साहचर्य गुण – अर्थ और उदाहरण

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गणित में, साहचर्य गुण संख्याओं के मूल गुणों में से एक है और यह गणितीय व्यंजकों को सरल बनाने में आपकी सहायता करता है।

साहचर्य शब्द सुनते ही आपके मस्तिष्क  में क्या आता है? सहयोगी का अर्थ है जुड़ना या समूह बनाना। उसी प्रकार, साहचर्य गुण हमें उन शब्दों को समूहबद्ध करने की अनुमति देती है जो विभिन्न विधियों से जोड़ या गुणा से जुड़ते हैं। कोष्ठक का उपयोग पदों को समूहित करने के लिए किया जाता है, और वे संचालन के क्रम को स्थापित करते हैं। कोष्ठक के अंदर का कार्य हमेशा पहले किया जाता है।

साहचर्य गुण क्या होता है?

साहचर्य गुण बताता है कि किन्हीं तीन या अधिक संख्याओं का योग या गुणन उस विधि से प्रभावित नहीं होता है जिसमें संख्याओं को कोष्ठकों द्वारा समूहीकृत किया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि समान संख्याओं को जोड़ और गुणा के लिए अलग-अलग विधियों से समूहित किया जाता है, तो उनका परिणाम समान रहता है।

गणितीय रूप से इसे इस प्रकार कहा जा सकता है:

• यदि $A$, $B$, और $C$ कोई तीन संख्याएँ हैं तो,
• जोड़ के लिए: $\left(A + B \right) + C = A + \left(B + C \right)$
• गुणन के लिए: $\left (A \times B \right) \times C = A \times \left (B \times C \right) $

नोट 

• साहचर्य नियम जोड़ और गुणा पर लागू होता है
• साहचर्य नियम घटाव और भाग पर लागू नहीं होता है

जोड़ का साहचर्य गुण – योग का साहचर्य नियम

जोड़ का साहचर्य गुण बताता है कि $\left(A + B \right) + C = A + \left(B + C \right)$।

आइए इस उदाहरण से जोड़ के साहचर्य गुण को समझते हैं।

तीन संख्याओं $A = 5$, $B = 7$ और $C = 3$ को लेते हैं।

LHS $\left(5 + 7 \right) + 3 = 12 + 3 = 15$ हो जाता है।

और, RHS $5 + \left(7 + 3 \right) = 5 + 10 = 15$ है।

दोनों का परिणाम समान है ($=15$)।

$A = 18$, $B = 23$ और $C = 32$ लेकर एक और उदाहरण पर विचार करें।

LHS $\left(18 + 23 \right) + 32 = 41 + 32 = 73$ हो जाता है।

और, RHS $18 + \left(23 + 32 \right) = 18 + 55 = 73$ है।

इस सन्दर्भ में भी दोनों का परिणाम समान है ($=73$)।

इसलिए, जोड़ के साहचर्य गुण के आधार पर हम कह सकते हैं कि तीन या अधिक संख्याओं का जोड़ हमेशा वही रहता है, चाहे उन्हें हम संख्याओं को जोड़ने के लिए किसी भी प्रकार से समूहित करते हैं।

गुणन का साहचर्य गुण – गुणा का साहचर्य नियम

गुणन के साहचर्य गुण में कहा गया है कि $\left(A \times B \right) \times C = A \times \left(C \times C \right)$।

आइए इस उदाहरण से गुणन के साहचर्य गुण को समझते हैं।

तीन संख्याओं  $A = 3$, $B = 2$ और $C = 5$ पर विचार करें।

LHS $\left(3 \times 2 \right) \times 5 = 6 \times 5 = 30$ हो जाता है।

और, RHS $3 \times \left(2 \times 5 \right) = 3 \times 10 = 30$ है।

दोनों का परिणाम समान है ($=30$)।

$A = 12$, $B = 15$ और $C = 40$ लेकर एक और उदाहरण पर विचार करें।

LHS $\left(12 \times 15 \right) \times 40 = 180 \times 40 = 7200$ हो जाता है।

और, RHS $12 \times \left(15 \times 40 \right) = 12 \times 600 = 7200$ है।

इस संडारदभ में, दोनों का परिणाम भी समान है ($=7200$)।

इसलिए, गुणन के साहचर्य गुण के आधार पर हम कह सकते हैं कि तीन या अधिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा वही रहता है, चाहे जिस तरह से भी हम संख्याओं को गुणा करने के लिए समूहित करते हैं।

क्या साहचर्य गुण सभी श्रेणियों की संख्या पर लागू होता है?

दोनों रूपों में साहचर्य गुण – जोड़ का साहचर्य गुण और गुणन का साहचर्य गुण किसी भी वास्तविक संख्या के साथ अच्छी तरह से काम करता  है।

नोट: वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय, पूर्ण संख्याओं का समुच्चय, पूर्णांकों का समुच्चय, परिमेय संख्याओं का समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ

किन्हीं तीन पूर्ण संख्याओं $45$, $67$ और $13$ पर विचार करें।

जोड़

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left(A + B \right) + C = A + \left(B + C \right)$

$\left(45 + 67 \right) + 13 = 45 + \left(67 + 13 \right)$

$=>112 + 13 = 45 + 80 => 125 = 125$।

साथ ही, $\left(0 + 12 \right) + 19 = 0 + \left(12 + 19 \right)$

$=>12 + 19 = 0 + 31 => 31 = 31$।

गुणन

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left(A \times B \right) \times C = A \times \left (B \times C \right) $

$\left(45 \times 67 \right) \times 13 = 45 \times \left(67 \times 13 \right)$

$=>3015 \times 13 = 45 \times 871 => 39195 = 39195$।

साथ ही, $\left(0 \times 12 \right) \times 19 = 0 \times \left(12 \times 19 \right)$

$=>0 \times 19 = 0 \times 228 => 0 = 0$।

पूर्णांक

किन्हीं तीन पूर्णांकों $-11$, $B=+16$ और $C=-14$ को लें।

जोड़

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left(A + B \right) + C = A + \left(B + C \right)$

$\left(-11 + 16 \right) + \left(-14 \right) = -11 + \left(16 + \left(-14 \right) \right)$

$=> 5 + \left(-14 \right) = -11 + \left(16 – 14 \right)$

$=> 5 – 14 = -11 + 2$ $=>-9 = -9$

गुणन

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left (A \times B \right) \times C = A \times \left (B \times C \right) $

$\left(-11 \times 16 \right) \times \left(-14 \right) = -11 \times \left(16 \times \left(-14 \right) \right)$

$=> -176 \times \left(-14 \right) = -11 \times \left(-224 \right)$

$=> 2464 =2464$

दशमलव संख्याएँ

किन्हीं तीन दशमलव संख्याओं $A = 2.5$, $B = 5.6$ और $C = 0.8$ को लेते हैं। 

जोड़

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left(A + B \right) + C = A + \left(B + C \right)$

$\left(2.5 + 5.6 \right) + 0.8 = 2.5 + \left(5.6 + 0.8 \right)$

$=> 8.1 + 0.8 = 2.5 + 6.4 => 8.9 = 8.9$

गुणन

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left (A \times B \right) \times C = A \times \left (B \times C \right)$

$\left(2.5 \times 5.6 \right) \times 0.8 = 2.5 \times \left(5.6 \times 0.8 \right)$

$=>14 \times 0.8 = 2.5 \times 4.48 => 11.2 = 11.2$

भिन्न

किन्हीं तीन भिन्नों $A = \frac {1}{2}$, $B = \frac {2}{3}$ और $C = \frac {3}{4}$ पर विचार करें।

जोड़

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left(A + B \right) + C = A + \left(B + C \right)$ 

$\left(\frac {1}{2} + \frac {2}{3} \right) + \frac {3}{4} =  \frac {1}{2} + \left(\frac {2}{3} + \frac {3}{4} \right)$

$=> \frac{23}{12} = \frac{23}{12}$

गुणन

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left(A \times C \right) \times C = A \times \left (C \times C \right) $

$\left(\frac {1}{2} \times \frac {2}{3} \right) \times \frac {3}{4} =  \frac {1}{2} \times \left(\frac {2}{3} \times \frac {3}{4} \right)$

$=> \frac {1}{3} \times \frac {3}{4} =  \frac {1}{2} \times \frac {1}{2}$

$=> \frac {1}{4}=  \frac {1}{4}$

अपरिमेय संख्याएँ

किन्हीं तीन अपरिमेय संख्याओं $A = 2\sqrt{3}$, $B = 3\sqrt{2}$ और $C = 5\sqrt{2}$ को लेते हैं।

जोड़

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left(A + B \right) + C = A + \left(B + C \right)$

$\left(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} \right) + 5\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + \left(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \right)$

$=>2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + 8\sqrt{2}$

$=>2\sqrt{3} + 8\sqrt{2} = 2\sqrt{3} + 8\sqrt{2}$

गुणन

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $\left (A \times B \right) \times C = A \times \left (B \times C \right) $

$\left(2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} \right) \times 5\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \times \left(3\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \right)$

$=>6\sqrt{6} \times 5\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \times 30$

$=>30\sqrt{12} = 60\sqrt{3}$

$=>30\sqrt{4 \times 3} = 60\sqrt{3}$

$=>30\times 2 \sqrt{3} = 60\sqrt{3}$

$=>60\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$

क्या साहचर्य गुण घटाव और भाग के लिए वैद्य है?

आइए सत्यापित करें कि क्या साहचर्य गुण घटाव और भाग के लिए भी मान्य है, अर्थात,

• $\left(A – B \right) – C = A – \left(B – C \right)$
• $\left(A \div B \right) \div C = A \div \left(B \div C \right)$

फिर से किन्हीं तीन संख्याओं $A = 5$, $B = -2$ और $C = 0.5$  पर विचार करें

घटाव

LHS = $\left(5 – \left(-2 \right) \right) – 0.5 = 5 + 2 – 0.5 = 6.5$

RHS = $5 – \left(-2 – 0.5 \right) = 5 – \left(-2.5 \right) = 5 + 2.5 = 7.5$

चूंकि, LHS $\ne$ RHS, इसलिए, साहचर्य गुण घटाव के लिए मान्य नहीं है।

भाग

LHS = $\left(5 \div \left(-2 \right) \right) \div 0.5 = -\frac {5}{2} \div 0.5 = -\frac {5}{2} \times \frac{10}{5} = -5$

RHS = $5 \div \left(-2\div 0.5 \right) = -5 \div \frac {2}{0.5} = -5 \times \frac {0.5}{2} = -5 \times \frac {5}{20} = -\frac {5}{4}$

चूंकि, LHS $\ne$ RHS, इसलिए, साहचर्य गुण भाग के लिए मान्य नहीं है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

संख्याओं के निम्नलिखित समुच्चयों के लिए जोड़ और गुणा के साहचर्य गुण की पुष्टि करें

• $A = 5$, $B = -7$, $C = 2$
• $A = \frac {2}{5}$, $B = -7$, $C = \frac{1}{3}$
• $A = 0.95$, $B = 1.5$, $C = -8.9$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न  

निष्कर्ष

साहचर्य गुण बताता है कि अंकगणितीय संक्रिया करने के क्रम के बावजूद परिणाम समान रहता है। यह केवल जोड़ और गुणा पर लागू होता है न कि घटाव और भाग के लिए।

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