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समिश्र संख्या एक वास्तविक संख्या और एक अवास्तविक संख्या का संयोजन है। यह $a + ib$ के रूप में होता है और आमतौर पर $z$ द्वारा दर्शाया जाता है। दो या दो से अधिक समिश्र संख्याओं को जोड़ते समय समिश्र संख्या के वास्तविक और अवास्तविक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है। इसी प्रकार समिश्र संख्याओं के घटाव के लिए वास्तविक और अवास्तविक भागों को अलग-अलग घटाया जाता है।
समिश्र संख्याओं का जोड़
दो या दो से अधिक समिश्र संख्याओं को जोड़ते समय आप समिश्र संख्याओं के वास्तविक भागों को अलग-अलग जोड़ते हैं और इसी प्रकार समिश्र संख्याओं के अवास्तविक भागों को अलग-अलग जोड़ते हैं।
दो समिश्र संख्याओं $z_{1} = a + ib$ और $z_{2} = c + id$ को जोड़ने के लिए प्रयुक्त सूत्र है
$z_{1} + z_{2} = \left(a + ib \right) + \left(c + id \right) = \left(a + c \right) + \left(ib + id \right) = \left(a + c \right) + i\left(b + d \right) $।
इसलिए $\left(a + ib \right) + \left(c + id \right) = \left(a + c \right) + i\left(b + d \right)$ है।
समिश्र संख्याओं को जोड़ने के स्टैप्स
समिश्र संख्याओं को जोड़ने के स्टैप्स नीचे दिए गए हैं:
स्टैप 1: समिश्र संख्याओं के वास्तविक और अवास्तविक भागों को अलग करें
स्टैप 2: समिश्र संख्याओं के वास्तविक भागों को जोड़ें
स्टैप 3: समिश्र संख्याओं के अवास्तविक भागों को जोड़ें
स्टैप 4: अंतिम उत्तर $a + ib$ प्रारूप में लिखें
उदाहरण
आइए समिश्र संख्याओं को जोड़ने की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
Ex 1: $2 + 3i$ और $5 + 4i$ जोड़ें।
यहां, $z_{1} = 2 + 3i$ और $z_{2} = 5 + 4i$
दो समिश्र संख्याओं के वास्तविक भाग $2$ और $5$ हैं और दो समिश्र संख्याओं के अवास्तविक भाग $3i$ और $i$ हैं।
वास्तविक भागों को जोड़ने पर हमें $2 + 5 = 7$ मिलता है और अवास्तविक भागों को जोड़ने पर हमें $3i + 4i = 7i$ मिलता है।
इसलिए, $\left(2 + 3i \right) + \left(5 + 4i \right) = 7 + 7i$।
Ex 2: $4 + 9i$ और $2 + 3i$ जोड़ें।
दो समिश्र संख्याएँ $z_{1} = a + ib = 4 + 9i$ और $z_{2} = c + id = 2 + 3i$ हैं।
तो, $a = 4$, $b = 9$, $c = 2$, और $d = 3$
सूत्र के अनुसार, $\left(a + ib \right) + \left(c + id \right) = \left(a + c \right) + i\left(b + d \right)$
इसलिए, $\left(4 + 9i \right) + \left(2 + 3i \right) = \left(4 + 2 \right) + i \left(9 + 3\right) = 6 + 12i$।
Ex 3: $-2 + 7i$ और $6 – 5i$ जोड़ें।
$\left(-2 + 7i \right) + \left(6 – 5i \right) = \left(-2 + 6 \right) + \left(7 + \left(-5 \right) \right)i = 4 + 2i$।
समिश्र संख्याओं के जोड़ के गुण
समिश्र संख्याओं के जोड़ के गुण निम्नलिखित हैं:
- संवरक गुण: समिश्र संख्याओं का योग भी एक समिश्र संख्या होती है। इसलिए, यह संवरक गुण रखता है।
- क्रमचय गुण: समिश्र संख्याओं का योग क्रमचय होता है।
- साहचर्य गुण: समिश्र संख्याओं का योग साहचर्य है।
- योगात्मक तत्समक: $0$ समिश्र संख्याओं का योगात्मक तत्समक है, अर्थात, एक समिश्र संख्या $z$ के लिए, हमारे पास $z + 0 = 0 + z = z$ है।
- योगात्मक प्रतिलोम: एक समिश्र संख्या $z$ के लिए, समिश्र संख्याओं में योगात्मक प्रतिलोम $-z$ है, अर्थात $z + \left(-z \right) = 0$।
समिश्र संख्याओं का घटाव
दो या दो से अधिक समिश्र संख्याओं को घटाते समय आप समिश्र संख्याओं के वास्तविक भागों को अलग-अलग घटाते हैं और इसी प्रकार समिश्र संख्याओं के अवास्तविक भागों को अलग-अलग घटाते हैं।
दो समिश्र संख्याओं $z_{1} = a + ib$ और $z_{2} = c + id$ को घटाने के लिए प्रयुक्त सूत्र है
$z_{1} – z_{2} = \left (a + ib \right) – \left (c + id \right) = \left (a – c \right) + \left (ib – id \right) ) = \left (a – c \right) + i \left (b – d \right) $।
इसलिए $\left(a + ib \right) – \left(c + id \right) = \left(a – c \right) + i\left(b – d \right)$ है।
समिश्र संख्याओं को घटाने के स्टैप्स
समिश्र संख्याओं को घटाने के स्टैप्स नीचे दिए गए हैं:
स्टैप 1: समिश्र संख्याओं के वास्तविक और अवास्तविक भागों को अलग करें
स्टैप 2: समिश्र संख्याओं के वास्तविक भागों को घटाएं
स्टैप 3: समिश्र संख्याओं के अवास्तविक भागों को घटाएं
स्टैप 4: अंतिम उत्तर $a + ib$ प्रारूप में लिखें
उदाहरण
आइए समिश्र संख्याओं के घटाव की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
Ex 1: $7 + 11i$ से $3 + 2i$ घटाएं।
यहां, $z_{1} = 3 + 2i$ और $z_{2} = 7 + 11i$
दो समिश्र संख्याओं के वास्तविक भाग $3$ और $7$ हैं और दो सम्मिश्र संख्याओं के असमिश्र भाग $2i$ और $11i$ हैं।
वास्तविक भागों को घटाने पर हमें $7 – 3 = 4$ मिलता है और अवास्तविक भागों को जोड़ने पर हमें $11i – 2i = 9i$ मिलता है।
इसलिए, $\left(7 + 11i \right) – \left(3 + 2i \right) = 4 + 9i$।
Ex 2: $9 + 14i$ से $3 + 5i$ घटाएं।
दो समिश्र संख्याएँ $z_{1} = a + ib = 3 + 5i$ और $z_{2} = c + id = 9 + 14i$ हैं।
तो, $a = 3$, $b = 5$, $c = 9$, और $d = 14$
सूत्र के अनुसार, $\left(c + id \right) – \left(a + ib \right) = \left(c – a \right) + i\left(d – b \right)$
इसलिए, $\left(9 + 14i \right) – \left(3 + 5i \right) = \left(9 – 3 \right) + i \left(14 – 5 \right) = 6 + 9i$।
Ex 3: $7 + 3i$ को $4 – 2i$ से घटाएँ।
$\left(4 – 2i \right) – \left(7 + 3i \right) = \left(4 – 7 \right) + \left(3 – \left(-2 \right) \right)i = 3 + 5i$।
समिश्र संख्याओं के घटाव के गुण
समिश्र संख्याओं के घटाव के गुण निम्नलिखित हैं:
- संवरक गुण:समिश्र के बीच का अंतर भी एक समिश्र संख्या होती है। इसलिए, यह संवरक गुण रखता है।
- क्रमचय गुण: समिश्र संख्याओं का घटाव क्रमचय नहीं है।
- साहचर्य गुण: समिश्र संख्याओं का घटाव साहचर्य नहीं है।
निष्कर्ष
दो समिश्र संख्याओं का जोड़ और घटाव दो द्विपद व्यंजकों के जोड़ और घटाव के समान ही होता है, जहाँ वास्तविक भागों और अवास्तविक भागों को अलग-अलग जोड़ा या घटाया जाता है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित समिश्र संख्याएँ जोड़ें
- $z_{1} = 6 + 3i$ and $z_{2} = 9 + 2i$
- $z_{1} = 2 + 5i$ and $z_{2} = 3 + 4i$
- $z_{1} = -5 + 7i$ and $z_{2} = 7 – i$
- $z_{1} = 12 – 8i$ and $z_{2} = -19 + 5i$
- $z_{1} = -4 + 7i$ and $z_{2} = -10 – 8i$
- पहली समिश्र संख्या को दूसरी समिश्र संख्या से घटाएँ
- $z_{1} = 1 + 2i$ and $z_{2} = 7 + 5i$
- $z_{1} = 11 + 19i$ and $z_{2} = 8 + 3i$
- $z_{1} = -4 + 5i$ and $z_{2} = 8 + 2i$
- $z_{1} = 5 + 8i$ and $z_{2} = 3 – 3i$
- $z_{1} = -2 – 6i$ and $z_{2} = 8 + 19i$
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आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
समिश्र संख्याओं को जोड़ना क्या है?
समिश्र संख्याओं के जोड़ की संक्रिया करते समय आप समिश्र संख्याओं के वास्तविक भागों और अवास्तविक भागों को अलग-अलग जोड़ते हैं।
समिश्र संख्याओं को घटाना क्या है?
समिश्र संख्याओं के घटाव की संक्रिया करते समय आप समिश्र संख्याओं के वास्तविक भागों और अवास्तविक भागों को अलग-अलग घटाते हैं।
आप समिश्र संख्याओं को कैसे जोड़ते और घटाते हैं?
दो समिश्र संख्याओं का जोड़ और घटाव द्विपद व्यंजकों के जोड़ और घटाव के समान होता है। आप दो समिश्र संख्याओं के मामले में वास्तविक और अवास्तविक भागों को अलग-अलग घटाते हैं।
समिश्र संख्याओं को जोड़ने और घटाने के क्या गुण हैं?
समिश्र संख्याओं के योग में निम्नलिखित गुण होते हैं
a) संवरक गुण
b) क्रमचय गुण
c) साहचर्य गुण
d) योगात्मक तत्समक गुण
e) योगात्मक प्रतिलोम गुण
समिश्र संख्याओं के घटाव में निम्नलिखित गुण होते हैं:
a) संवरक गुण
b) क्रमचय गुण नहीं
c) साहचर्य गुण नहीं
समिश्र संख्याओं के जोड़ और घटाव के सूत्र क्या हैं?
दो समिश्र संख्याओं के लिए $z_{1} = a + ib$ और $z_{2} = c + id$
a) जोड़ का सूत्र $\left(a + ib \right) + \left(c + id \right) = \left(a + c \right) + i\left(b + d \right)$ है।
b) घटाव का सूत्र $\left(a + ib \right) – \left(c + id \right) = \left(a – c \right) + i\left(b – d \right)$ है।