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2 अद्भुत अवधारणाएं – व्यवस्था और चयन

व्यवस्था और चयन

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यह लेख “2 अद्भुत अवधारणाएँ – व्यवस्थाएँ और चयन” गणित के दो महत्वपूर्ण विषयों – क्रमचय और संयोजन के बारे में है। इन विषयों पर आगे बढ़ने से पहले, आइए सबसे पहले एक और संबद्ध शब्द – फ़ैक्टोरियल पर एक नज़र डालें।

एक संख्या का फ़ैक्टोरियल

एक संपूर्ण संख्या n का फ़ैक्टोरियल, n के रूप में लिखा गया है! ‘की गणना n से गुणा करने पर सभी संख्याओं से कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, 4 का फ़ैक्टोरियल (4 के रूप में लिखा गया है) 24 है, क्योंकि 4 × 3 × 2 × 1 = 24।

फ़ैक्टोरियल का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जाता है कि एन ऑब्जेक्ट्स को व्यवस्थित करने के कितने संभावित तरीके हैं।

उदाहरण के लिए, यदि 3 अक्षर (A, B, और C) हैं, तो उन्हें ABC, ACB, BAC, BCA, CAB और CBA के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है।

इसे इस प्रकार समझाया जा सकता है:

3 अक्षरों को फिट करने के लिए स्थानों को ___ ___ ___ के रूप में दर्शाया जा सकता है

पहला अक्षर A को 3 स्थानों में से किसी एक पर रखा जा सकता है: A ___ ___ या ___ A ___ या ___ ___ A

दूसरे अक्षर B को 2 शेष स्थानों में से किसी एक पर रखा जा सकता है: A B ___ या A ___ B या B A ____ या ____ A B या B ___ A या ___ B A

तीसरा अक्षर C केवल 1 खाली जगह पर ही आ सकता है।

इसलिए, तरीकों की संख्या 3 ऑब्जेक्ट (इस मामले में पत्र) को व्यवस्थित किया जा सकता है = 3 × 2 × 1 = 6 = 3!

फ़ैक्टोरियल फंक्शन बहुत तेजी से बढ़ता है। 10! तरीके हैं। = 10 आइटम की व्यवस्था करने के लिए 3,628,800 तरीके हैं।

n! नकारात्मक संख्याओं और 0 के लिए परिभाषित नहीं है! = 1.

व्यवस्था और चयन

कई समस्याओं को हल करने में दो महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं, क्रमपरिवर्तन (व्यवस्था) और संयोजन (चयन)। पहले, आइए देखें कि इन दोनों शब्दों में क्या अंतर है।

आइए तीन वस्तुओं पर विचार करें – ए, बी और सी।

ऊपर दी गई तीन वस्तुओं में से आप दो वस्तुओं को कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं?

संभावित व्यवस्थाएँ AB, BA, AC, CA, BC और CB हो सकती हैं। 6 अलग-अलग तरीके हैं 2 वस्तुओं को दिए गए 3 वस्तुओं से व्यवस्थित किया जा सकता है। (ध्यान दें कि AB और BA भिन्न हैं जैसे AB, A पहले आता है और BA, B पहले आता है। CA और AC और CB & BC के लिए भी यही सच है)।

एक क्रमपरिवर्तन दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं की एक व्यवस्था है और इसे nPr या P (n, r) द्वारा निरूपित किया जाता है। दिए गए n ऑब्जेक्ट्स से r ऑब्जेक्ट्स के क्रमांकन का मूल्यांकन P (n, r) = n! / (N – r) फॉर्मूला का उपयोग करके किया जाता है।

उपरोक्त मामले में, n = 3 और r = 2, P (n, r) = P (3, 2) = 3! / (3 – 2)! = 3! / 1 = (3 × 2 × 1) / 1 = 6।

अब, आइए देखें कि इन तीनों वस्तुओं में से दो वस्तुओं को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

संभावित चयन एबी, एसी और बीसी होंगे। 3 अलग-अलग तरीके हैं 2 ऑब्जेक्ट्स को दिए गए 3 ऑब्जेक्ट्स में से चुना जा सकता है। (ध्यान दें कि बीए एबी के समान है, क्योंकि बीए और एबी दोनों का मतलब ए और बी का चयन करना है। सीए और एसी और सीबी और बीसी के लिए भी यही सच है)।

एक संयोजन दिए गए n ऑब्जेक्ट से r ऑब्जेक्ट का चयन है और इसे nCr या C (n, r) द्वारा दर्शाया जाता है। दिए गए n ऑब्जेक्ट से r ऑब्जेक्ट के संयोजन का मूल्यांकन C (n, r) = n! सूत्र के उपयोग से किया जाता है।[r!(n – r)!]

उपरोक्त मामले में, n = 3 और r = 2, C (n, r) = C (3, 2) = [3!/2!(3 – 2)!] = [3!/(2!)1!]= (3 × 2 × 1) / ((2 × 1) × 1) = 3।

क्रमपरिवर्तन और संयोजन के बीच अंतर

निम्नलिखित उदाहरण क्रमपरिवर्तन और संयोजन के बीच अंतर को दर्शाते हैं।

क्रमचयसंयोजन
एक रेस्तरां में एक मेनू में व्यंजनों की व्यवस्था।एक रेस्तरां में एक मेनू से व्यंजनों का चयन।
एक गुलदस्ते में फूलों की व्यवस्था।फूलों का एक गुच्छे से फूलों का चयन।
एक पंक्ति में टीम के खिलाड़ियों की व्यवस्था।खिलाड़ियों के एक समूह से टीम के खिलाड़ियों का चयन।
क्रमचय और संयोजन

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। 20 खिलाड़ी हैं और चयनकर्ता इन 20 तरीकों से 11 खिलाड़ियों का चयन करना चाहते हैं। 11 खिलाड़ियों की कितनी अलग-अलग टीमें बनाई जा सकती हैं? यहाँ n = 20 और r = 11। चूंकि चयनकर्ता खिलाड़ियों का चयन करना चाहते हैं, इसलिए, हम संयोजन का उपयोग करेंगे।

गठित होने वाली अलग-अलग टीमों की संख्या = C (20, 11) = 20! / (11! × (20 – 11)!) = 20!/ (11! × 9!)

= (20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11!)/(11! × 9!)

= (20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12)/(9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

= 167,960

अब हम जानना चाहते हैं कि ये 11 खिलाड़ी कितने तरीकों से एक लाइन में खड़े हो सकते हैं। इस मामले में, हम क्रमपरिवर्तन का उपयोग करेंगे, क्योंकि हम चाहते हैं कि खिलाड़ियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाए। यहाँ n = 11 और r = 11 (चूंकि सभी 11 खिलाड़ियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाना है)। विभिन्न रेखाएँ (व्यवस्थाएँ) जो बनाई जा सकती हैं वे हैं P(11, 11) = 11!/(11 – 11)! = 11!/0! = 11! (0! = 1) = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 39,916,800।

कठिन गणित की पहेलियों को हल करने में क्रमपरिवर्तन और संयोजन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यहाँ क्रमचय और संयोजन पर कुछ वास्तविक दुनिया की समस्याओं का पता लगाएं:

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