विषम और सम संख्याएँ (अर्थ, गुण और उदाहरण)

This post is also available in: English

प्राकृतिक संख्याएँ जिन्हें गिनती संख्या के रूप में भी जाना जाता है, संख्याओं की कई श्रेणियों से मिलकर बनी होती हैं जैसे कि अभाज्य और समग्र संख्याएँ, सम और विषम संख्याएँ, आदि। सम और विषम संख्याओं का वर्गीकरण किसी संख्या की $ 2$ से विभाज्यता पर आधारित होता है। वे संख्याएँ जो $2$ से पूर्णतः विभाजित होती हैं और कोई शेष नहीं छोड़ती हैं, सम संख्याएँ कहलाती हैं। दूसरी ओर, वे संख्याएँ जो $2$ से पूरी तरह से विभाजित नहीं होती हैं और $1$ शेष छोड़ती हैं, विषम संख्याएँ कहलाती हैं।

आइए जानें कि सम संख्याएं क्या हैं।

विषम और सम संख्याएँ क्या होती हैं?

सम संख्या एक संख्या होती है जो $2$ का गुणज है या एक संख्या जो $2$ से पूरी तरह से विभाज्य है। आइए यह समझने की कोशिश करें कि किसी संख्या का $2$ से विभाज्य होने का क्या अर्थ है। मान लीजिए कि आपके पास निश्चित संख्या में कंचे हैं और आप उन्हें अपने मित्र के साथ साझा करना चाहते हैं। आप अपने संग्रह में से एक कंचा उठाकर और एक को अपने पास रखकर और बाद में अपने मित्र को देकर कंचों को बांटना शुरू करते हैं। आप प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक कि सभी कंचे समाप्त नहीं हो जाते या केवल $ 1$ कंचा बचा है, साफ है, आप दो लोगों के बीच साझा नहीं कर सकते।

यदि संग्रह में कोई कंचा नहीं बचा है, तो इसका अर्थ है कि आपके पास कंचों की एक सम संख्या थी और यदि समान संख्या में कंचों को साझा करने के बाद $ 1$ का संगमरमर बचा है, तो इसका मतलब है कि आपके पास विषम संख्या में कंचे थे।

विषम और सम संख्याओं को भी इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

• विषम संख्या: एक संख्या जो $2$ से विभाज्य नहीं है और शेष के रूप में $1$ छोड़ती है उसे विषम संख्या कहा जाता है।
• सम संख्या: एक संख्या जो $2$ से विभाज्य है, शेष के रूप में $0$ को छोड़कर एक सम संख्या कहलाती है।

सम और विषम संख्याओं की जांच कैसे करें?

आप निम्न में से किसी एक विधि का उपयोग करके जांच सकते हैं कि दी गई संख्या एक सम या विषम संख्या है या नहीं:

दी गई संख्या के इकाई के स्थान पर अंकों की जाँच करके, आप एक विषम या सम संख्या को आसानी से पहचान सकते हैं। सम संख्याएं अंकों के साथ समाप्त होती हैं $0$, $2$, $4$ ,$6$, या $8$ और विषम संख्याएं अंकों के साथ समाप्त होती हैं $1$, $3$, $5$ , $7$, या $9$।

• समान समूहन द्वारा: सम संख्याओं को युग्मों में समूहीकृत किया जा सकता है जबकि विषम संख्याओं को जोड़ियों में समूहीकृत नहीं किया जा सकता है।
• $ 2$ से विभाज्यता: सम संख्याएँ जब $ 2$ से विभाजित होती हैं तो $0$ शेष बचता है, जबकि विषम संख्याएँ $ 2$ से विभाजित होने पर शेष के रूप में $1$ छोड़ती हैं।

समुच्चय द्वारा विषम और सम संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना

विषम और सम संख्याओं के समुच्चय को सेट-बिल्डर रूप में दर्शाया जा सकता है। विषम और सम संख्याओं के समुच्चय का सेट-बिल्डर निरूपण है:

• सम संख्याओं के समुच्चय को $\{x : x = 2n \}$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $n$ एक पूर्ण संख्या है।
• विषम संख्याओं के समुच्चय को $\{x : x = 2n + 1 \}$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $n$ पूर्ण संख्या है।

विषम और सम संख्याओं में अंतर

विषम और सम संख्याओं के बीच प्रमुख अंतर इस प्रकार हैं

मापदंड	विषम संख्याएँ	सम संख्याएँ
प्रतिनिधित्व	वे संख्याएँ जिन्हें $2n + 1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ n एक पूर्ण संख्या है	वे संख्याएँ जिन्हें $2n$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ n एक पूर्ण संख्या है
जोड़े में विभाजन	वे संख्याएँ जिन्हें दो बराबर भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है	वे संख्याएँ जिन्हें दो बराबर भागों में विभाजित किया जा सकता है
$2$ से विभाजन	जब हम किसी विषम संख्या को $2$ से विभाजित करते हैं, तो हमें शेष $1$ मिलता है	जब हम एक सम संख्या को $2$ से विभाजित करते हैं, तो हमें शेष $0$  मिलता है
इकाई के स्थान	$1$, $3$, $5$, $7$, और $9$ से समाप्त होने वाली सभी संख्याओं को विषम संख्या कहा जाता है	$0$, $2$, $4$, $6$, और $8$ से समाप्त होने वाली सभी संख्याओं को सम संख्याएँ कहा जाता है
गुणनफल	दो विषम संख्याओं का गुणनफल हमेशा विषम होता है	दो सम संख्याओं का गुणनफल हमेशा सम होता है
उदाहरण	विषम संख्याओं के उदाहरण $1$, $3$, $5$ और $7$  हैं	सम संख्याओं के उदाहरण हैं $2$, $4$, $6$, और $8$

क्या ऋणात्मक संख्याएँ सम या विषम हो सकती हैं?

 ऋणात्मक संख्याओं को विषम या सम संख्याओं के रूप में भी वर्गीकृत किया जा सकता है। यहाँ भी, विषम और सम संख्याओं की समान परिभाषाएँ सत्य हैं।

कोई भी ऋणात्मक संख्या जो $2$ से विभाज्य है और शेष $0$ छोड़ती है वह एक सम संख्या है। ऋणात्मक सम संख्याओं के उदाहरण $-2$, $-4$, $-6$ और $-8$ हैं।

कोई भी ऋणात्मक संख्या जो $2$ से विभाज्य नहीं है और शेष $1$ छोड़ती है वह एक विषम संख्या है। ऋणात्मक सम संख्याओं के उदाहरण $-1$, $-3$, $-5$ और $-7$ हैं।

क्या दशमलव सम या विषम हो सकते हैं?

दशमलव संख्याएँ जैसे $2.8$ और $5.7$ या तो विषम या सम संख्याएँ नहीं हैं। इसका कारण यह है कि इन संख्याओं को जब $2$ से विभाजित किया जाता है तो या तो $0$ या $1$ शेष नहीं रह जाते हैं।

इसी तरह, भिन्नों को भी विषम या सम संख्याओं के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जाता है। $\frac {2}{7}$ या $\frac {3}{14}$ जैसी संख्याएं न तो विषम हैं और न ही सम संख्याएं हैं। ये संख्याएं भी शेष $0$ या $1$ नहीं छोड़ती हैं जब $2$ से विभाजित किया जाता है।

विषम और सम संख्याओं के गुण

• ये विषम और सम संख्याओं के मूल गुण हैं।
• सम संख्याओं का योग हमेशा एक सम संख्या होता है, अर्थात सम संख्या + सम संख्या = सम संख्या। उदाहरण के लिए, $14 + 4 = 18$।
• विषम संख्याओं का योग हमेशा एक सम संख्या होता है, अर्थात विषम संख्या + विषम संख्या = सम संख्या। उदाहरण के लिए, $11 + 5 = 16$।
• एक विषम संख्या और एक सम संख्या का योग हमेशा एक विषम संख्या होती है, अर्थात सम संख्या + विषम संख्या = विषम संख्या। उदाहरण के लिए, $18 + 7 = 25$।
• सम संख्याओं के बीच का अंतर हमेशा एक सम संख्या होता है, अर्थात सम संख्या – सम संख्या = सम संख्या। उदाहरण के लिए, $52 – 38 = 14$।
• विषम संख्याओं का अंतर हमेशा एक सम संख्या होता है, अर्थात विषम संख्या – विषम संख्या = सम संख्या। उदाहरण के लिए, $27 – 9 = 18$।
• विषम संख्या और सम संख्या के बीच का अंतर हमेशा एक विषम संख्या होता है, अर्थात, सम संख्या – विषम संख्या = विषम संख्या या विषम संख्या – सम संख्या = विषम संख्या। उदाहरण के लिए, $35 – 24 = 11$ और $46 – 21 = 25$।
• सम संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक सम संख्या होता है, अर्थात् सम संख्या $\times$ सम संख्या = सम संख्या। उदाहरण के लिए, $12 \times 8 = 96$।
• विषम संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक विषम संख्या होती है, अर्थात विषम संख्या $\times$ विषम संख्या = विषम संख्या। उदाहरण के लिए, $19 \times 9 = 171$।

निष्कर्ष

किसी संख्या को $2$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल को देखने से यह निर्धारित करने में मदद मिलती है कि कोई संख्या विषम संख्या है या सम संख्या। विषम संख्याएँ $2$ से विभाजित करने पर $1$ का शेष छोड़ती हैं, जबकि सम संख्याएँ $2$ से विभाजित करने पर कोई शेष नहीं छोड़ती हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

सही या गलत बताएं

• सम संख्याएँ $2$ से विभाजित करने पर शेष $0$ छोड़ती हैं।
• विषम संख्याएँ $2$ से विभाजित करने पर शेष $0$ छोड़ती हैं।
• सम संख्याएं $2$ से विभाजित करने पर शेष $1$ छोड़ती हैं।
• विषम संख्याएँ $2$ से विभाजित करने पर शेष $1$ छोड़ती हैं।
• सम संख्याएँ $2$ से विभाज्य हैं।
• विषम संख्याएँ $2$ से विभाज्य हैं।
• सम संख्याओं को $2n$ के रूप में दर्शाया जाता है।
• विषम संख्याओं को $2n$ के रूप में दर्शाया जाता है।
• सम संख्याओं को $2n + 1$ के रूप में दर्शाया जाता है।
• विषम संख्याओं को $2n + 1$ के रूप में दर्शाया जाता है।
• दो सम संख्याओं का योग सदैव एक सम संख्या होती है।
• दो सम संख्याओं का योग हमेशा एक विषम संख्या होती है।
• दो सम संख्याओं का योग एक विषम संख्या या एक सम संख्या हो सकती है।
• दो विषम संख्याओं का योग सदैव एक सम संख्या होती है।
• दो विषम संख्याओं का योग हमेशा एक विषम संख्या होती है।
• दो विषम संख्याओं का योग विषम संख्या या सम संख्या हो सकती है।
• एक सम संख्या और एक विषम संख्या का योग हमेशा एक सम संख्या होती है।
• एक सम संख्या और एक विषम संख्या का योग हमेशा एक विषम संख्या होती है।
• सम संख्या और विषम संख्या का योग सम संख्या या विषम संख्या हो सकती है।

अनुशंसित पठन

• साहचर्य गुण – अर्थ और उदाहरण
• वितरणात्मक गुण – अर्थ और उदाहरण
• क्रमचयी गुण – परिभाषा और उदाहरण
• संवरक गुण (परिभाषा और उदाहरण)
• दशमलव संख्याओं की योगात्मक तत्समक (परिभाषा और उदाहरण)
• दशमलव संख्याओं की गुणनात्मक तत्समक (परिभाषा और उदाहरण)

आमतौर पर  पूछे जाने वाले प्रश्न