3D आकार – परिभाषा, गुण और प्रकार

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ज्यामिति में, $3 \text{D}$ आकार (या त्रि-आयामी आकार) ठोस आकृतियाँ या आकृतियाँ होती हैं जिनके तीन आयाम होते हैं – लंबाई, चौड़ाई (या चौड़ाई), और ऊँचाई। इनमें से सबसे आम आकृतियाँ घन, घनाभ, शंकु, बेलन और गोला हैं। $3 \text{D}$ आकृतियों को उनके संबंधित गुणों जैसे किनारों, चेहरों, शीर्षों, घुमावदार सतहों, पार्श्व सतहों और आयतन द्वारा परिभाषित किया जाता है।

हम अपने दैनिक जीवन में विभिन्न आकृतियों और आकारों की अनेक वस्तुओं को देखते हैं। माचिस, आइसक्रीम कोन, कोक के डिब्बे, फुटबॉल आदि हैं।

आइए $3 \text{D}$ आकृतियों और उनके गुणों को समझते हैं।

$3 \text{D}$ आकार क्या होते हैं?

$3 \text{D}$ आकृतियाँ ठोस आकृतियाँ या वस्तुएँ होती हैं जिनके तीन आयाम होते हैं – लंबाई, चौड़ाई (या चौड़ाई), और ऊँचाई (या मोटाई), दो आयामी वस्तुओं के विपरीत जिनकी केवल लंबाई और चौड़ाई (या चौड़ाई) होती है। उनमें गहराई होती है और इसलिए वे कुछ आयतन घेरते हैं।

कुछ $3 \text{D}$ आकृतियों के आधार या क्रॉस-सेक्शन $2 \text{D}$ आकारों के रूप में होते हैं। उदाहरण के लिए, एक घन के सभी फलक एक वर्ग के आकार के होते हैं। इसी प्रकार, एक घनाभ के सभी फलक एक आयत के आकार के होते हैं।

$3 \text{D}$ आकृतियों के शीर्ष, किनारे और फलक

आइए 3D आकृतियों से जुड़े शब्दों को समझते हैं जैसे फलक, किनारे और शीर्ष।

शीर्ष 

• वह बिन्दु जहाँ दो या दो से अधिक रेखाएँ मिलती हैं, शीर्ष कहलाता है।
• यह एक कोना है।
• किनारों का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्षों को दर्शाता है।

किनारे 

• एक किनारा एक शीर्ष (कोने बिंदु) को दूसरे से जोड़ने वाली सीमा पर एक रेखा खंड है।
• वे दो फलकों के जंक्शन के रूप में काम करते हैं।

फलक 

• एक फलक किसी ठोस वस्तु की किसी एक सपाट या घुमावदार सतह को संदर्भित करता है।
• 3D आकृतियों में एक से अधिक फलक हो सकते हैं।

यूलर का सूत्र

यूलर का सूत्र एक ठोस आकार में शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या के बीच संबंध दिखाता है। सूत्र के अनुसार, शीर्षों और फलकों की कुल संख्या किनारों की संख्या से ठीक दो अधिक है। हम यूलर के सूत्र को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\text{Faces} + \text{Vertices} = \text{Edges} + 2$, अर्थात, $\text{F} + \text{V} = \text{E} + 2$ या, $\text{F} + \text{V} – \text{E} = 2$

जहां, $F =$ फलकों की संख्या, $V =$ शीर्षों की संख्या और $E =$ किनारों की संख्या

उदाहरण

Ex 1: $7$ शीर्षों और $12$ किनारों वाले ठोस आकार में फलकों  की संख्या ज्ञात कीजिए।

$\text{V} = 7$ और $\text{E} = 12$

यूलर के सूत्र के अनुसार $\text{F} + \text{V} – \text{E} = 2 => \text{F} + 7 – 12 = 2 => \text{F} – 5 = 2 => \text{F} = 7$।

इसलिए, $7$ शीर्ष और $12$ किनारों वाले ठोस आकार में फलकों की संख्या $7$ है।

Ex 2: $4$ फलकों और $6$ किनारों वाले ठोस आकार में शीर्षों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$\text{F} = 4$ और $\text{E} = 6$

यूलर के सूत्र के अनुसार $\text{F} + \text{V} – \text{E} = 2 => 4 + \text{V} – 6 = 2 => \text{V} – 2 = 2 => \text{V} = 4$।

इसलिए, $4$ किनारों और $6$ किनारों वाले ठोस आकार में फलकों की संख्या $4$ है।

Ex 3: क्या $5$ कोने, $3$ किनारों, और $2$ फलकों के साथ एक ठोस आकार होना संभव है?

$\text{V} = 5$, $\text{E} = 3$ और $\text{F} = 2$

चूंकि, $\text{F} + \text{V} – \text{E} = 2 + 5 – 3 = 4 \ne 2$, इसलिए, $5$ कोने, $3$ किनारों, और $2$ फलकों के साथ एक ठोस आकार होना संभव नहीं है। 

निम्न तालिका कुछ $3$-आयामी आकृतियों ($3D$ आकृतियों) के फलक, किनारे और शीर्ष दिखाती है।

3D आकार	शीर्ष	किनारे	फलक
घन	$12$	$8$	$6$
घनाभ	$12$	$8$	$6$
बेलन	$0$	$2$	$3$
शंकु	$1$	$1$	$2$
गोला	$0$	$0$	$1$
त्रिभुजीय क्रकच	$6$	$9$	$5$
पंचकोणीय क्रकच	$10$	$15$	$7$
षट्भुजीय क्रकच	$12$	$18$	$8$
चतुर्भुजीय	$5$	$8$	$5$
त्रिभुजीय पिरामिड	$4$	$6$	$4$
पंचकोणीय पिरामिड	$6$	$10$	$6$
षट्भुजीय पिरामिड	$7$	$12$	$7$

3D आकार के नाम

गोला

एक गोले का आकार गोल होता है। यह एक $3D$ ज्यामितीय आकृति है जिसकी सतह पर सभी बिंदु हैं जो इसके केंद्र से समान दूरी पर हैं। हमारा ग्रह पृथ्वी एक गोले जैसा दिखता है, लेकिन यह गोला नहीं है। हमारे ग्रह का आकार गोलाकार है। एक स्फेरॉइड एक गोले जैसा दिखता है लेकिन केंद्र से सतह तक एक स्फेरॉइड की त्रिज्या सभी बिंदुओं पर समान नहीं होती है।

एक गोले की कुछ महत्वपूर्ण विशेषताएं इस प्रकार हैं।

• यह एक गेंद के आकार का है और पूरी तरह सममित है।
• इसकी एक त्रिज्या, व्यास, परिधि, आयतन और सतह क्षेत्र है।
• गोले का प्रत्येक बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होता है।
• इसका एक फलक है, कोई किनारा नहीं है, और कोई शीर्ष नहीं है।
• यह बहुफलक नहीं है क्योंकि इसका फलक चपटा नहीं है।

घन

एक घन एक त्रि-आयामी आकार ($3D$ आकार) है जिसमें छह वर्ग चेहरे, आठ कोने और बारह किनारे होते हैं। एक घन आयतन घेरता है और उसका एक पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है। एक घन की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई समान होती है।

घनाभ

एक घनाभ एक त्रि-आयामी आकार ($3$D आकार) है जिसमें छह आयताकार चेहरे, आठ कोने और बारह किनारे होते हैं। एक घनाभ आयतन घेरता है और उसका एक पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है। घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई अलग-अलग होती है।

बेलन

एक बेलन एक $3$D आकृति है जिसके दो वृत्ताकार फलक होते हैं, एक शीर्ष पर और एक तल पर, और एक घुमावदार सतह। एक बेलन की ऊँचाई और त्रिज्या होती है। एक बेलन की ऊंचाई ऊपर और नीचे के चेहरों के बीच की लंबवत दूरी है।  

बेलन की कुछ महत्वपूर्ण विशेषताएं नीचे सूचीबद्ध हैं।

• इसका एक घुमावदार चेहरा है।
• आधार से ऊपर तक आकार एक समान रहता है।
• यह एक त्रि-आयामी वस्तु है जिसके दो समान सिरे होते हैं जो या तो गोलाकार या अंडाकार होते हैं।
• एक बेलन जिसके दोनों वृत्तीय आधार एक ही रेखा पर स्थित हों, लम्ब बेलन कहलाता है। एक बेलन जिसमें एक आधार दूसरे से दूर रखा जाता है, तिरछा बेलन कहलाता है।

शंकु

शंकु एक अन्य त्रि-आयामी आकार ($3$D आकार) है जिसका एक सपाट आधार (जो गोलाकार आकार का होता है) और शीर्ष पर एक नुकीला सिरा होता है। शंकु के शीर्ष पर स्थित नुकीले सिरे को ‘शीर्ष’ कहा जाता है। एक शंकु की एक घुमावदार सतह भी होती है। एक बेलन के समान, एक शंकु को भी एक लम्बवृत्तीय शंकु और एक तिर्यक शंकु के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

• एक शंकु का एक शीर्ष (शीर्ष) के साथ एक गोलाकार या अंडाकार आधार होता है।
• शंकु एक घूमता हुआ त्रिभुज है।
• शीर्ष को आधार के केंद्र से कैसे संरेखित किया जाता है, इसके आधार पर एक समकोण या तिरछा शंकु बनता है।
• एक शंकु जिसका शीर्ष (या नुकीला सिरा) आधार के लंबवत होता है, एक लम्ब वृत्तीय शंकु कहलाता है। एक शंकु जिसका शीर्ष आधार के केंद्र से कहीं दूर स्थित होता है, एक तिरछा शंकु कहलाता है।
• एक शंकु की ऊँचाई और त्रिज्या होती है। ऊंचाई के अलावा, एक शंकु की तिरछी ऊंचाई होती है, जो शीर्ष और शंकु के वृत्ताकार आधार की परिधि पर किसी बिंदु के बीच की दूरी होती है।

पिरामिड

पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन है जिसमें एक बहुभुज आधार होता है और एक शीर्ष सीधे किनारों और सपाट चेहरों के साथ होता है। आधार के केंद्र के साथ उनके शीर्ष संरेखण के आधार पर, उन्हें नियमित और तिरछे पिरामिड में वर्गीकृत किया जा सकता है।

• त्रिकोणीय आधार वाले पिरामिड को टेट्राहेड्रॉन कहा जाता है।
• चतुर्भुज आधार वाले पिरामिड को वर्गाकार पिरामिड कहा जाता है।
• एक पंचभुज के आधार वाले पिरामिड को पंचकोणीय पिरामिड कहा जाता है।
• एक सम षट्भुज के आधार वाले पिरामिड को षट्कोणीय पिरामिड कहा जाता है।

क्रकच

क्रकच एक ठोस आकार है जिसमें समान बहुभुज सिरों और सपाट समांतर चतुर्भुज भुजाएँ होती हैं। क्रकच की कुछ विशेषताएं हैं:

• इसकी लंबाई के साथ एक ही क्रॉस-सेक्शन है।
• विभिन्न प्रकार के क्रकच हैं – त्रिकोणीय क्रकच, वर्गाकार क्रकच, पंचकोणीय क्रकच षट्कोणीय क्रकच, आदि।
• क्रकच को भी मोटे तौर पर नियमित क्रकच और तिरछे क्रकच में वर्गीकृत किया जाता है।

बहुफलक

बहुफलक एक $3$D आकार है जिसमें सीधे किनारों और कोने के साथ बहुभुज चेहरे जैसे (त्रिकोण, वर्ग, या षट्भुज) होते हैं। इसे प्लेटोनिक ठोस भी कहा जाता है। पाँच नियमित पॉलीहेड्रॉन हैं। एक नियमित बहुफलक का अर्थ है कि सभी फलक समान हैं। उदाहरण के लिए, एक घन के सभी फलक एक वर्ग के आकार के होते हैं।

सम बहुफलक के कुछ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं:

• एक चतुष्फलक के चार समबाहु-त्रिकोणीय फलक होते हैं।
• एक ऑक्टाहेड्रॉन में आठ समबाहु-त्रिकोणीय चेहरे होते हैं।
• एक द्वादशफ़लक में बारह नियमित पंचकोणीय चेहरे होते हैं।
• एक इकोसैहेड्रोन में बीस समबाहु-त्रिकोणीय चेहरे होते हैं।
• एक घन के छह वर्गाकार फलक होते हैं।

2D और 3D आकृतियों के बीच अंतर

निम्नलिखित 2D और 3D आकृतियों के बीच के अंतर हैं जो दोनों के बीच अंतर करने में मदद करते हैं।

2D आकार	3D आकार
एक 2D आकृति के दो आयाम होते हैं- लंबाई और चौड़ाई।	एक 3D आकृति के तीन आयाम होते हैं- लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई।
2D आकृतियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो निर्देशांक अक्षों का उपयोग किया जाता है। ये X-अक्ष और Y-अक्ष।	3D आकृतियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीन निर्देशांक अक्षों का उपयोग किया जाता है। ये X-अक्ष, Y-अक्ष और Z-अक्ष हैं।
किसी वस्तु का सरल दृश्य देने के लिए 2D आकृतियों का उपयोग किया जाता है।	3D आकृतियों का उपयोग किसी वस्तु का वास्तुशिल्पीय दृश्य देने के लिए किया जाता है।
2D आकृतियों में, सभी किनारे स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं।	3D आकृतियों में, कुछ किनारे छिपे होते हैं।
2D आकृतियों को उनके सभी किनारों की दृश्यता के कारण व्याख्या करना आसान है।	3D आकृतियों में, केवल बाहरी आयामों की व्याख्या की जा सकती है।
विवरण को 2D आकृतियों में बनाना आसान है।	3डी शेप में डिटेलिंग करना कठिन हो जाता है।
2D आकृतियों के उदाहरण वृत्त, वर्ग, आयत, समचतुर्भुज, समलम्ब आदि हैं।	3D आकृतियों के उदाहरण बेलन, प्रिज्म, घन, घनाभ आदि हैं।
2D आकृतियाँ बनाना आसान है।	3D आकृतियों को बनाना जटिल है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. इसका एक घुमावदार चेहरा है
   1. घन
   2. घनाभ
   3. बेलन
   4. पिरामिड
2. ______ और ________ के चेहरों की संख्या समान है।
   1. घन, गोला
   2. घन, घनाभ
   3. वृत्त
   4. शंकु, घन
3. एक शंकु एक घूमता हुआ __________ है।
   1. त्रिभुज
   2. वृत्त
   3. वर्ग
   4. आयत
4. $2$ समतल सतहों और $1$ घुमावदार सतह के साथ ठोस आकार
   1. शंकु
   2. घन
   3. वृत्त
   4. बेलन
5. एक बहुफलक का ___________ आधार होता है।
   1. वर्ग
   2. आयत
   3. त्रिभुज
   4. ऊपर का कोई भी
6. निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
   1. एक घन में सभी किनारे बराबर होते हैं
   2. एक घनाभ में सभी किनारे बराबर होते हैं

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

3D आकृतियाँ ठोस आकृतियाँ या आकृतियाँ होती हैं जिनके तीन आयाम होते हैं – लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई। 3D आकृतियों से जुड़ी मुख्य विशेषताएँ कोने, किनारे और चेहरे हैं। इन आकृतियों की विशेषता सतह क्षेत्र और आयतन है।

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