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3 विस्मयकारी ग्राफिक्स के लिए मूल ग्राफ रूपांतरण

समीकरण और उनके रेखांकन

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ग्राफ़ का ज्ञान कंप्यूटर ग्राफिक्स में बहुत मदद करता है। ग्राफ फंक्शन का विज़ुअल रिप्रजेंटेशन होता है। कई बार जब आप जानते हैं कि किसी विशेष फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है, और आप जानना चाहते हैं कि उसके समान फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखता है, उदाहरण के लिए, यदि आप f (x) = x2 का ग्राफ जानते हैं, और फ़ंक्शन के ग्राफ को जानना चाहते हैं – f (x) = x2 + 3 या f (x) = x2 – 5 या f (x) = (x +) 1)2 या f (x) = (x – 2)2, आदि का ग्राफ कैसा होगा ? निम्नलिखित लेख में, हम ग्राफिक्स के लिए 3 मूल ग्राफ़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन में देखेंगे।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = x2
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = x2 + 3
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = x2 – 5
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = (x + 1)2
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = (x – 2)2

इन सभी फंक्शन्स के ग्राफ का आकार समान है परन्तु वे कार्टेशियन प्लेन में अपनी स्थिति के संबंध में भिन्न हैं।

इसका अर्थ यह हुआ है कि यदि आप बुनियादी फंक्शन्स के आकार को जानते हैं तो आप कई ग्राफ को जल्दी और आसानी से प्लॉट कर सकते हैं।

मूलभूत फंक्शंस के ग्राफ

निम्नलिखित कुछ मूलभूत फंक्शन्स और उनके ग्राफ हैं। यदि आप इन मूलभूत फंक्शन्स के ग्राफ़ के आकार को जानते हैं, तो आप आसानी से अन्य संबंधित और समान फंक्शन्स के ग्राफ़ को प्लॉट कर सकते हैं।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
रैखिक फंक्शन: f (x) = x
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
द्विघात (क्वाड्रटिक) फंक्शन: f (x) = x2
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
घन (क्यूबिक) फ़ंक्शन: f (x) = x3
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
रेसिप्रोकल फ़ंक्शन: f (x) = 1 / x
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
स्क्वायर रूट फ़ंक्शन: f (x) = √x
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
घातीय (एक्सपोनेंशिअल) फ़ंक्शन: f (x) = ex
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
लघुगणक फ़ंक्शन: f (x) = log(x)

इन मूल ग्राफ़ में परिवर्तन लागू करने से, आप नए ग्राफ़ प्राप्त करने में सक्षम होते हैं जिनमें अभी भी पुराने के सभी गुण होते हैं। मूलभूत फंक्शन्स और उन पर लागू होने वाले परिवर्तनों को समझने से, आप प्रत्येक नए ग्राफ को एक पुराने रूप में छोटे बदलाव के रूप में पहचानेंगे, न कि पूरी तरह से अलग ग्राफ के रूप में जो आपने पहले कभी नहीं देखा है। इन परिवर्तनों को समझना आपको प्लॉटिंग बिंदुओं का सहारा लेने के बिना एक नए फ़ंक्शन को जल्दी से पहचानने और स्केच करने की समझ देगा।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण

तीन प्रकार के परिवर्तन होते हैं, जिनके माध्यम से आप किसी भी प्रकार के फ़ंक्शन के ग्राफ को बड़ी आसानी से प्लाट कर सकते हैं। ये रूपतारण (ट्रांस्फ़ॉर्मेशन्स) हैं:

  • ट्रांसलेशन
  • रिफ्लेक्शन
  • स्ट्रेचिंग
CodingHero - 3 विस्मयकारी ग्राफिक्स के लिए मूल ग्राफ रूपांतरण 1 3 Basic Graph Transformations Translation Reflection Stretching 952

ट्रांसलेशन: ट्रांसलेशन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ को बाएँ, दाएँ, ऊपर या नीचे स्थानांतरित करने की एक प्रक्रिया है। यह समझने के लिए कि यह कैसे काम करता है, आइए बुनियादी द्विघात फ़ंक्शन के उदाहरण पर विचार करें – f (x) = x2। f(x) = x2 का ग्राफ है

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = x2

ग्राफ़ को ऊपर की ओर ट्रांसलेट करना: फ़ंक्शन f (x) + a f (x) के ग्राफ़ को a इकाइयां ऊपर की ओर अनुवाद करता है। उदाहरण के लिए, f (x) = x2 + 3, f (x) = x2, ग्राफ को 3 इकाइयों ऊपर की ओर ले जाएगा।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
ऊपर की ओर ट्रांसलेटेड: f (x) = x2 + 3

ग्राफ़ को नीचे की ओर ट्रांसलेट करना: फ़ंक्शन f (x) – a, f (x) के ग्राफ़ को a इकाइयां नीचे की ओर ट्रांसलेट करता है। उदाहरण के लिए, f (x) = x2 – 5, f (x) = x2, को 5 इकाई नीचे की ओर खिसकाएगा।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
नीचे की ओर खिसकाया गया: f(x) = x2 – 5

ग्राफ़ को बाईं ओर ट्रांसलेट करना: फ़ंक्शन f (x + a) किसी फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ़ को a इकाई बाईं ओर खिसकाता है। उदाहरण के लिए, f (x) = (x + 1)2, f (x) = x2, 1 इकाई बाईं ओर शिफ्ट करेगा।

ग्राफ़ को दाईं ओर ट्रांसलेट करना: फ़ंक्शन f (x – a) किसी फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ़ को a इकाइ दाईं ओर शिफ्ट करता है। उदाहरण के लिए, f (x) = (x – 2)2, f (x) = x2, 2 इकाई दाईं ओर खिसकाएगा।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
दाईं ओर खिसकाया गया: f(x) = (x – 2)2

रिफ्लेक्शन

ग्राफ का रिफ्लेक्शन, ग्राफ को x या y अक्ष पर प्रतिबिंबित करता है। इसे समझने के लिए, आधार फ़ंक्शन f (x) = ex पर विचार करें।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = ex

पहले देखते हैं कि x-अक्ष पर एक ग्राफ कैसे प्रतिविम्बित किया जाता है? फ़ंक्शन -f(x) का ग्राफ f(x) का का प्रतिविम्ब (x-अक्ष पर) होता है। उदाहरण के लिए, f (x) = -ex पर विचार करते हैं। f (x) = -ex , f (x) = ex के ग्राफ को x अक्ष पर प्रतिविम्बित करेगा।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
x-अक्ष में प्रतिबिंब: f (x) = -ex

दूसरा है, y – अक्ष पर प्रतिविम्बित करना। f (-x) f (x ) को y -अक्ष पर प्रतिविम्बित करता है। उदाहरण के लिए, f (x) = e-x, y- अक्ष में f (x) = ex के ग्राफ को प्रतिविम्बित करेगा।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
y- अक्ष में प्रतिबिंब: f (x) = e-x

स्ट्रेचिंग

एक ग्राफ की स्ट्रेचिंग दो प्रकार की होती है – ऊर्ध्वाधर (वर्टीकल) और क्षैतिज (हॉरिजॉन्टल)। इस अवधारणा को समझने के लिए, चलिए फिर से फ़ंक्शन f (x) = x2 पर विचार करते हैं।

एक ऊर्ध्वाधर (वर्टीकल) स्ट्रेचिंग ग्राफ को x-अक्ष से दूर खींचती स्ट्रेचिंग है। और एक ऊर्ध्वाधर संपीड़न (या सिकुड़ना) एक्स-अक्ष की ओर ग्राफ को स्क्वीज़ करती है। एक फ़ंक्शन k.f (x) फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ को लंबवत रूप से फैलाता है।

  • यदि k> 1, k.f (x) का ग्राफ f (x) का ग्राफ है जो एक कारक k द्वारा लंबवत फैला है।
  • If 0 < k < 1, (a fraction), the graph of k.f(x) is the graph of f(x) vertically shrunk (or compressed) by a factor k.
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = x2

3 मूल ग्राफ रूपांतरण

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = (½)x2

एक क्षैतिज (हॉरिजॉन्टल) स्ट्रेचिंग y- अक्ष से दूर ग्राफ का फैलाव है। एक क्षैतिज संपीड़न (या सिकुड़ना) y- अक्ष की ओर ग्राफ की स्क्वीज़िंग है। एक फ़ंक्शन f (k.x) क्षैतिज रूप (हॉरिज़ॉन्टली) से फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ को बढ़ाता है।

यदि k> 1, f (k.x) का ग्राफ k (x) क्षैतिज रूप से सिकुड़ (या संपीड़ित) ग्राफ होता है, जिसका प्रत्येक x- निर्देशांक k से विभाजित होता है।

यदि 0<k<1 (एक अंश), तो ग्राफ f (x) क्षैतिज रूप से k द्वारा इसके प्रत्येक x- निर्देशांक को विभाजित करके खींचा जाता है।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = x2
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = (2x)2 => f(x) = 4x2
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = (½ x)2 => f(x) = ¼ x2

फ़ंक्शन ग्राफ़ का रूपांतरण

-f(x)Reflect f(x) over x-axis
f(-x)Reflect f(x) over y-axis
f(x) + kShift f(x) up by k units
f(x) – kShift f(x) down by k units
f(x + k)Shift f(x) left by k units
f(x – k)Shift f(x) right by k units
k.f(x)Stretch f(x) vertically
f(k.x)Stretch f(x) hrozontally

रूपांतरण का संयोजन

उपरोक्त संयोजनों में से दो या अधिक को लागू करके एक फ़ंक्शन का गठन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए एक बार फिर से f(x) = x2 को एक मूल फंक्शन के रूप में लेते हुए, f (x) = (x + 2)2 – 3 का ग्राफ f(x) = x2, को 2 इकाई बाईं ओर खिसका कर और फिर से 3 इकाई नीचे की ओर खिसका के बनाया जा सकता है।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = x2
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = (x + 2)2
3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = (x + 2)2 – 3

अब, फंक्शन f(x) = x2 – 2x + 5 के ग्राफ को देखें

x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x2 – 2×x×1 + 12) + 4 = (x – 1)2 + 4Therefore, graph of f(x) = x2 – 2x + 5 को f (x) = x के ग्राफ को ट्रांसलेट करके प्राप्त किया जा सकता है2, 1 यूनिट दाईं ओर और 4 यूनिट ऊपर की ओर।

3 मूल ग्राफ रूपांतरण
f(x) = x2 – 2x + 5
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