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गुणा की एक विपरीत प्रक्रिया के रूप में भाग समिश्र संख्याओं के गुणन की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है क्योंकि इसमें एक अवास्तविक इकाई शामिल है। भाग के मामले में, आपको एक ऐसा पद ज्ञात करना होता है जिससे आप अंश और हर को गुणा कर सकें जो हर के अवास्तविक भाग को हटा दे। यह हर से अपरिमेय संख्या को समाप्त करने के लिए हर को परिमेय संख्या में बदलने की प्रक्रिया के समान है।
आइए समिश्र संख्याओं के भाग की प्रक्रिया के बारे में जानें।
समिश्र संख्याओं का भाग
समिश्र संख्याओं का भाग वास्तविक संख्याओं के भाग की प्रक्रिया के समान है। दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए $z_{1} = a + ib$ और $z_{2} = c + id$, $z_{1} \div z_{2} = \frac {z_{1}}{z_{2 }} = \frac {a + ib}{c + id}$।
$\frac {a + ib}{c + id}$, $a + ib$ को $c + id$ के गणनात्मक प्रतिलोम से गुणा करने के समान है, अर्थात $ \frac {a + ib}{c + id} = \left(a + ib \right) \times \frac {1}{c + id}$।
उदाहरण के लिए, $\frac {2 + 3i}{3 + 4i}$ $\left(2 + 3i \right) \times \frac {1}{3 + 4i}$ के समान है।
एक समिश्र संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम क्या होता है?
एक समिश्र संख्या $z = a + ib$ के लिए, $\frac {1}{z} = \frac {1}{z} = \frac {1}{a + ib}$ को इसका गणनात्मक प्रतिलोम कहा जाता है। आप देख सकते हैं कि किसी समिश्र संख्या के गुणनात्मक प्रतिलोम की स्थिति में अवास्तविक संख्या हर में होती है। हर से अवास्तविक संख्या को समाप्त करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को हर के संयुग्म से गुणा करते हैं।
नोट: एक समिश्र संख्या का संयुग्म एक समिश्र संख्या होती है जिसमें अवास्तविक भाग का विपरीत चिन्ह होता है।
- $a + ib$ का संयुग्म $a – ib$ है
- $a – ib$ का संयुग्म $a + ib$ है
तो, $\frac {1}{a + ib}$ बन जाता है $\frac {1}{a + ib} \times \frac {a – ib}{a – ib} = \frac {1 \times \left( a – ib \right)}{\left(a + ib \right)\left(a – ib \right)} = \frac {a – ib}{a^{2} – \left(ib\right)^ {2}} = \frac {a – ib}{a^{2} + b^{2}}$।
नोट:
- एक समिश्र संख्या $a + ib$ का गणनात्मक प्रतिलोम $\frac {a + ib}{a^{2} + b^{2}}$ होता है
- एक समिश्र संख्या $a – ib$ का गणनात्मक प्रतिलोम $\frac {a – ib}{a^{2} + b^{2}}$ होता है
समिश्र संख्या के गुणनात्मक प्रतिलोम की गणना के स्टैप्स
ये एक समिश्र संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के स्टैप्स हैं
स्टैप 1: एक समिश्र संख्या $a + ib$ के लिए, गुणनात्मक प्रतिलोम को $\frac {1}{a + ib}$ के रूप में लिखें।
स्टैप 2: $a + ib$ का संयुग्म ज्ञात कीजिए जो $a – ib$ है
स्टैप 3: $a + ib$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $\frac {\text { Conjugate of } a + ib}{a^{2} + b^{2}}$ है, अर्थात $\frac {a – ib}{a^{2} + b^{2}}$
उदाहरण
आइए किसी सम्मिश्र संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
Ex 1: $2 + 3i$ . का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए
$2 + 3i$ का संयुग्म $2 – 3i$ है।
इसलिए, $2 + 3i$ का गुणन प्रतिलोम $\frac {2 – 3i}{2^{2} + 3^{2}}= \frac {2 – 3i}{13} = \frac {2}{13 } – \frac {3}{13}i$ है।
Ex 2: $1 – 2i$ . का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए
$1 – 2i$ का संयुग्म $1 + 2i$ है।
इसलिए, $1 – 2i$ का गुणन प्रतिलोम $\frac {1 + 2i}{1^{2} + 2^{2}} = \frac {1 + 2i}{5} = \frac {1}{5 है } + \frac {2}{5}i$ है।
समिश्र संख्याओं के भाग के लिए स्टैप्स
$z_{1} \div z_{2} = \frac {z_{1}}{z_{2}}$, अर्थात, $z_{1}$ को $z_{2}$ के गणनात्मक प्रतिलोम से गुणा करना।
समिश्र संख्याओं को भाग करने के स्टैप्स हैं।
स्टैप 1: दूसरी समिश्र संख्या, अर्थात् भाजक का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए
स्टैप 2: पहली समिश्र संख्या, अर्थात् भाज्य को दूसरी समिश्र संख्या के गुणनात्मक प्रतिलोम से गुणा कीजिए, अर्थात भाजक
उदाहरण
Ex 1: $3 – 7i$ को $2 + 5i$ से भाग दें
$\left (3 – 7i \right) \div \left(2 + 5i \right)$
$2 + 5i$ का गणनात्मक प्रतिलोम है $\frac {2 – 5i}{2^{2} + 5^{2}} = \frac {2 – 5i}{29} =\frac {2}{29} – \frac {5}{29}i $ है।
इसलिए, $\left (3 – 7i \right) \div \left(2 + 5i \right) = \left(3 – 7i \right) \times \frac {2 – 5i}{29}$
अब, $3 – 7i$ और $2 – 5i$ को गुणा करने के लिए समिश्र संख्याओं के गुणन सूत्र का उपयोग करें।
$\left(3 – 7i \right)\times \left(2 – 5i \right) = \left(3 \times 2 – \left(-7 \right) \times \left(-5 \right) \right) + i \left(3 \times \left(-5 \right) + \left(-7 \right) \times 2 \right)$
$= \left(6 – 35 \right) + i \left(-15 + \left(-14 \right) \right) = -29 – 29i$
इसलिए, $\left (3 – 7i \right) \div \left(2 + 5i \right) = \frac {-29 – 29i}{29} = -1 – i$
नोट: दो समिश्र संख्याओं $a + ib$ और $c + id$ के लिए गुणन सूत्र $\left(a + ib \right) \left(c + id \right) = \left(ac – bd \right) + i \left (ad + bc \right) $ है।
Ex 2: $6 + 3i$ को $4 – 8i$ से भाग दें
$\left (6 + 3i \right) \div \left(4 – 8i \right)$
$4 – 8i$ का गणनात्मक प्रतिलोम है $\frac {4 + 8i}{4^{2} + 8^{2}} = \frac {4 + 8i}{80} = \frac {1 + 2i}{20 } =\frac {1}{20} – \frac {1}{10}i $।
इसलिए, $\left (6 + 3i \right) \div \left(4 – 8i \right) = \left (6 + 3i \right) \times \frac {1 + 2i}{20}$
$\left(6 + 3i \right) \times \left(1 + 2i \right) = \left(6 \times 1 – 3 \times 2 \right) + i \left(6 \times 2 + 3 \times 1 \right) = \left(6 – 6 \right) + i \left(12 + 3 \right) = 15i$.
इसलिए, $\left (6 + 3i \right) \div \left(4 – 8i \right) = \frac {15i}{20} = \frac {3}{4}i$.
ध्रुवीय रूप में समिश्र संख्याओं का भाग
किन्हीं दो समिश्र संख्याओं के लिए $z_{1} = r_{1}\left(\cos \theta_{1} + i\sin \theta_{1} \right)$ और $z_{2} = r_{2}\left(\cos \theta_{2} + i\sin \theta_{2} \right)$, $\frac {z_{1}}{z_{2}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है
$\frac {z_{1}}{z_{2}} = \frac {r_{1}\left(\cos \theta_{1} + i\sin \theta_{1} \right)}{r_{2}\left(\cos \theta_{2} + i\sin \theta_{2} \right)}$
$\frac {z_{1}}{z_{2}} = \frac {r_{1}\left(\cos \theta_{1} + i\sin \theta_{1} \right)}{r_{2}\left(\cos \theta_{2} + i\sin \theta_{2} \right)} \times \frac {\cos \theta_{2} – i\sin \theta_{2}}{\cos \theta_{2} – i\sin \theta_{2}} = \frac {r_{1}}{r_{2}} \times \frac {\left(\cos \theta_{1} + i\sin \theta_{1} \right)\left(\cos \theta_{2} – i\sin \theta_{2} \right)}{\left(\cos \theta_{2} + i\sin \theta_{2} \right)\left(\cos \theta_{2} – i\sin \theta_{2} \right)}$
$= \frac {r_{1}}{r_{2}} \times \frac {\left(\cos \theta_{1} + i\sin \theta_{1} \right)\left(\cos \theta_{2} – i\sin \theta_{2} \right)}{\left(\cos^{2} \theta_{2} + \sin^{2} \theta_{2} \right)} = \frac {r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \theta_{1} + i\sin \theta_{1} \right)\left(\cos \theta_{2} – i\sin \theta_{2} \right)$
$ = \frac {r_{1}}{r_{2}} \left(\cos\left(\theta_{1} – \theta_{2} \right) + i\sin\left(\theta_{1} – \theta_{2} \right)\right)$
$ = r\left(\cos \theta + i \sin \theta \right)$
जहां, $r = \frac {r_{1}}{r_{2}}$ और $\theta = \theta_{1} – \theta_{2}$
उदाहरण
आइए दो समिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप में भाग की प्रक्रिया को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
Ex 1: $4\left(\cos \frac {\pi}{2} + i \sin \frac {\pi}{2} \right)$ को $2\left (\cos \frac {\pi}{3} + i\sin \frac {\pi}{3} \right)$ से भाग दें
यहां, $r_{1} = 4$ and $r_{2} = 2$ और $\theta_{1} = \frac {\pi}{2}, \theta_{2} = \frac {\pi}{3}$
इसलिए, $4\left(\cos \frac {\pi}{2} + i \sin \frac {\pi}{2} \right) \div 2\left(\cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right)$
$ = \frac {4}{2} \left(\cos\left(\frac {\pi}{2} – \frac {\pi}{3} \right) + i\sin\left(\frac {\pi}{2} – \frac {\pi}{3} \right)\right)$
$= 2\left(\cos \frac {\pi}{6} + i \sin \frac {\pi}{6}\right) $
समिश्र संख्याओं के भाग के गुण
समिश्र संख्याओं के भाग के गुण निम्नलिखित हैं:
- संवरक गुण: समिश्र संख्याओं का भागफल भी एक समिश्र संख्या होती है। इसलिए, यह संवरक गुण प्रदर्शित करता है।
- क्रमचय गुण: समिश्र संख्याओं का भाग क्रमचय नहीं है।
- साहचर्य गुण: समिश्र संख्याओं का भाग साहचर्य नहीं है।
- वितरणात्मक गुण: समिश्र संख्याओं का भाग जोड़ और घटाव पर वितरणात्मक नहीं है।
निष्कर्ष
दो समिश्र संख्याओं के भाग में दूसरी समिश्र संख्या, अर्थात भाजक का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात करना, और फिर पहली समिश्र संख्या को गुणा करना अर्थात, दूसरी सम्मिश्र संख्या के गुणनात्मक प्रतिलोम के साथ भाजक अर्थात भाजक को गुणा करना शामिल है।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित समिश्र संख्याओं का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए:
- $2 – 6i$
- $-5 + 4i$
- $12 + 3i$
- $-3 – 5i$
- $-4 + 7i$
- समिश्र संख्याओं के निम्नलिखित युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए
- $7 + 3i$ and $2 – 5i$
- $1 + i$ and $1 – i$
- $15 – 8i$ and $3 – 7i$
- $-9 + 7i$ and $4 + 2i$
- $11 + 6i$ and $3 – 9i$
- समिश्र संख्याओं के निम्नलिखित युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए
- $2\left(\cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3}\right) \div 4\left(\cos \frac {\pi}{4} + i \sin \frac {\pi}{4}\right) $
- $5\left(\cos \frac {\pi}{2} + i \sin \frac {\pi}{2}\right) \div 2\left(\cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3}\right) $
- $6\left(\cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3}\right) \div 4\left(\cos \frac {\pi}{6} + i \sin \frac {\pi}{6}\right) $
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आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या समिश्र संख्याओं पर भाग लागू होता है?
हाँ, समिश्र संख्याओं के लिए भाग लागू होता है। दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, आप $z_{1}$ को $z_{2}$ से भाग दे सकते हैं, अर्थात $\frac {z_{1}}{z_{2} }$ या $z_{2}$ को $z_{1}$ अर्थात $\frac {z_{2}}{z_{1}}$ से भाग दे सकते हैं।
समिश्र भाग क्या है?
समिश्र भाग का अर्थ समिश्र संख्याओं को भाग देना है। दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, आप $z_{1}$ को $z_{2}$ से भाग दे सकते हैं, अर्थात $\frac {z_{1}}{z_{2} }$ या $z_{2}$ को $z_{1}$ अर्थात $\frac {z_{2}}{z_{1}}$ से।
किसी समिश्र संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम क्या होता है?
एक समिश्र संख्या $z$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $\frac {1}{z}$ होता है। यदि $z = a + ib$, तो इसका गुणनात्मक प्रतिलोम $ \frac {a – ib}{a^{2} + b^{2}}$ है।
आप समिश्र संख्याओं को कैसे भाग देकर सरल करते हैं?
$z_{1}$ को $z_{2}$ से भाग देने के लिए, आप $z_{1}$ को $z_{2}$ के गुणनात्मक प्रतिलोम से गुणा करते हैं, अर्थात $\frac {1}{z_{2} से }$। इसलिए, $\frac {z_{1}}{z_{2}}$ $z_{1} \times \frac {1}{z_{2}}$ के समान है।
$a + ib$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $ \frac {a – ib}{a^{2} + b^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
