समिश्र संख्याओं का गुणन (उदाहरण के साथ)

गुणा गणित में चार बुनियादी संक्रियाओं में से एक है। समिश्र संख्याओं के जोड़ और घटाव की तुलना में गुणन एक जटिल संक्रिया है। एक समिश्र संख्या $a + ib$ के रूप की होती है, जहाँ $i$ एक अवास्तविक संख्या है और $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

समिश्र संख्याओं के गुणन का कार्य तंत्र वितरणात्मक गुण का उपयोग करके द्विपदों के गुणन के समान है। इस लेख में, आप समिश्र संख्याओं को गुणा करना सीखेंगे।

दो समिश्र संख्याओं का गुणन

दो समिश्र संख्याओं का गुणन FOIL पद्धति का उपयोग करते हुए दो द्विपद व्यंजकों के गुणन के समान है।

गणितीय रूप से, यदि हमारे पास दो समिश्र संख्याएँ $z_{1} = a + ib$ और $z_{2} = c + id$ हैं, तो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ का गुणन लिखा जाता है जैसे $z_{1}z_{2} = \left(a + ib \right) \left(c + id \right)$।

अब, हम दो द्विपदों के गुणन की FOIL विधि का उपयोग करते हैं। $\left(a + b \right) \left(c + d \right) = ac + ad + bc + bd$. 

इसलिए, समिश्र संख्याओं को गुणा करने का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: $\left(a + ib \right) \left(c + id \right) = ac + iad + ibc + i^{2}bd$

$=> \left(a + ib \right) \left(c + id \right) = \left(ac – bd \right) + i \left(ad + bc \right)$ $\left(\text { Because } i^{2} = -1 \right)$.

नोट: FOIL विधि:

समिश्र संख्याओं का गुणन
  • First का अर्थ है कि हम प्रत्येक द्विपद के प्रथम स्थान पर आने वाले पदों को गुणा करते हैं।
  • Outer का अर्थ है कि हम उन पदों को गुणा करते हैं जो दो द्विपदों के दोनों सिरों (सबसे बाहरी) में एक साथ लिखे जाने पर स्थित होते हैं।
  • Inner का अर्थ है कि जब हम साथ-साथ लिखे जाते हैं तो हम द्विपद के मध्य के दो पदों को गुणा करते हैं।
  • Last का अर्थ है कि हम प्रत्येक द्विपद की अंतिम स्थिति में आने वाले पदों को गुणा करते हैं।
  • First, Outer, Inner और Last से आने वाले चार (4) आंशिक उत्पाद प्राप्त करने के बाद, हम अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए बस उन्हें एक साथ जोड़ते हैं।

उदाहरण

Ex 1: $3 + 2i$ और $1 + 3i$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यहां, $z_{1} = a + ib = 3 + 2i$ और $z_{2} = c + id = 1 + 3i$.

तो, $a = 3$, $b = 2$, $c = 1$ and $d = 3$.

$\left(a + ib \right) \left(c + id \right) = \left(ac – bd \right) + i \left(ad + bc \right)$ 

$=>\left(3 + 2i \right) \left(1 + 3i \right) = \left(3 \times 1 – 2 \times 3 \right) + i \left(3 \times 3 + 2 \times 1 \right)$ 

$=>\left(3 + 2i \right) \left(1 + 3i \right) = \left(3 – 6 \right) + i \left(9 + 2 \right)$

 $=>\left(3 + 2i \right) \left(1 + 3i \right) = -3 + 11i$

Ex 2: $5 – 3i$ और $4 + 2i$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यहां, $z_{1} = a + ib = 5 – 3i$ और $z_{2} = c + id = 4 + 2i$.

तो, $a = 5$, $b = -3$, $c = 4$ and $d = 2$.

$\left(a + ib \right) \left(c + id \right) = \left(ac – bd \right) + i \left(ad + bc \right)$ 

$=>\left(5 – 3i \right) \left(4 + 2i \right) = \left(5 \times 4 – \left(-3 \right) \times 2 \right) + i \left(5 \times 2 + \left(-3 \right) \times 4 \right)$ 

$=>\left(5 – 3i \right) \left(4 + 2i \right) = \left(20 + 6 \right) + i \left(10 – 12 \right)$

$=>\left(5 – 3i \right) \left(4 + 2i \right) = 26 – 2i$

ध्रुवीय रूप में समिश्र संख्याओं का गुणन

ध्रुवीय रूप में एक समिश्र संख्या $z = r \left(\cos \theta + i \sin \theta \right)$ के रूप में लिखी जाती है, जहां $r$ समिश्र संख्या का मापांक है और $\theta$ इसका कोणांक है। अब, समिश्र संख्याओं को गुणा करने का सूत्र $z_{1} = r_{1} \left(\cos \theta_{1} + i \sin \theta_{1} \right)$ और $z_{2} = r_{ 2} \left(\cos \theta_{2} + i \sin \theta_{2} \right)$ ध्रुवीय रूप में इस प्रकार दिया गया है:

$z_{1}z_{2} = (r_{1} \left(\cos \theta_{1} + i \sin \theta_{1} \right))(r_{2} \left( \cos \theta_{2} + i \sin \theta_{2} \right))$

$= r_{1} r_{2} \left(\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} + i \cos \theta_{1} \sin \theta_{2} + i \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} + i^{2} \sin \theta_{1} \sin \theta_{2} \right)$

$= r_{1} r_{2} \left(\cos \theta_{1} \cos \theta_{2} + i \cos \theta_{1} \sin \theta_{2} + i \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} – \sin \theta_{1} \sin \theta_{2} \right)$ $\left( \text { Because } i^{2} = -1 \right)$

$= r_{1} r_{2} \left( \cos \theta_{1} \cos \theta_{2} – \sin \theta_{1} \sin \theta_{2} + i \left( \cos \theta_{1} \sin \theta_{2} + \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} \right) \right)$

$= r_1 r_2 \left( \cos \left(\theta_{1} + \theta_{2} \right) + i \sin \left(\theta_{1} + \theta_{2} \right) \right)$ $\left( \text { Because } \cos a \cos b – \sin a \sin b = \cos \left(a + b \right) \text { and } \sin a \cos b + \sin b \cos a = \sin \left(a + b \right) \right)$

अतः समिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में गुणा करने का सूत्र है $\left( r_{1} \left(\cos \theta_{1} + i  \sin \theta_{1} \right) \right) \left(r_{2} \left(\cos \theta_{2} + i \sin \theta_{2} \right) \right) = r_{1} r_{2} \left(\cos \left(\theta_{1} + \theta_{2} \right) + i \sin \left(\theta_{1} + \theta_{2} \right) \right)$

उदाहरण

Ex 1: $2(\cos \frac {\pi}{6} + i \sin \frac {\pi}{6})$ और $3(\cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3})$ का गुणनफल ज्ञात कीजिए। .

यहां, $r_{1} = 2$, $r_{2} = 3$, $\theta_{1} = \frac {\pi}{6}$, and $\theta_{2} = \frac {\pi}{3}$

इसलिए, $2\left(\cos \frac {\pi}{6} + i \sin \frac {\pi}{6} \right) \times 3\left(\cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right)$

$= 2 \times 3 \left(\cos \left(\frac {\pi}{6} + \frac {\pi}{3} \right) + i \sin \left(\frac {\pi}{6} + \frac {\pi}{3} \right) \right)$

$= 6 \left(\cos \frac {\pi}{2} + i \sin \frac {\pi}{2} \right)$

समिश्र संख्याओं के गुणन के गुण

समिश्र संख्याओं के गुणन के गुण निम्नलिखित हैं:

  • संवरक गुण: समिश्र संख्याओं का गुणनफल भी एक समिश्र संख्या होती है। इसलिए, यह संवरक गुण दर्शाता है।
  • क्रमचय गुण: समिश्र संख्याओं में गुणन क्रमचय होता है।
  • साहचर्य गुण: समिश्र संख्याओं में गुणन साहचर्य होता है।
  • वितरणात्मक गुण: समिश्र संख्याओं का जोड़ और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण होता है।
  • गुणनात्मक तत्समक: $1 + 0i$ समिश्र संख्याओं की गुणनात्मक तत्समक है, अर्थात, एक समिश्र संख्या $z$ के लिए, हमारे पास $z \times \left(1 + 0i \right) = \left(1 + 0i \right) ) \times z = z$ है।
  • गुणनात्मक प्रतिलोम: एक समिश्र संख्या $z$ के लिए, समिश्र संख्याओं में गुणनात्मक प्रतिलोम $\frac {1}{z}$ है, अर्थात $z \times \frac {1}{z} = \frac {1}{ z} \times z = 1 + 0i$।

निष्कर्ष

दो समिश्र संख्याओं के गुणन की प्रक्रिया दो द्विपद व्यंजकों के गुणन की प्रक्रिया के समान है। समिश्र संख्याओं के गुणन के लिए संवरक गुण, क्रमचय गुण, साहचर्य गुण और वितरणात्मक गुण दर्शाता है, और समिश्र संख्याओं के लिए गुणनात्मक तत्समक और गुणनात्मक प्रतिलोम मौजूद होते हैं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

 निम्नलिखित समिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए

  • $z_{1} = 2 – 3i$, $z_2 = 5 + i$
  • $z_{1} = -3 + 2i$, $z_2 = 3 + 4i$
  • $z_{1} = 1 – i$, $z_2 = 1 + i$
  • $z_{1} = 4 + 2i$, $z_2 = -2 – 3i$
  • $z_{1} = 1 – 5i$, $z_2 = 4 + 6i$
  • $z_{1} = 3\left(\cos \frac {\pi}{3} + i\sin \frac {\pi}{3}\right)$, $z_{2} = 5\left(\cos \frac {\pi}{2} + i\sin \frac {\pi}{2}\right)$
  • $z_{1} = -2\left(\cos \frac {\pi}{4} + i\sin \frac {\pi}{4}\right)$, $z_{2} = 2\left(\cos \frac {\pi}{6} + i\sin \frac {\pi}{6}\right)$

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आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

समिश्र संख्याओं के गुणन का सूत्र क्या है?

दो समिश्र संख्याओं $z_{1} = a + ib$ और $z_{2} = c + id$ को गुणा करने का सूत्र है $\left(a + ib \right) \left(c + id \right) = \left (ac – bd \right) + i \left(ad + bc \right) $।

ध्रुवीय में समिश्र संख्याओं का गुणन सूत्र क्या है?

दो समिश्र संख्याओं $z_{1} = r_{1} \left(\cos \theta_{1} + i \sin \theta_{1} \right)$ और $z_{2} = r_{2} \left(\cos \theta_{2} + i \sin \theta_{2} \right)$ को ध्रुवीय रूप में गुणा करने का सूत्र $r_{1} r_{2} \left(\cos \left(\theta_{1} + \theta_{2} \right) + i \sin \left(\theta_{1} + \theta_{2} \right) \right)$ है।

क्या होता है जब आप दो अवास्तविक संख्याओं को गुणा करते हैं?

जब दो अवास्तविक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक वास्तविक संख्या होती है, क्योंकि $i \times i = -1$।

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