सांत और असांत दशमलव (अर्थ, रूपांतरण और उदाहरण)

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दशमलव संख्याएँ पूर्ण संख्याओं और भिन्नों दोनों को निरूपित करने के तरीकों में से एक हैं। दशमलव संख्याओं में दो भाग होते हैं – पूर्ण भाग और दशमलव (भिन्नात्मक) भाग को दशमलव बिंदु ‘$.$’ से अलग किया जाता है।

दशमलव स्थानों की एक सीमित संख्या या दशमलव स्थानों की एक अनंत संख्या के आधार पर दशमलव को दो व्यापक श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है।

दशमलव स्थानों की एक सीमित संख्या वाले दशमलव को सांत दशमलव कहा जाता है और दशमलव स्थानों की एक अनंत संख्या वाले दशमलव को असांत दशमलव कहा जाता है।

असांत दशमलव को आगे दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है – आवर्ती दशमलव या अनावर्ती दशमलव इस पर निर्भर करता है कि दशमलव बिंदु के बाद के अंक एक निश्चित पैटर्न में दोहराते हैं या नहीं।  

सांत दशमलव क्या है?

सांत दशमलव वे संख्याएँ हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक निश्चित या परिमित संख्या होती है। दशमलव का उपयोग पूर्ण संख्या और भिन्न को एक साथ व्यक्त करने के लिए किया जाता है जो एक “$.$” यानि दशमलव बिंदु के द्वारा एक दूसरे से अलग किये जाते हैं। उदाहरण के लिए, $3.6$, $3$ पूर्ण संख्या है और $6$ दशमलव भिन्न है।

सांत दशमलव संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं और इसलिए इन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक हैं और $q \ne 0$। उदाहरण के लिए, संख्या $3.6$ को $\frac {18}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है जो एक विषम भिन्न है जहां $18$ और $5$ दोनों पूर्णांक हैं, और, $5 \ne 0$। भिन्न $\frac {18}{5}$ को $3 \frac {3}{5}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है जो एक मिश्रित भिन्न है।

नोट: सांत दशमलव परिमेय संख्याएँ होती हैं और इन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है जो निम्नलिखित दो प्रकारों में से कोई भी हो सकता है।

• उचित भिन्न
• विषम भिन्न जिन्हें मिश्रित संख्या या मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

नोट: सभी प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक सांत दशमलव होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या $34$, $97$ या $-56$ को $34.0$, $97.0$ या $-56.0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

असांत दशमलव क्या हैं? 

असांत दशमलव वे संख्याएँ हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अनंत संख्याएं या अंकों की एक अनगिनत संख्या होती है। इन दशमलवों का उपयोग उन पूर्ण संख्याओं और भिन्नों को एक साथ व्यक्त करने के लिए भी किया जाता है जो एक दूसरे से “$.$” यानी एक दशमलव बिंदु लगाकर अलग हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, $7.454545…$, या $2.78654324573067…$। असांत दशमलव संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद अंक समाप्त नहीं होते हैं।

असांत दशमलव को आगे दो प्रकारों में विभाजित किया गया है।

• असांत परन्तु आवर्ती दशमलव संख्याएँ
• असांत और अनावर्ती दशमलव संख्याएँ

आवर्ती दशमलव क्या है?

आवर्ती दशमलव या असांत लेकिन आवर्ती दशमलव संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनमें दो भाग थोड़ी देर के भाग होते हैं और भिन्नात्मक भाग एक दशमलव बिंदु ‘$.$’ से अलग होते हैं और दशमलव स्थानों की संख्या अनंत होती है लेकिन एक निश्चित पैटर्न में दोहराई जाती है।

सभी असांत परन्तु आवर्ती दशमलव संख्याएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं और इन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

असांत परन्तु आवर्ती दशमलव के उदाहरण हैं $5.222222…$, $8.12121212…$, $-56.453453453…$।

$5.222222…$ के मामले में, अंक $2$ दोहरा रहा है और यह संख्या में अनंत बार प्रकट होता है या कभी समाप्त नहीं होता है। संख्या $5.222222…$ को $5\overline{2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। 

$8.121212121212…$ के मामले में, अंक $12$ दोहरा रहा है और यह अनंत बार दिखाई देते हैं या कभी समाप्त नहीं होते हैं। संख्या $8.121212121212…$ को $8\overline{12}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। 

इसी प्रकार, $-56.453453453…$ के मामले में, अंक $453$ दोहरा रहे हैं और यह अनंत बार दिखाई देते हैं या कभी समाप्त नहीं होते हैं। संख्या $-56.453453453…$ को $-56\overline{453}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

अनावर्ती दशमलव क्या है?

अनावर्ती दशमलव या असांत और अनावर्ती दशमलव संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनमें दो भाग होते हैं – पूर्ण  संख्या और भिन्नात्मक भाग जो एक दशमलव बिंदु ‘$.$’ से अलग होते हैं और दशमलव स्थानों की संख्या अनंत होती है और कभी भी दोहराई नहीं जाती है।

सभी असांत परन्तु अनावर्ती दशमलव संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ हैं, अर्थात, ये वे संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं और इन्हें $\frac {p{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

असांत और अनावर्ती दशमलव संख्याओं के उदाहरण $5.6754246089…$, $-3.8975630986…$ हैं।

नोट: $\pi = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971$ सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली असांत और अनावर्ती दशमलव संख्या है।

सांत दशमलव संख्याओं को भिन्न में बदलना

जैसा कि ऊपर कहा गया है, सांत दशमलव परिमेय संख्याएँ होती हैं और इसलिए इन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक सांत दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए निम्नलिखित चरणों का उपयोग किया जाता है।

स्टैप 1: दशमलव संख्या को अंश के रूप में लिखें लेकिन दशमलव बिंदु के बिना। उदाहरण के लिए, $7.8$ के लिए अंश $78$ होगा, और इसी प्रकार, $14.76$ के लिए अंश $1476$ होगा।

स्टैप 2: दशमलव स्थानों में अंकों की संख्या की गणना करें और दशमलव स्थानों की संख्या को घात के साथ, हर को $10$ की घात के रूप में लिखें। उदाहरण के लिए, $7.8$ में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या $1$ है, इसलिए हर $10$ होगा। और इसी तरह, $14.76$ में, दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या $2$ है, इसलिए हर $100$ होगा।

स्टैप 3: यदि आवश्यक हो तो भिन्न को सरलतम रूप में लिखें।

उदाहरण

Ex 1:  $15.8$ को भिन्न में बदलें।

अंश $158$ (दशमलव बिंदु के बिना दशमलव संख्या) होगा।

दशमलव स्थानों के बाद अंकों की संख्या = $1$।

इसलिए, हर 10^{1} = 10$ होगा।

और भिन्न $\frac {158}{10} = \frac {79}{5}$ है। (निम्नतम रूप में)

इसे मिश्रित भिन्न के रूप में $15 \frac {4}{5}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

Ex 2: $2.548$ को भिन्न में बदलें।

अंश $2548$ है (दशमलव बिंदु के बिना दशमलव संख्या)।

दशमलव स्थानों के बाद अंकों की संख्या = $3$।

इसलिए, हर 10^{3} = 1000$ है।

और भिन्न $\frac {2548}{1000} = \frac {637}{250}$ है। (निम्नतम रूप में)

इसे मिश्रित भिन्न के रूप में $2 \frac {137}{250}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

असांत परन्तु आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना

एक असांत परन्तु आवर्ती दशमलव संख्या को इसके बराबर परिमेय संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है

स्टैप 1: मान लो आवर्ती दशमलव किसी चर $x$ के बराबर है

स्टैप 2: बार का उपयोग किए बिना संख्या लिखें जो $x$ के बराबर है 

स्टैप 3: मिश्रित आवर्ती दशमलव के लिए अंकों की संख्या जिनके शीर्ष पर एक बार है या बार से पहले अंकों की संख्या निर्धारित करें

स्टैप 4: यदि दशमलव के बाद दोहराई जाने वाली संख्या समान अंक है जैसे $0.333333…$ तो $10$ से गुणा करें, यदि अंकों की पुनरावृत्ति दो संख्याओं के जोड़े में है जैसे $0.252525…$ तो $100$ से गुणा करें और इसी तरह $1000$, $10000$

स्टैप 5: चरण $2$ और चरण $4$ द्वारा गठित समीकरण को घटाएं

स्टैप 6: सरलतम रूप में $x$ का मान ज्ञात करें

उदाहरण

Ex 1: $0.222222… \left(= 0. \overline{2} \right)$ को एक परिमेय संख्या में बदलें

मान लीजिए $x = 0.222222…$ —————————————- (1)

चूँकि केवल $1$ अंक दोहराया गया है, दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें

$10 \times x = 10 \times 0.222222…$

$=> 10x = 2.222222…$ —————————————- (2)

(1) को (2) से घटाएं 

$9x = 2 => x = \frac {2}{9}$

$=> 0.222222… \left(= 0.\overline{2} \right) = \frac {2}{9}$ 

Ex 2: $1.343434… \left(= 1. \overline{34} \right)$ को एक परिमेय संख्या में बदलें

मान लीजिए $x = 1.343434…$ —————————————- (1)

चूँकि $2$ अंक दोहराए गए हैं, दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करेंगे 

$100 \times x = 100 \times 1.343434…$

$=> 100x = 134.343434…$ —————————————- (2)

(1) को (2) से घटाएं 

$99x = 133 => x = \frac {133}{99}$

$1.343434… \left(= 1. \overline{34} \right) = \frac {133}{99} = 1 \frac {34}{99}$

Ex 3: $6.27454545… = 6.27 \overline{45}$ को एक परिमेय संख्या में बदलें

मान लीजिए $x = $6.27454545…$ —————————– (1)

चूँकि $2$ संख्येन $2$ और $7$ दोहराई नहीं जाती हैं, इसलिए, दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें

$100 \times x = $100 \times 6.27454545…$ —————————– (1)

$=> 100x = 627.454545…$ ——————————————— ——–(2)

साथ ही, $2$ संख्याएँ $4$ और $5$ दोहराई जा रही हैं, इसलिए, दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करें

$100 \times 100x = 100 \times 627.454545…$

$=> 10000x = 62745.454545…$ ——————————————— -(3)

अब (2) को (3) से घटाएं

$9900x = 62118 => x = \frac {62118}{9900} = \frac {31059}{4950} = 6 \frac {1359}{4950}$

सांत और असांत दशमलव की पहचान करना

आप अंश और हर को विभाजित किए बिना किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ आवर्ती या अनावर्ती के रूप में वर्गीकृत कर सकते हैं, जहां $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \ne 0$ ।

यहाँ पहला कदम भिन्न को उसके निम्नतम या सरलतम रूप में लेकर आना है।

अगला चरण भिन्न के हर भाग की जाँच करना अर्थात $q$ की।

यदि $q$ को $2^{m}5^{n}$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, तो संख्या सांत है अन्यथा नहीं।

नोट: निम्नलिखित भिन्न सांत होते हैं 

• हर का अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ है, जैसे $2$, $4$, $8$, $16$, … भिन्न $\frac {1}{2}$, $\frac {3}{4}$, $ \frac {5}{8}$, $\frac {11}{16}$ सभी सांत दशमलव हैं।
• हर का अभाज्य गुणनखंड केवल $5$ है, जैसे $5$, $25$, $125$, $625$, … भिन्न $\frac {3}{5}$, $\frac {19}{25}$, $ \frac {79}{125}$, $\frac {107}{625}$ सभी दशमलव दशमलव हैं।
• हर के अभाज्य गुणनखंड $2$ और $5$ हैं, जैसे $10$, $20$, $250$, … भिन्न $\frac {3}{10}$, $\frac {17}{20}$, $\frac {127}{250}$ सभी सांत दशमलव हैं।

यदि हर के अभाज्य गुणनखंड $2$ और $5$ के अलावा कोई भी संख्या हैं, तो वह संख्या एक असांत दशमलव है। उदाहरण के लिए, $\frac {7}{30}$ एक असांत दशमलव है। हालांकि $2$ और $5$ $30$ के गुणनखंड हैं, परन्तु इन गुणनखंडों के अलावा, $3$ भी $30$ का एक प्रमुख गुणनखंड है। ($30$ का प्राइम फ़ैक्टराइज़ेशन $2 \times 3 \times 5$ है।

आवर्ती दशमलव में दशमलव स्थानों की संख्या ज्ञात करना

आप अंश को हर से विभाजित किए बिना एक सांत दशमलव संख्या में दशमलव के बाद की संख्याओं की गणना कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए हर को, यानी $q$ को $\frac {p}{q}$ में $2^{m}5^{n}$ के रूप में व्यक्त करें।

• यदि $m \gt n$, तो संख्या $m$ दशमलव संख्याएँ हैं 
• यदि $n \gt m$, तो संख्या $n$ दशमलव संख्याएँ हैं

उदाहरण

Ex 1:  $\frac {7}{40}$ के विस्तार में दशमलव स्थानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$40 = 2 \times 2 \times 2 \times = 2^{3}\times 5^{1}$।

चूंकि, $40$ के अभाज्य गुणनखंड $2$ और $5$ केवल हैं, इसलिए $\frac {7}{40}$ एक सांत दशमलव संख्या है।

$2$ की घात $3$ है और $5$ की घात $1$ है, इसलिए, $\frac {7}{40}$ में $3$ दशमलव संख्याएँ हैं।

$\frac {7}{40} = 0.175$।

Ex 2: $\frac {51}{250}$ के विस्तार में दशमलव स्थानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$250 = 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 2^{1}\times 5^{3}$।

चूंकि, $250$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $5$ हैं, इसलिए $\frac {51}{250}$ एक सांत दशमलव संख्या है।

$2$ की घात $1$ है और $5$ की घात $3$ है, इसलिए, $\frac {51}{250}$ में $3$ दशमलव संख्याएँ हैं।

$\frac {51}{250} = 0.204$।

Ex 3: $\frac {7}{100}$ के विस्तार में दशमलव स्थानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2}\times 5^{2}$।

चूँकि $100$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ और $5$ हैं, इसलिए $\frac {7}{100}$ एक सांत दशमलव संख्या है।

$2$ की घात $2$ है और $5$ की घात $2$ है, इसलिए $\frac {7}{100}$ में $2$ दशमलव संख्याएँ हैं।

$\frac {7}{100} = 0.07$।

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित में से कौन सी दशमलव संख्याएँ सांत दशमलव संख्याएँ हैं? और यह भी ज्ञात कीजिये की उन सांत दशमलव संख्याओं में कितनी दशमलव संख्याएँ हैं। 

• $\frac {5}{100}$
• $\frac {7}{75}$
• $\frac {49}{600}$
• $\frac {19}{200}$
• $\frac {127}{1450}$
• $\frac {68}{350}$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

दशमलव संख्याएँ दो प्रकार की होती हैं सांत और असांत। असांत दशमलव संख्याओं को आगे दो श्रेणियों में विभाजित किया गया है – असांत परन्तु आवर्ती और असांत और अनावर्ती। सांत दशमलव और असांत परन्तु आवर्ती दशमलव भी परिमेय संख्याएँ कहलाते हैं जबकि असांत और अनावर्ती दशमलव संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।

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