बीजगणितीय व्यंजक क्या है (परिभाषा, सूत्र और उदाहरण)

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अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषाओं में, हम संचार के लिए वाक्यों और कथनों का उपयोग करते हैं। इसी प्रकार, गणित में किसी परिदृश्य को व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कथनों को ‘व्यंजक’ कहा जाता है। स्थिरांक और ऑपरेटर्स जैसे अन्य घटकों के साथ अज्ञात मात्रा (या चर) युक्त व्यंजक बीजगणितीय व्यंजक कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, $3x + 2$ एक बीजगणितीय व्यंजक है जहां $3$ और $2$ स्थिरांक हैं और प्रतीक $x$ अंकगणितीय ऑपरेशन + (योग) द्वारा अलग किया गया एक चर है।

आइए समझते हैं कि एक बीजगणितीय व्यंजक क्या है और बीजगणितीय व्यंजक सूत्र और उनसे जुड़े शब्द।

बीजगणितीय व्यंजक सूत्र

बीजगणितीय व्यंजकों को निरूपित करने की विधि को बीजगणितीय व्यंजक सूत्र कहते हैं। यह बीजगणितीय व्यंजकों को लिखने का एक पारंपरिक विधि है।

बीजगणितीय व्यंजक क्या है?

बीजगणितीय व्यंजक एक गणितीय कथन है जिसमें चर, स्थिरांक (संख्या) और उनके बीच अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल होती हैं।

बीजगणितीय व्यंजक किसी स्थिति को उनके वास्तविक मानों को निर्दिष्ट किए बिना अक्षरों या अक्षरों का उपयोग करके व्यक्त करने का तरीका है। इन अक्षरों को यहाँ चर कहा जाता है। एक बीजगणितीय व्यंजक चर और स्थिरांक दोनों का संयोजन हो सकता है।

बीजगणितीय व्यंजक के उदाहरण

निम्नलिखित बीजगणितीय व्यंजकों के कुछ उदाहरण हैं।

बीजगणितीय व्यंजक के भाग

बीजगणितीय व्यंजक निम्नलिखित घटकों से बना होता है

• चर: बीजगणितीय व्यंजकों में अज्ञात अक्षर जैसे $x$, $y$, $z$, $a$, $b$, $c$, आदि।
• स्थिरांक: बीजगणितीय व्यंजकों में परिवर्तनशील भाग के बिना संख्याएँ।
• गुणांक: बीजगणितीय व्यंजकों में एक चर से गुणा की गई संख्या।
• अंकगणितीय ऑपरेटर: गणितीय ऑपरेटर $+$(योग), $-$(व्यवकलन), $\times$(गुणा) और $\div$(विभाजन)

आइए व्यंजक $2x + 5y – 7$ से समझें।

यहाँ, व्यंजक के भाग हैं:

• चर $x$ और $y$ हैं
• स्थिरांक $7$ है
• गुणांक $2$ और $5$ हैं
• उपयोग किए गए गणितीय ऑपरेटर योग (+) और व्यवकलन (-) हैं।

आइए, अब हम एक बीजगणितीय व्यंजक में पदों, गुणनखंडों और गुणांकों को विस्तार से समझें।

बीजगणितीय व्यंजक में पद क्या है?

पद एक संख्या, एक चर, दो या दो से अधिक चरों का गुणनफल, या एक संख्या और एक चर का गुणनफल हो सकता है। एक बीजगणितीय व्यंजक एक पद या पदों के समूह से बनता है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति $2x + y$ में, दो शब्द $2x$ और $y$ हैं।

व्यंजक बनाने के लिए पद जुड़ते हैं।

बीजगणितीय व्यंजक में पद क्या है, इसे समझने के लिए आइए कुछ उदाहरणों को देखें।

बीजगणितीय व्यंजक $x + 6xy – 4y + 7$ में पद हैं

• $x$: बिना किसी संख्या भाग के एकल चर
• $6xy$: संख्या $6$ का गुणनफल और दो भिन्न चर $x$ और $y$। यहाँ $6xy = 6 \times x \times y$ है
• $-4y$: संख्या $-4$ और एक चर $y$ का गुणनफल। यहाँ $-4y = -4 \times y$
• $7$: बिना किसी परिवर्तनशील भाग के एक एकल संख्या

इन पदों को एक साथ जोड़ने पर, $\left(x \right) + \left(6xy \right) + \left(-4y \right) + \left(7 \right)$, हमें $x + 6xy – 4y + 7$, प्राप्त होता है जो एक बीजगणितीय व्यंजक है।

पदों के प्रकार – बीजगणित में समान और असमान पद

बीजगणितीय व्यंजक पद दो प्रकार के होते हैं। य़े हैं

• समान पद 
• असमान पद

बीजगणित में समान पद क्या हैं?

बीजगणितीय पद जिनके चर और घातांक समान होते हैं, समान पद कहलाते हैं। जिन पदों में केवल समान चर होते हैं उन्हें समान पद नहीं माना जाता है। इसी प्रकार, जिन पदों की घातांक समान हैं, उन्हें भी समान पद नहीं माना जाता है।

समान पदों के उदाहरण हैं

$5x^{2}$ और $-3x^{2}$ (दोनों में समान शब्द $x^{2}$ हैं)

$-3ab$ और $-2ab$ (दोनों में समान शब्द $ab^{2}$)

$8m^{2}n$ और $m^{2}n$ (दोनों में समान शब्द $m^{2}n$)

नोट: समान पदों की जाँच करते समय गुणांकों पर विचार नहीं किया जाता है। 

बीजगणित में असमान पद क्या हैं?

बीजगणितीय पद जो समान पद नहीं हैं, असमान पद कहलाते हैं। दो बीजगणितीय पद असमान पद हैं यदि उनके पास अलग-अलग चर हैं या अलग-अलग घातांक वाले समान चर हैं।

विजातीय पदों के उदाहरण हैं

$3a$ और $3b$ (पहले पद का चर $a$ है और दूसरे पद का चर $b$ है)

$2m^{2}$ और $5m$ (दोनों पदों में चर समान $m$ हैं, लेकिन घातांक भिन्न हैं)

पद का गुणनखंड क्या है?

जिन संख्याओं या चरों को एक पद बनाने के लिए गुणा किया जाता है, वे इसके गुणनखंड कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, $6xy$ बीजगणितीय व्यंजक $x + 6xy – 4y + 7$ का एक पद है और $6$, $x$ और $y$ पद $6xy$ के गुणनखंड हैं।

इसी तरह, $-4y$ पद के गुणनखंड $-4$ और $y$ हैं।

यद्यपि $x$ को $1 \times x$ लिखा जा सकता है और $7$ को $1 \times 7$ के रूप में लिखा जा सकता है, $1$ को एक अलग गुणनखंड के रूप में नहीं लिया जाता है।

आइए, एक अन्य बीजगणितीय व्यंजक, $2a^{3} + 3a^{2}b$ को देखते हैं।

यहाँ, पद $2a^{3}$ और $3a^{2}b$ हैं।

और, $2a^{3}$ के गुणनखंड $2$, $a$, $a$ और $a$ हैं, क्योंकि $2a^{3} = 2 \times a \times a$।

इसी तरह, $3a^{2}b$ के गुणनखंड $3$, $a$, $a$ और $b$ हैं। यहाँ भी, $3a^{2}b = 3 \times a \times a \times b$।

बीजगणितीय व्यंजक में गुणांक क्या है?

गुणांक एक पूर्णांक है जिसे एक चर के साथ लिखा जाता है या इसे चर से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, एक गुणांक स्थिरांक और चर वाले पद का संख्यात्मक गुणनखंड होता है।

उदाहरण के लिए, शब्द $5y$ में, $5$ गुणांक है।

इसी तरह, $-2$ पद $-2a^{2}b$ का गुणांक है।

जब किसी पद में कोई संख्यात्मक कारक नहीं होता है, तो इसका गुणांक $१$ लिया जाता है। उदाहरण के लिए, $x^3$ पद में, गुणांक $1$ है।

इसी तरह, $-y$ पद में, गुणांक $-1$ है।

बीजगणितीय व्यंजकों के प्रकार

बीजगणितीय व्यंजक का प्रकार उस विशेष व्यंजक में पाए जाने वाले चरों, उस व्यंजक के पदों की संख्या और प्रत्येक व्यंजक में चरों के घातांकों के मानों पर आधारित होता है। इस वर्गीकरण के आधार पर एक बीजगणितीय व्यंजक निम्न में से कोई भी हो सकता है।

• एकपदी
• द्विपद
• त्रिपद 
• बहुपद

एकपदी

बीजगणितीय व्यंजक जिसमें केवल एक शून्येतर पद होता है, एकपदी कहलाता है।

निम्नलिखित एकपदी के उदाहरण हैं।

• $8x$ एक चर $x$ में एक एकपदी है
• $7a^{2}b$ दो चर $a$ और $b$ में एक एकपदी है
• $-3xy$ दो चर $x$ और $y$ में एक एकपदी है
• $m^{3}$ एक चर $m$ में एक एकपदी है

द्विपद

बीजगणितीय व्यंजक जिसमें दो पद होते हैं, द्विपद कहलाता है।

निम्नलिखित द्विपद के उदाहरण हैं।

• $8x + 3y$ दो चर $x$ और $y$ में एक द्विपद है
• $3a^{2}b – 3ab^{2}$ दो चर $a$ और $b$ में एक द्विपद है

त्रिपद

बीजगणितीय व्यंजक जिसमें तीन पद होते हैं, त्रिपद कहलाता है।

निम्नलिखित त्रिपद के उदाहरण हैं।

• $x + y + z$ तीन चर $x$ , $y$ और $z$ में एक त्रिपद है
• $l^{2} – 2lm + m^{2}$ दो चरों $l$ और $m$ में एक त्रिपद है

बहुपद

सामान्य तौर पर, एक चर के अनकारात्मक (या सकारात्मक) अभिन्न घातांक वाले शब्द को बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, एक या अधिक पदों वाला कोई भी बीजगणितीय व्यंजक बहुपद कहलाता है।

निम्नलिखित बहुपद के उदाहरण हैं।

• $8x$ एक चर $x$ में एक बहुपद है। यह एक चर x में एक एकपदी भी है।
• $3a^{2}b – 3ab^{2}$ दो चर $a$ और $b$ में एक बहुपद है। यह दो चर $a$ और $b$ में एक द्विपद भी है।
• $l^{2} – 2lm + m^{2}$ दो चर $l$ और $m$ में एक बहुपद है। यह दो चरों $l और $m$ में एक त्रिपद भी है।
• $x^{3} – 3x^{2}y + 3xy^{2} – y^{3}$ दो चर $x$ और $y$ में एक बहुपद है।
• $a^{3} – 3b^{2} + 2ac + 5d – 4abcd$ चार चर $a$, $b$, $c$ और $d$ में एक बहुपद है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित बीजगणितीय व्यंजकों में चरों, स्थिरांकों, गुणांकों और अंकगणितीय ऑपरेटर्स की पहचान कीजिए। 

• $x + y – z$
• $2a^{2} – 3ab + 7b^{2}$
• $x^{3} + \frac{2}{7}y^{2} + 8$
• $a^{3} – 3a^{b} + 3ab^{2} – b^{3}$
• $\frac{7l^{3} + 2lm – 8lm^{2}}{9}$

2. निम्नलिखित बीजगणितीय व्यंजकों में कितने पद हैं?

• $2x$
• $2 + x$
• $2 – x$
• $\frac{2}{x}$
• $5x^{2} + 2x + 7 + 3x$
• $5xyz$

3. सही या गलत बताएं
   • सभी एकपदी बहुपद हैं
   • सभी बहुपद द्विपद हैं
   • सभी त्रिपद बहुपद हैं
   • सभी द्विपद बहुपद हैं

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

बीजगणितीय व्यंजक एक गणितीय कथन है जिसमें चर, स्थिरांक (संख्या) और उनके बीच अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल होती हैं। बीजगणितीय व्यंजकों में पदों की संख्या और चरों के घातांकों की प्रकृति के आधार पर उन्हें एकपदी, द्विपद, त्रिपद, या बहुपद के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

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