बीजगणितीय व्यंजकों का योग (विधियों और उदाहरणों के साथ)

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गणित में, योग, व्यवकलन, गुणन और भाग चार बुनियादी संक्रियाएँ हैं। जैसे हम कई संख्याओं को जोड़ते हैं, वैसे ही हम बीजगणितीय व्यंजकों का योग भी ले सकते हैं। दो या दो से अधिक बीजगणितीय व्यंजकों के योग के लिए, हम सभी समान पदों का योग लेते हैं और फिर उन्हें आपस में जोड़ के लिखते हैं।

आइए चरणों और उदाहरणों के साथ बीजगणितीय व्यंजकों को योग की विधियों को समझते हैं।

बीजगणितीय व्यंजकों का योग क्या है?

बीजगणितीय व्यंजकों का योग संख्याओं के योग के समान ही है। हालाँकि, बीजगणितीय व्यंजकों को जोड़ते समय, आपको समान पदों को एकत्रित करना होगा और फिर उनका योग लेना होता है। कई समान पदों का योग समान पद होगा जिसका गुणांक समान पदों के गुणांकों और योगों के समान चरों का योग है।

बीजगणितीय  योग की दो विधियाँ हैं।

• बीजगणितीय योग की क्षैतिज विधि
• बीजगणितीय योग की स्तंभ विधि

बीजगणितीय योग की क्षैतिज विधि

इस विधि में, हम सभी व्यंजकों को एक क्षैतिज रेखा में लिखते हैं और फिर समान पदों के सभी समूहों को एकत्रित करने के लिए पदों को व्यवस्थित करते हैं। इसके बाद ये समान पद जोड़े जाते हैं।

बीजगणितीय योग की क्षैतिज विधि के चरण

क्षैतिज विधि का उपयोग करके दो या दो से अधिक बीजगणितीय व्यंजकों को जोड़ने के लिए ये स्टैप्स हैं।

आइए तीन बीजगणितीय व्यंजकों को लेकर बीजगणितीय योग की क्षैतिज विधि के चरण समझतें हैं  $2x^{3} + 3x^{2}y – 5xy{2} + 7xy + 6y – 9$, $3x^{2} + xy – 8y^{2}$, और $x^{3} + y^{3}$.

स्टैप 1: दिए गए बीजगणितीय व्यंजकों को योग चिह्न का प्रयोग करके लिखिए।

$\left(2x^{3} + 3x^{2}y – 5xy{2} + 7xy + 6y – 9 \right) + \left(3x^{2} + xy – 8y^{2} \right) + \left(x^{3} + y^{3} \right)$

स्टैप 2: कोष्ठक खोलें और पदों को गुणा करें (कोष्ठक खोलने के लिए नियमों का उपयोग करें)।

$2x^{3} + 3x^{2}y – 5xy{2} + 7xy + 6y – 9 + 3x^{2} + xy – 8y^{2} + x^{3} + y^{3} $

स्टैप 3: अब समान पदों को मिलाइए।

$(2x^{3} + x^{3}) + 3x^{2}y – 5xy{2} + (7xy + xy) + 6y – 9 + 3x^{2} – 8y^{2} + y^{3} $

स्टैप 4: गुणांक जोड़ें। चरों और घातांकों को समान रखें।

$3x^{3} + 3x^{2}y – 5xy{2} + 8xy + 6y – 9 + 3x^{2} – 8y^{2} + y^{3} $

स्टैप 5: पदों को घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करके उत्तर को दोबारा लिखें।

$3x^{3} + y^{3} + 3x^{2}y – 5xy{2} + 3x^{2} – 8y^{2} + 8xy + 6y – 9 $

अतः,  $\left(2x^{3} + 3x^{2}y – 5xy{2} + 7xy + 6y – 9 \right) + \left(3x^{2} + xy – 8y^{2} \right) + \left(x^{3} + y^{3} \right) = 3x^{3} + y^{3} + 3x^{2}y – 5xy{2} + 3x^{2} – 8y^{2} + 8xy + 6y – 9$.

पदों को घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करके उत्तर होता है

 $7x^{3}  + y^{3} + 3x^{2}y – 16xy^{2} + 11$

उदाहरण

Ex 1: $mn + t$, $2mn – 2t$ और $-3t + 3mn$ का योग ज्ञात कीजिये।

$\left(mn + t \right) + \left(2mn – 2t \right) + \left(-3t + 3mn \right)$

$=mn + t + 2mn – 2t – 3t + 3mn$

$=\left(mn + 2mn + 3mn \right) + \left(t – 2t – 3t \right)$

$=6mn – 4t$

Ex 2: $\left(-5x^{2} – x + 4 \right)$ और $\left(-3x^{2} – 5x + 2 \right)$ का योग ज्ञात कीजिये।

$\left(-5x^{2} – x + 4 \right) + \left(-3x^{2} – 5x + 2 \right)$

$=-5x^{2} – x + 4 – 3x^{2} – 5x + 2$

$=\left(-5x^{2} – 3x^{2} \right) +  \left(– x – 5x \right)  + \left(4 + 2 \right)$

$=-8x^{2} – 6x  + 6$

Ex 3: $\left(20.2x^{2} + 6x + 5 \right)$ और $\left(1.7x^{2} – 3x – 8 \right)$ का योग ज्ञात कीजिये।

$=\left(20.2x^{2} + 6x + 5 \right)$ + $\left(1.7x^{2} – 3x – 8 \right)$

$=20.2x^{2} + 6x + 5 + 1.7x^{2} – 3x – 8 $

$=\left(20.2x^{2} + 1.7x^{2} \right) + \left(6x – 3x \right) + \left(5 – 8 \right)$

$=21.9x^{2} + 3x + (-3)$

$=21.9x^{2} + 3x – 3$

बीजगणितीय योग की स्तंभ विधि

इस विधि में, हम प्रत्येक व्यंजक को एक अलग पंक्ति में इस प्रकार लिखते हैं कि उनके समान पद स्तम्भ (कॉलम) में एक के नीचे एक व्यवस्थित होते हैं। फिर आपको कॉलम-वाइज पदों को जोड़ते हैं।

बीजगणितीय योग की स्तंभ विधि के स्टैप्स

स्तम्भ विधि का उपयोग करके दो या दो से अधिक बीजगणितीय व्यंजकों को जोड़ने के लिए ये स्टैप्स हैं।

आइए तीन बीजगणितीय व्यंजकों को लेकर इसे समझते हैं  $5x^{3} + 2x^{2}y – 7xy^{2} + 8$, $-2x^{3} – 9xy^{2} + 6$,  $3x^{3} + x^{2}y – 3$, and $x^{3} + y^{3}$

स्टैप 1: सभी व्यंजकों को एक के नीचे एक लिखिए। एक स्तम्भ में सामान पद सुनिश्चित करें। यदि कोई ऐसा पद है जिसका समान पद दूसरे व्यंजक में नहीं है, तो उस कॉलम को खाली छोड़ दें।

स्टैप 2: प्रत्येक स्तम्भ (सामान पद) का संख्यात्मक गुणांक जोड़ें और उसके नीचे उसी स्तम्भ में सामान्य चर के बाद लिखें।

स्टैप 3: पदों को घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करके उत्तर लिखें।

अतः,उत्तर होता है $7x^{3} + 3x^{2}y – 16xy^{2} + 11 + y^{3}$.

पदों को घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित कर लिखने पर उत्तर हो जाता है   $7x^{3}  + y^{3} + 3x^{2}y – 16xy^{2} + 11$

उदाहरण

Ex 1: $\left(-x^{2} + x – 4 \right)$ और $\left(3x^{2} – 8x – 2 \right)$ का योग ज्ञात करें। 

$\left(-x^{2} + x – 4 \right)$ और $\left(3x^{2} – 8x – 2 \right)$ को एक के नीचे एक लिखने पर।

अतः,, $\left(-x^{2} + x – 4 \right) + \left(3x^{2} – 8x – 2 \right) = 2x^{2} – 7x – 6$

Ex 2: $\left(6m^{5} + 1 \right)$ और $\left(2m^{5} + 9m – 1 \right)$ का योग ज्ञात करें।

$\left(6m^{5} + 1 \right)$ और $\left(2m^{5} + 9m – 1 \right)$ को एक के नीचे एक लिखने पर।

अतः, $\left(6m^{5} + 1 \right) + \left(2m^{5} + 9m – 1 \right) = 8m^{5} + 9m$

बीजगणितीय व्यंजकों के योग के लिए युक्तियाँ

• हम एक बीजगणितीय व्यंजक में समान पदों में चरों के क्रम की अवहेलना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $3a + 2b$, और, $9b + a$ दोनों समान पद हैं।
• हम किसी भी पद के संख्यात्मक गुणांक के रूप में $1$ लिखने की उपेक्षा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $xy$ $1xy$ के समान है।
• हम समान चरों के साथ एक लापता पद को $0$ से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, लापता पद के चर के आधार पर एक लापता पद को $0x$, $0y$, या $0xy$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्न बीजगणितीय व्यंजक को क्षैतिज विधि द्वारा योग ज्ञात कीजिये।

• $2x^{2} + 3xy + 5y^{2}$, $-4x^{2} + xy + 8y^{2}$
• $x^{2} + 7xy – 2y^{2}$, $6x^{2} + 4xy – 2y^{2}$, $x^{2} + y^{2}$
• $-5x^{2} – 6y^{2}$, $9xy – 12y^{2}$, $x^{2} + 9y^{2}$
• $9x^{2} – xy + 5y^{2}$, $12x^{2} + 2xy $, $y^{2}$

2. निम्न बीजगणितीय व्यंजक को स्तम्भ विधि द्वारा योग ज्ञात कीजिये।

• $6x^{2} + 13xy + 12y^{2}$, $-x^{2} + 5xy – 7y^{2}$, $4x^{2} + 10xy + y^{2}$
• $x^{2} – y^{2}$, $-5x^{2} + 7xy – 3y^{2}$, $2xy + 7y^{2}$
• $10xy – y^{2}$, $15x^{2} + 10xy + 8y^{2}$, $2x^{2} – 9y^{2}$
• $x^{2} + 9xy$, $3x^{2} + 15xy – 8y^{2}$, $4x^{2} + 8xy $

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

जैसे आप संख्याओं को जोड़ते और सरल करते हैं, वैसे ही बीजगणितीय व्यंजकों को भी जोड़ा और सरल बनाया जा सकता है। दो या अधिक बीजगणितीय व्यंजकों को जोड़ने के लिए, हम सभी समान पदों को जोड़ते हैं और फिर उन्हें जोड़ते हैं और फिर पदों को चरों के घातांकों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं।

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