किसी भी संख्या की पॉवर 0,1 क्यों होती है?

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एक विद्यार्थी के रूप में आपने पढ़ा होगा कि शून्य (0) की घात वाली कोई भी संख्या हमेशा एक (1) होती है, चाहे वह कोई भी संख्या हो – पूर्ण संख्या, पूर्णांक, परिमेय संख्या या अपरिमेय संख्या।

गणितीय प्रॉब्लम्स को हल करते समय आपने एक्सप्रेशन $2^{0}$ को 1 के रूप में प्रयोग किया होगा। लेकिन क्या आप जानते हैं कि $2^{0}$ = 1 क्यों होता है?

2 की पॉवर 0 1 क्यों होती है?

ऐसे कई तरीके हैं जिनसे हम यह साबित कर सकते हैं कि कोई भी संख्या 0 से घात करने पर 1 होती है। आइए कुछ ऐसे तरीकों पर नज़र डालते हैं जहाँ आप $a^{0}$ = 1 को प्रदर्शित या सिद्ध कर सकते हैं।

विधि 1

किसी भी संख्या को स्वयं से विभाजित करने पर 1 प्राप्त होता है, अर्थात्, $a\div a = 1$.

उदाहरण के लिए $5\div 5 = 1$, $129\div 129 = 1$, $\frac{3}{2}\div\frac{3}{2} = 1$, …

चलिए इस से शुरू करते हैं a÷a = 1

$=>\frac {a}{a} = 1 =>\frac {a^{1}}{a^{1}} = 1 $ (क्योंकि, $a^{1} = a$)

अब, विभाजन के लिए घातांक के नियम को याद करें $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} $

तो, $\frac {a^{1}}{a^{1}}$ बनता है $a^{1 – 1} = a^{0}$

और इसलिए, $a^{0} = 1$.

विधि 2

आइए अवरोही क्रम में 3 की पावर्स के अनुक्रम को देखें

$3^{6} = 729$, $3^{5} = 243$, $3^{4} = 81$, $3^{3} = 27$, $3^{2} = 9$, $3^{1} = 3$

क्या आपने संख्याओं के उपरोक्त क्रम में एक पैटर्न देखा?

$3^{5} = 243 = 729 \div 3$

$3^{4} = 81 = 243 \div 3$

$3^{3} = 27 = 81 \div 3$

$3^{2} = 9 = 27 \div 3$

$3^{1} = 3 = 9 \div 3$

पैटर्न इस प्रकार है

• पॉवर 1 से घट रही है
• दाहिने हाथ की संख्या को 3से विभाजित करके प्राप्त हो रही है

पैटर्न का अनुसरण करते हुए, अगली संख्या होगी

$3^{1-1} = 3^{0} = 3\div 3 = 1$

तो, हम फिर से देखते हैं कि $3^{0} = 1$, या सामान्य तौर पर $a^{0} = 1$.

विधि 3

इस विधि में आप घातांक के गुणन नियम का उपयोग करके $a^{0} = 1$ को निकाल सकते हैं।

घातांक के गुणन नियम के अनुसार $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$.

उदाहरण के लिए $a^{3} \times a^{4} = \left( a \times a \times a \right) \times \left(a \times a \times a \times a \right) = \left(a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \right) = a^{7}$

या, $a^{6} \times a^{2} = (a \times a \times a \times a \times a \times a) \times (a \times a) = (a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a) = a^{8}$

क्या आपने यहां शॉर्टकट देखा?

$\left(a × a × a × a × a × a … m \ times \right) × \left(a × a … n \ times \right) = \left(a × a × a × a × a × a × a × a … \left(m + n \right) \ times \right)$

अर्थात, $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$

अब, निम्नलिखित दो मामलों में से किसी एक को देखें:

केस 1: $m = 0$

जब $m = 0, a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ बनता है $a^{0} \times a^{n} = a^{0 + n} => a^{0} \times a^{n} = a^{n} $

$=> 1 \times a^{n} = a^{n} $ (चूंकि, किसी संख्या का दूसरी संख्या से गुणा करने पर वह गुणनफल वही होगा जब दूसरी संख्या 1 हो)।

$=>a^{0} = 1$

केस 2: $n = 0$

जब $n = 0, a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} $ बनता है $a^{m} \times a^{0} = a^{m + 0} => a^{m} \times a^{0} = a^{m}$

$=>a^{m} \times 1 = a^{m}$ (चूंकि, किसी संख्या का दूसरी संख्या से गुणा करने पर वह गुणनफल वही होगा जब दूसरी संख्या 1 हो)।

$=>a^{0} = 1$.

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. मान ज्ञात कीजिये
   1. $\left(2^{5} \right)^{0}$
   2. $\left(2^{0} \right)^{5}$
   3. $\left(3^{-6} \right)^{0}$
   4. $\left(3^{0} \right)^{-6}$
   5. $\left( \frac {1}{5^{0}}\right)^{0}$
2. हल कीजिये
   1. $2^{1 – 0} \times 2^{0 – 1} \times 2^{1} \times 2^{0} $
   2. $\frac{5^{2} \times 5^{-2} \times 5^{2 + 2} \times 5^0}{3^{-3} \times 3^{-3 + 3} \times 3^{0} \times 3^{3}} $

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