सिंथेटिक डिवीजन (चरणों और उदाहरणों के साथ)

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एक बहुपद को दूसरे से विभाजित करने के कई तरीके हैं। इसे करने का सबसे बुनियादी तरीका लंबे विभाजन का उपयोग करना है। लेकिन लॉन्ग डिवीज़न बहुत लंबा और समय लेने वाला होता है। विशेष रूप से उच्च डिग्री बहुपद (हायर ऑर्डर पोलीनोमिअल) के लिए, लंबे विभाजन को भागफल और शेष प्राप्त करने में काफी लंबा समय लगता है। सिंथेटिक डिवीजन आसान, तेज और बहुत सीधा है। अन्य पारंपरिक तरीकों की तुलना में यह छात्रों को बहुत समय बचाने में मदद करता है।

एक बहुपद (पोलीनोमिअल) क्या है?

बहुपद एक एल्जेब्रिक एक्सप्रेशन है जो दो या दो से अधिक पदों को घटाया, जोड़ा या गुणा किया जाता है। एक बहुपद में गुणांक, चर, घातांक, कांस्टेंट और ऑपरेटर्स जैसे जोड़ और घटाव शामिल हो सकते हैं।

यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक बहुपद में भिन्नात्मक (फ्रैक्शनल) या ऋणात्मक (नेगेटिव) घातांक (पॉवर्स) नहीं हो सकते हैं।

बहुपदों के उदाहरण हैं: 4y² – 2y + 7, -2x³ + 2x² – 7x + 8, (¾)x2 – 7x + 3 आदि। संख्याओं की तरह, बहुपद जोड़, घटाव, गुणा और भाग कर सकते हैं।

बीजीय व्यंजकों के उदाहरण जो बहुपद नहीं हैं, वे हैं: 5x^4/5 + 7x + 3, 2x^-2 + 7x – 3।

बहुपदों का विभाजन

बहुपदों को विभाजित करना एक परिमेय संख्या (रैशनल नंबर) को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है जो एक बहुपद को एक मोनोमियल या किसी अन्य बहुपद से विभाजित करता है। भाजक और लाभांश को ठीक उसी तरह रखा जाता है जैसे हम नियमित विभाजन के लिए करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमें 6x² – 5x + 18 को 3x + 7 से भाग देना है, तो हम इसे इस प्रकार लिखते हैं

बार के ऊपर लिखा गया बहुपद (6x² – 5x + 18) अंश (न्यूमरेटर) है, जबकि बार के नीचे लिखा गया बहुपद (3x + 7) हर (डिनोमिनेटर) है। इसे निम्न डायग्राम से समझा जा सकता है जो दर्शाता है कि अंश भाज्य बन जाता है और हर भाजक बन जाता है।:

सिंथेटिक डिवीजन क्या है?

सिंथेटिक विभाजन एक बहुपद को एक रैखिक बहुपद (लीनियर पोलीनोमिअल, डिग्री 1 का बहुपद) से विभाजित करने की एक शॉर्टकट विधि है। यह बहुपदों के शून्यक (ज़ीरो ऑफ़ अ पोलीनोमिअल) ज्ञात करने का एक सरल तरीका है।

पारंपरिक लंबी विधि की तुलना में इस पद्धति का उपयोग करने का एक लाभ यह है कि सिंथेटिक विभाजन कम प्रयास के साथ मैन्युअल रूप से किया जाता है। चूंकि सिंथेटिक डिवीजन किसी को बहुपद विभाजन करते समय चरों को लिखे बिना गणना करने की अनुमति देता है, यह गलतियाँ करने की संभावना को कम करता है (जो छात्र एक लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके किसी समस्या को हल करते समय करते हैं)।

संश्लिष्ट विभाजन में, (x – a) रूप के एक रैखिक द्विपद (लीनियर बाइनोमिअल) का उपयोग भाजक के रूप में किया जाता है। जब हम घात n वाले बहुपद P(x) को रैखिक बहुपद (x – a) से भाग देते हैं, तो हमें घात (n-1) का एक बहुपद भागफल Q(x) और शेषफल के रूप में एक स्थिर बहुपद R प्राप्त होता है।

गणितीय रूप से इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

P(x)/(x – a) = Q(x) + R/(x – a)

जहाँ P(x) घात n का एक बहुपद है

(x – a) घात 1 का द्विपद है

Q(x) घात (n-1) का एक बहुपद है।

R एक अचर बहुपद है, अर्थात बिना चर वाली एक संख्या

इसलिए, हम शेषफल को शीघ्रता से ज्ञात करने के लिए सिंथेटिक डिवीज़न विधि का उपयोग कर सकते हैं।

सिंथेटिक डिवीजन करने के लिए स्टैप्स

घात n और द्विपद (x – a) वाले बहुपद P(x) पर सिंथेटिक डिवीज़न करने के लिए निम्नलिखित चरण अपनाए जाते हैं:

स्टैप 1: भाजक के लिए a लिखें।

स्टैप 2: लाभांश (डिविडेंड) के गुणांक (कोएफ़िशिएंट्स) लिखें।

स्टैप 3: लीडिंग केफीसिएंट को नीचे लाएं।

स्टैप 4: लीडिंग केफीसिएंट को a से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें।

स्टैप 5: दूसरे कॉलम की टर्म्स जोड़ें।

स्टैप 6: परिणाम को a से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें।

स्टैप 7: शेष कौलमंस के लिए स्टैप्स 5 और 6 दोहराएँ।

स्टैप 8: भागफल लिखने के लिए नीचे की संख्याओं का प्रयोग करें। अंतिम कॉलम में संख्या शेष है और इसमें डिग्री 0 है, दाईं ओर से अगली संख्या में डिग्री 1 है, दाईं ओर की अगली संख्या में डिग्री 2 है, और इसी तरह।

उदाहरण

आइए प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

Example 1

(-3x³ + 19x² – 30x + 15) को (x – 4) से भाग दें

नोट: (x – 4) एक रैखिक बहुपद (डिग्री 1) है, इसलिए सिंथेटिक विभाजन एक उपयुक्त केस है।

स्टैप 1: P(x) = (-3x³ + 19x² – 30x + 15)

(x – a) = (x – 4) => a = 4
स्टैप 2: -3x³ + 19x² – 30x + 15 के गुणांक हैं -3, 19, -30 और 15

अगली पंक्ति में a लिखें

अब, एक क्षैतिज रेखा खींचें

स्टैप 3: अग्रणी गुणांक (लीडिंग कोएफ़िशिएंट) -3 है और नीचे लाएं

स्टैप 4: अग्रणी गुणांक -3 को a(= 4) से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें

स्टैप 5: दूसरे कॉलम की टर्म्स जोड़ें।

स्टैप 6: परिणाम को a(4) से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें।

स्टैप 7: शेष कौलमंस के लिए स्टैप्स 5 और 6 दोहराएँ, अर्थात्, उत्तरोत्तर जोड़ और गुणा करें।

उत्तर:

सबसे दाहिनी संख्या, अर्थात्, 7 शेषफल है

अब, शेष संख्याओं (-3, 7 और -2) के लिए दाएं से शुरू करें:

-2 के लिए चर x की घात 0 है, अर्थात x⁰

-7 के लिए चर x की घात 1 है, अर्थात x¹ 

3 के लिए चर x की घात 2 है, अर्थात x²

इसलिए, भागफल Q(x) = -3×2 + 7x – 2 और शेष R = 7

आइए परिणाम की जांच करें।

विभाजन एल्गोरिथ्म को याद करें: लाभांश = (भाजक × भागफल) + शेष।

भाजक = (x – 4)

भागफल = (-3x² + 7x – 2)

शेष = 7

(भाजक × भागफल) + शेष = (x – 4) × (-3x² + 7x – 2) + 7

= x × (-3x² + 7x – 2) + (-4) × (-3x² + 7x – 2) + 7

= (x × (-3x²)+ x × 7x + x × (- 2)) + (-4 × (-3x²) + (-4) × 7x + (-4) × (- 2)) + 7

= (-3x³ + 7x² – 2x + 12x² – 28x + 8) + 7

= -3x³ + 19x² – 30x + 8 + 7= -3×3 + 19×2 – 30x + 15 वही बहुपद है जिसे हमने (x – 4) से विभाजित किया।

उदाहरण 2

आइए अब थोड़े उच्च डिग्री बहुपद को विभाजित करें

(x⁶ + x⁵ + x⁴ + 22x³ + 8x² + 14x + 2) को (x + 3) से भाग दें।

स्टैप 1: P(x) = (x⁶ + x⁵ + x⁴ + 22x³ + 8x² + 14x + 2)

(x – a) = (x + 3) => a = -3

स्टैप 2: x⁶ + x⁵ + x⁴ + 22x³ + 8x² + 14x + 2 के गुणांक 1, 1, 1, 22, 8, 14 और 2 हैं।

अगली पंक्ति में a लिखें

अब, एक क्षैतिज रेखा खींचें

स्टैप 3: लीडिंग कोएफ़िशिएंट 1 है और नीचे लाया जाता है

स्टैप 4: लीडिंग कोएफ़िशिएंट 1 को a(= -3) से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें

स्टैप 5: दूसरे कॉलम की टर्म्स जोड़ें।

स्टैप 6: परिणाम को a(-3) से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें।

स्टैप 7: शेष कौलमंस के लिए चरण 5 और 6 दोहराएँ, अर्थात्, उत्तरोत्तर जोड़ और गुणा करें।

यह प्रक्रिया पूरी करता है और भागफल x⁵ – 2x⁴ + 7x³ + x² + 5x – 1 है और शेषफल 5 है।

जांच: (x + 3) × (x⁵ – 2x⁴ + 7x³ + x² + 5x – 1) + 5 = x⁶ + x⁵ + x⁴ + 22x³ + 8x² + 14x + 2

उदाहरण 3

(x⁴ – 6) को (x + 1) से भाग दें

यहाँ आप देख सकते हैं कि x³, x² और x के पद नहीं हैं। ऐसे सभी मामलों में, हम ऐसे पदों को गुणांक 0 के साथ जोड़ते हैं।

स्टैप 1: (x⁴ – 6) को (x⁴ + 0x³ + 0x² + x – 6) के रूप में लिखा जा सकता है।

और, (x + a) = (x + 1) => a = -1
स्टैप 2: x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x – 6 के गुणांक 1, 0, 0, 0 और -6 हैं।

अगली पंक्ति में a लिखें

अब, एक क्षैतिज रेखा खींचें

स्टैप 3: लीडिंग कोएफ़िशिएंट 1 है और नीचे लाया जाता है

स्टैप 4: लीडिंग कोएफ़िशिएंट 1 को a(= -1) से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें

स्टैप 5: दूसरे कॉलम की टर्म्स जोड़ें।

स्टैप 6: परिणाम को (-1) से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें।

स्टैप 7: शेष कौलमंस के लिए चरण 5 और 6 दोहराएँ, अर्थात्, उत्तरोत्तर जोड़ और गुणा करें।

यह प्रक्रिया पूरी होती है और भागफल x³ – x² + x – 1 है और शेषफल -5 है।

जांच: (x + 1) × (x³ – x² + x – 1) – 5

= x⁴ – x³ + x² – x + x³ – x² + x – 1 – 5

= x⁴ – 6

उदाहरण 4

(4x⁶ – 9x⁴ + 2x³ + 3x² – 8x – 12) को (2x + 3) से भाग दें।

स्टैप 1: (4x⁶ – 9x⁴ + 2x³ + 3x² – 8x – 12) को इस प्रकार लिखा जाता है (4x⁶ + 0x⁵ – 9x⁴ + 2x³ + 3x² – 8x – 12)।

(2x + 3) = 2(x + 3/2)

अब, फॉर्म (x + a) प्राप्त करने के लिए, हम 2 को 2 में अनदेखा करते हैं (x + 3/2)

और, (x + a) = (x + 3/2) => a = -3/2

स्टैप 2: 4x⁶ + 0x⁵ – 9x⁴ + 2x³ + 3x² – 8x – 12 के गुणांक 4, 0, -9, 2, 3, -8 और -12 हैं।

अगली पंक्ति में a लिखें

अब, एक क्षैतिज रेखा खींचें

स्टैप 3: अग्रणी गुणांक 4 है और नीचे लाएं

स्टैप 4: लीडिंग कोएफ़िशिएंट 1 को a(= -3/2) से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें

स्टैप 5: दूसरे कॉलम की टर्म्स जोड़ें।

स्टैप 6: परिणाम को a(-3/2) से गुणा करें। फल को अगले कॉलम में लिखें।

स्टैप 7: शेष कौलमंस के लिए स्टैप्स 5 और 6 दोहराएँ, अर्थात्, उत्तरोत्तर जोड़ और गुणा करें।

यह प्रक्रिया पूरी होती है और भागफल 4x⁵ – 6x⁴ + 2x² – 8 है और शेषफल 0 है।

चूँकि, शुरुआत में हमने 2 में 2(x + 3/2) को नज़रअंदाज़ किया था,

तो यहाँ भी, परिणाम 4x⁵ – 6x⁴ + 2x² – 8 में 2 को अनदेखा करें 

= 2(2x⁵ – 3x⁴ + x² – 4)

तो, भागफल 2x⁵ – 3x⁴ + x² – 4 है और शेषफल 0 है

जांच: (2x + 3) × (2x⁵ – 3x⁴ + x² – 4) = 4x⁶ – 6x⁵ + 2x³ – 8x + 6x⁵ – 9x⁴ + 3x² – 12

= 4x⁶ – 9x⁴ + 2x³ + 3x² – 8x – 12

सिंथेटिक डिवीजन के लाभ और सीमाएं

सिंथेटिक डिवीज़न विधि का उपयोग करने के लाभ हैं:

• गणना चर के बिना की जा सकती है
• इसके लिए केवल कुछ गणना चरणों की आवश्यकता है
• बहुपद लंबी विभाजन विधि के विपरीत, घटाव को शामिल करने वाला कोई चरण नहीं है और इसलिए यह विधि कम त्रुटि-प्रवण है।

सिंथेटिक विभाजन विधि की एकमात्र सीमा यह है कि यह केवल तभी लागू होता है जब भाजक एक रैखिक बहुपद (डिग्री 1 का बहुपद) हो।

निष्कर्ष

हमें उम्मीद है कि आपने बहुपदों का सिंथेटिक विभाजन कैसे करें, इस पर हमारी पोस्ट का आनंद लिया। बहुपदों को विभाजित करने के कई तरीके हैं, लेकिन सिंथेटिक विभाजन सबसे तेज़ और याद रखने में आसान है।

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