \right) \left(a^{2} – ab + b^{2} \right) = a\left(a^{2} – ab + b^{2} \right) + b\left(a^{2} – ab + b^{2} \right) = a^{3} – a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$
$ = a^{3} – a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} – ab^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}$
तीन चर वाली सर्वसमिकाओं की जाँच
$\left(a + b + c \right)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac$
सर्वसमिका का LHS है $\left(a + b + c \right)^{2} = \left(a + \left(b + c \right) \right)^{2} = a^{2} + 2a\left(b + c \right) + \left(b + c \right)^{2} = a^{2} + 2ab + 2ac + b^{2} + c^{2} + 2bc$
$ = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac$
$a^{2} + b^{2} + c^{2} = \left(a + b + c \right)^{2} – 2\left(ab + bc + ac \right)$
सर्वसमिका का RHS है $\left(a + b + c \right)^{2} – 2\left(ab + bc + ac \right) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ac – 2ab – 2bc – 2ac$
$ = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab – 2ab + 2bc – 2bc + 2ac – 2ac = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
$a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3abc = \left(a + b + c \right) \left(a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – ca – bc \right)$
सर्वसमिका का RHS है $\left(a + b + c \right) \left(a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – ca – bc \right)$
$ = a\left(a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – ca – bc \right) + b\left(a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – ca – bc \right) + c\left(a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – ca – bc \right)$
$ = a^{3} + ab^{2} + ac^{2} – a^{2}b – a^{2}c – abc + a^{2}b + b^{3} + bc^{2} – ab^{2} – abc – b^{2}c + a^{2}c + b^{2}c + c^{3} – abc – c^{2}a – bc^{2}$
$ = a^{3} + ab^{2} – ab^{2} + ac^{2} – c^{2}a – a^{2}b + a^{2}b – a^{2}c + a^{2}c + b^{3} + bc^{2} – bc^{2} – b^{2}c + b^{2}c + c^{3} – abc – abc – abc $
$= a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3abc$
बीजगणितीय सर्वसमिका और बीजगणितीय समीकरण के बीच अंतर
बीजगणितीय सर्वसमिका और बीजगणितीय समीकरण के बीच निम्नलिखित अंतर हैं –
| सर्वसमिका | समीकरण |
| LHS चर के सभी मानों के लिए RHS के बराबर होता है | LHS और RHS चर के सभी मानों के लिए समान नहीं होता |
| हल की कोई अवधारणा नहीं है | उन चरों के मान जिनके लिए LHS और RHS बराबर होता है, समीकरण के हल कहलाते हैं |
| सभी सर्वसमिकाएं समीकरण हैं | सभी समीकरण सर्वसमिका नहीं हैं |
| अभिकलन को आसान और तेज़ बनाने के लिए सूत्र या नियम के रूप में सर्वसमिका का उपयोग किया जाता है | अज्ञात राशियों का मान ज्ञात करने के लिए समीकरणों का उपयोग किया जाता है |
| सर्वसमिका का उदाहरण $ \left(a – b \right)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ है | समीकरण का उदाहरण $3x + 2y = 7$ है |
अभ्यास के लिए प्रश्न
- यदि $a + b + c = 0$, तो $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ का मान क्या है?
- $\left(x – 1 \right) \left(x – 1 \right)$ का गुणनफल ज्ञात करें और $x = 3$ के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए
- $\left(x + 1 \right) \left(x + 1 \right)$ का गुणनफल ज्ञात करें और $x = 5$ के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए
- सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित का का मान ज्ञात कीजिए
- $105^{2}$
- $97^{2}$
- $1002^{3}$
- $998^{3}$
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
गणित में सर्वसमिका क्या है?
गणित में, सर्वसमिका एक समानता है जो उस समानता में उपयोग किए जाने वाले सभी चरों को बदल देने पर भी सत्य बनी रहती है। उदाहरण के लिए, $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ एक बीजगणितीय सर्वसमिका है।
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का क्या उपयोग है?
गणित में बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग सूत्रों के रूप में किया जाता है जो सरल और आसान चरणों में संगणना करने में मदद करते हैं।
क्या किसी बीजगणितीय सर्वसमिका के LHS और RHS समान होने चाहिए?
हां, एक बीजगणितीय सर्वसमिका का LHS (बाईं ओर) और RHS (दाहिनी ओर) बराबर होना चाहिए।
निष्कर्ष
बीजगणितीय सर्वसमिका वे समीकरण होते हैं जहाँ समीकरण के बाएँ पक्ष का मान हमेशा दाएँ पक्ष के मान के बराबर होता है। वे चर के किसी भी मान के लिए हमेशा सत्य होती हैं। गणित में बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग सूत्रों के रूप में किया जाता है जो सरल और आसान चरणों में संगणना करने में मदद करते हैं।
अनुशंसित पठन
- बीजगणितीय व्यंजकों का व्यवकलन (विधियों और उदाहरणों के साथ)
- बीजगणितीय व्यंजकों का योग (विधियों और उदाहरणों के साथ)
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