समिश्र संख्याएँ – परिभाषा, गुण और उदाहरण

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जब विभेदक $b^{2} – 4ac \lt 0$ हो तो समिश्र संख्याएँ ऋणात्मक संख्याओं जैसे द्विघात समीकरणों के वर्गमूल को शामिल करने वाले समाधान ज्ञात करने में सहायक होती हैं। एक समिश्र संख्या को $a + ib$ के रूप में लिखा जाता है जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $i$ एक अवास्तविक इकाई है।

समिश्र संख्याओं में वैज्ञानिक अनुसंधान, सिग्नल प्रोसेसिंग, विद्युत चुंबकत्व, द्रव गतिकी, क्वांटम यांत्रिकी और कंपन विश्लेषण जैसे अनुप्रयोग होते हैं। आइए समझते हैं कि समिश्र संख्या क्या है।

समिश्र संख्याएँ क्या हैं?

एक समिश्र संख्या में दो भाग होते हैं – एक वास्तविक भाग और एक अवास्तविक भाग और इन दो भागों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। एक समिश्र संख्या को आमतौर पर $z$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

$z = a + ib$, जहां $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएं हैं और $i$ एक अवास्तविक इकाई $\left(= \sqrt{-1} \right)$ है।

नोट

• $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएं हैं, $i$ एक अवास्तविक इकाई है
• $a$ को वास्तविक भाग कहा जाता है और $ib$ को समिश्र संख्या का अवास्तविक भाग कहा जाता है
• एक समिश्र संख्या $z$ के वास्तविक भाग को $Re\left(z \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है और अवास्तविक भाग को $Im\left(z \right)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

समिश्र संख्याओं का रेखांकन – अर्ग़ंद समक्षेत्र

एक समिश्र संख्या $z = a + ib$ में एक वास्तविक भाग $a = \left(Re\left(z\right) \right)$ होता है और एक अवास्तविक भाग $b = \left(Im\left(z\right) ) \right)$, जिसे एक ऑर्डर की गई जोड़ी के रूप में माना जा सकता है $\left(Re \left(z \right), Im\left(z \right) \right)$ और यूक्लिडियन विमान में निर्देशांक बिंदुओं के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है .

समिश्र संख्याओं के संदर्भ में यूक्लिडियन समक्षेत्र को समिश्र समक्षेत्र या अरगंड समक्षेत्र कहा जाता है, जिसका नाम जीन-रॉबर्ट अरगैंड के नाम पर रखा गया है। समिश्र संख्या $z = a + ib$ को वास्तविक भाग – $a$, $x$-axis के संदर्भ में, और अवास्तविक भाग- $ib$, $y$-axis के संदर्भ में दर्शाया जाता है।

इस अर्गंड समक्षेत्र में, दो पद जुड़े हुए हैं – एक समिश्र संख्या का मापांक और एक सम्मिश्र संख्या का कोणांक। आइए इन दो महत्वपूर्ण शब्दों को समझने का प्रयत्न करते हैं।

समिश्र संख्या का मापांक

समिश्र संख्या की दूरी को अर्ग़ंद समक्षेत्र में एक बिंदु के रूप में दर्शाया जाता है $\left(a, ib \right)$ समिश्र संख्या का मापांक कहलाता है। यह दूरी मूल $\left(0, 0 \right)$ से $\left(a, ib \right)$ तक एक रैखिक दूरी है, और इसे $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ के रूप में मापा जाता है।

यह व्यंजक पाइथागोरस प्रमेय से लिया गया है, जहाँ मापांक कर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, वास्तविक भाग आधार है, और अवास्तविक भाग समकोण त्रिभुज की ऊँचाई है।

उदाहरण

आइए एक समिश्र संख्या $z = 1 + i$ पर विचार करें, यह समझने के लिए कि किसी समिश्र संख्या के मापांक की गणना कैसे की जाती है।

यहाँ, $a = 1$ और $b = 1$।

इसलिए, मापांक $r = \sqrt {a^{2} + b^{2}} = \sqrt {1^{2} + 1^{2}} = \sqrt {1 + 1} = \sqrt { 2}$। 

समिश्र संख्या का कोणांक

धनात्मक $x$ – अक्ष के साथ समिश्र संख्या और मूल के ज्यामितीय निरूपण को मिलाने वाली रेखा द्वारा बनाए गए कोण को वामावर्त दिशा में कोणांक $\left( \theta \right)$ कहा जाता है। समिश्र संख्या का कोणांक समिश्र संख्या के वास्तविक भाग $a$ से विभाजित अवास्तविक भाग $b$ के $tan$ का व्युत्क्रम है। Argz (θ) = $\tan^{-1} \left(\frac {b}{a} \right)$।

उदाहरण

आइए उपरोक्त समिश्र संख्या $z = 1 + i$ पर विचार करें, यह समझने के लिए कि किसी सम्मिश्र संख्या के कोणांक की गणना कैसे की जाती है।

यहाँ, $a = 1$ और $b = 1$।

आकृति में त्रिभुज में, $\tan \theta = \frac {b}{a} = \frac {1}{1} = 1$

इसलिए, $\theta = \tan^{-1}\left ( 1\right) = 45^{\circ} \text{ या } \frac {\pi}{4}$।

समिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप

ध्रुवीय रूप में, किसी भी बिंदु को दो मानों के रूप में दर्शाया जाता है।

• मूल बिंदु से एक बिंदु की दूरी
• $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बिंदु और मूल बिंदु को मिलाने वाली रेखा द्वारा बनाया गया कोण।

ध्रुवीय निर्देशांक में एक बिंदु $P\left(x, y \right)$ को $P\left(r, \theta \right)$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहां

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ और $\tan \theta = \frac {y}{x} => \theta = \tan^{-1}\left( \frac {y}{x}\right)$। 

एक समिश्र संख्या $a + ib$ के सन्दर्भ में, हम प्राप्त करते हैं

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ और $\tan \theta = \frac {b}{a} => \theta = \tan^{-1}\left( \frac {b} {a}\right)$।

और, $\cos \theta = \frac {a}{r} => a = r \cos \theta$ और $\sin \theta = \frac {b}{r} => b = r \sin \theta $.

इसलिए, ध्रुवीय निर्देशांक में एक समिश्र संख्या $z = a + ib$ को $z = r \cos \theta + i r \sin \theta = r\left(\cos \theta + i \sin \theta \right) )$  के रूप में लिखा जा सकता है।  

समिश्र संख्याओं के गुण

अन्य संख्याओं जैसे कि प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, अपरिमेय संख्याएँ या वास्तविक संख्याएँ, समिश्र संख्याएँ भी कुछ गुण प्रदर्शित करती हैं। समिश्र संख्याओं के गुण इस प्रकार हैं।

समिश्र संख्याओं की समानता

किन्हीं दो समिश्र संख्याओं के लिए $z_{1} = a_{1} + i b_{1}$ और $z_{2} = a_{2} + i b_{2}$, $z_{1} = z_{2 }$, अगर $a_{1} = a_{2}$ और $b_{1} = b_{2}$।

उदाहरण

Ex 1: यदि समिश्र संख्याएँ $z_{1} = 3 – 2i$ और $z_{2} = x + yi$ बराबर हैं, तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

किन्हीं दो समिश्र संख्याओं के लिए $z_{1} = a_{1} + i b_{1}$ और $z_{2} = a_{2} + i b_{2}$, $z_{1} = z_{2 }$, अगर $a_{1} = a_{2}$ और $b_{1} = b_{2}$।

इसलिए, $x = 3$ और $y = -2$।

Ex 2: यदि समिश्र संख्या $z_{1} = 5 + i$ और $z_{2} = \left(a + b \right) + \left(a – b \right)i$ बराबर हैं, तो $a$ और $b$ ज्ञात करें।

किन्हीं दो समिश्र संख्याओं के लिए $z_{1} = a_{1} + i b_{1}$ और $z_{2} = a_{2} + i b_{2}$, $z_{1} = z_{2 }$, यदि $a_{1} = a_{2}$ और $b_{1} = b_{2}$।

इसलिए,

$a + b = 5$ ——————(1)

$a – b = 1$ ——————– (2)

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हमें $a = 3$ और $b = 2$ मिलता है।

योगात्मक तत्समक का होना

प्रत्येक समिश्र संख्या $z = a + ib$ के लिए, एक समिश्र संख्या $z_{0} = 0 + i0$ मौजूद होती है, जैसे कि $z + z_{0} = z_{0} + z = z$। समिश्र संख्या $z_{0} = 0 + i0$ सम्मिश्र संख्याओं की योगात्मक तत्समक कहलाता है।

नोट: $z_{0} = 0 + i0$ में, $r = \sqrt{0^{2} + 0^{2}} = 0$ और $\theta = \tan^{-1} \left( \frac {0}{0}\right) = \frac {\pi}{2}$। 

गुणात्मक तत्समक का होना

प्रत्येक समिश्र संख्या $z = a + ib$ के लिए, एक समिश्र संख्या $z_{1} = 1 + i0$ मौजूद होती है, जैसे कि $z \times z_{1} = z_{1} \times z = z$। समिश्र संख्या $z_{1} = 1 + i0$ समिश्र संख्याओं का गुणनात्मक तत्समक कहलाता है।

नोट: $z_{1} = 1 + i0$ में, $r = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1$ और $\theta = \tan^{-1} \left( \frac {0}{1}\right) = 0$। 

योगात्मक प्रतिलोम का होना

किसी भी समिश्र संख्या $z = a + ib$ के लिए, एक समिश्र संख्या $-z = -\left(a + ib \right) = -a – ib$ मौजूद होती है, जैसे कि $z + \left(-z \right) ) = -z + z = 0$। समिश्र संख्या $-z$ को समिश्र संख्या $z$ का योगात्मक प्रतिलोम कहा जाता है।

उदाहरण

Ex 1: $z = 3 – 2i$ का योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

$3 – 2i$ का योगात्मक प्रतिलोम $- \left(3 – 2i \right) = -3 + 2i$ है।

Ex 2: $z = -6 – 5i$ का योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

$z = -6 – 5i$ का योगात्मक प्रतिलोम $-\left(-6 – 5i \right) = 6 + 5i$ है।

गुणात्मक प्रतिलोम का होना

किसी भी समिश्र संख्या $z = a + ib$ के लिए, एक समिश्र संख्या $z^{-1} = \frac {1}{z} = \frac {1}{a + ib}$ मौजूद होती है, जैसे कि $z \times z^{-1} = z^{-1} \times z = 1$।

$z^{-1} = \frac {1}{z} = \frac {1}{a + ib}$

अंश और हर को $a – ib$ से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$z^{-1} = \frac {1}{a + ib} \times \frac {a – ib}{a – ib} = \frac {1 \times \left(a – ib \right)}{ \left(a + ib \right) \left(a – ib \right)} = \frac {a – ib}{a^{2} – \left(ib \right)^{2}} = \frac { a – ib}{a^{2} – i^{2}b^{2}} = \frac {a – ib}{a^{2} + b^{2}}$।

इसलिए, किसी भी समिश्र संख्या $z = a + ib$ का गुणात्मक प्रतिलोम $z^{-1} = \frac {a}{a^{2} + b^{2}} – i \frac {b}{ होता है। a^{2} + b^{2}}$।

उदाहरण

Ex 1: $z = 1 + i$ का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

$z = 1 + i$, $a = 1$ और $b = 1$ में, इसलिए $z = 1 + i$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $z^{-1} = \frac {a}{a^{2} + b^{2}} – i \frac {b}{a^{2} + b^{2}} = \frac {1}{1^{2} + 1^{2}} – i \frac {1}{1^{2} + 1^{2}} = \frac {1}{2} – i \frac {1}{2}$  है। 

Ex 2: $z = 2 + 3i$ का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

$z = 2 + 3i$, $a = 2$ और $b = 3$ में, इसलिए $z = 2 + 3i$ का गुणनात्मक प्रतिलोम $z^{-1} = \frac {a}{a^ है {2} + b^{2}} – i \frac {b}{a^{2} + b^{2}} = \frac {2}{2^{2} + 3^{2}} – i \frac {2}{2^{2} + 3^{2}} = \frac {2}{4 + 9} – i \frac {2}{4 + 9} = \frac {2}{13 } – i \frac {2}{13}$।

संवरक गुण

समिश्र संख्या का संवरक गुण बताता है कि किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग का परिणाम भी एक समिश्र संख्या है, अर्थात, संवरक गुण सभी चार अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए है।

जोड़ का संवरक गुण

किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, जोड़ $z_{1} + z_{2}$ भी एक समिश्र संख्या है।

उदाहरण के लिए, दो समिश्र संख्याओं $2 – 4i$ और $6 + 7i$ के लिए, जोड़ $ \left(2 – 4i \right) + \left(6 + 7i \right) = 8 + 3i$ भी एक समिश्र संख्या है। 

घटाव का संवरक गुण

किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, अंतर $z_{1} – z_{2}$ भी एक समिश्र संख्या होती है।

उदाहरण के लिए, दो समिश्र संख्याओं $9 + 5i$ और $-3 + 4i$ के लिए, अंतर $ \left(9 + 5i \right) – \left(-3 + 4i \right) = 12 + i$ भी एक समिश्र संख्या है। साथ ही $ \left(-3 + 4i \right) – \left(9 + 5i \right) = -12 – i$ भी एक समिश्र संख्या है।

गुणन का संवरक गुण

किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, गुणनफल $z_{1} \times z_{2}$ भी एक समिश्र संख्या है।

उदाहरण के लिए, दो समिश्र संख्याओं $1 + 3i$ और $3 + 2i$ के लिए, गुणनफल $\left(1 + 3i \right) \times \left(3 + 2i \right) = -3 + 11i$ भी एक समिश्र संख्या है।

भाग का संवरक गुण

किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, भागफल $z_{1} \div z_{2}$ भी एक समिश्र संख्या है।

उदाहरण के लिए, दो समिश्र संख्याओं $2 + i$ और $1 – i$ के लिए, भागफल $\left(2 + i \right) \div \left(1 – i \right) = \frac {1}{2} – \frac {3}{2}i$ भी एक समिश्र संख्या है।

क्रमचय गुण

क्रमचय गुण बताता है कि ऑपरेशन का नतीजा वही रहता है, भले ही संख्याओं का क्रम बदल दिया गया हो। क्रमचय गुण समिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणा के वैद्य है।

जोड़ का क्रमचय गुण

जोड़ का क्रमचय गुण बताता है कि किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, $z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1}$।

उदाहरण

Ex 1: $z_{1} = 5 + 3i$ और $z_{2} = -3 + 2i$ के लिए समिश्र संख्याओं के जोड़ के क्रमचय गुण को सत्यापित करें।

$z_{1} + z_{2} = \left(5 + 3i \right) + \left(-3 + 2i \right) = (5 – 3) + (3 + 2)i = 2 + 5i$

और $z_{2} + z_{1} = \left(-3 + 2i \right) + \left(5 + 3i \right) = (-3 + 5) + (2 + 3)i = 2 + 5i $

इसलिए, $z_{1} + z_{2} = $z_{2} + z_{1}$।

गुणन का क्रमचय गुण

गुणन का क्रमचय गुण बताता है कि किन्हीं दो समिश्र संख्याओं $z_{1}$ और $z_{2}$ के लिए, $z_{1} \times z_{2} = z_{2} \times z_{1}$।

उदाहरण

Ex 1: $z_{1} = 1 + 2i$ और $z_{2} = 1 + i$ के लिए समिश्र संख्याओं के गुणन के क्रमचय गुण को सत्यापित करें।

$z_{1} \times z_{2} = \left(1 + 2i \right) \times \left(1 + i \right) = -1 + 3i$

और, $z_{2} \times z_{1} = \left(1 + i \right) \times \left(1 + 2i \right) = -1 + 3i$

इसलिए, $z_{1} \times z_{2} = z_{2} \times z_{1}$।

नोट: क्रमचय गुण समिश्र संख्याओं में घटाव और विभाजन के लिए नहीं है।

साहचर्य गुण

साहचर्य गुण बताता है कि संक्रिया का परिणाम वही रहता है, भले ही संक्रिया में संख्याओं का समूह बदल दिया गया हो। साहचर्य गुण समिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणा के लिए होता है।

जोड़ का साहचर्य गुण

जोड़ का साहचर्य गुण बताता है कि किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_{1}$, $z_{2}$ और $z_{3}$के लिए, $\left(z_{1} + z_{2} \right) + z_3 = z_{1} + \left(z_{2} + z_{3} \right)$।

उदाहरण

Ex 1: $z_{1} = 2 – 3i$, $z_{2} = 3 + 5i$, और $z_{3} = 4 + 6 i$ के लिए सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ के साहचर्य गुण को सत्यापित करें।

$\left(z_{1} + z_{2} \right) + z_3 = \left (\left(2 – 3i \right) + \left(3 + 5i \right) \right) + \left( 4 + 6 i \right) = \left(5 + 2i \right) + \left(4 + 6i \right) = 9 + 8i$

और, $z_{1} + \left (z_{2} + z_ {3} \right) = \left (2 – 3i \right) + \left ( \left (3 + 5i \right) + \left ( 4 + 6 i \right) \right) = \left (2 – 3i \right) + \left (7 + 11i \right) = 9 + 8i $

इसलिए, $\left(z_{1} + z_{2} \right) + z_3 = z_{1} + \left(z_{2} + z_{3} \right)$

गुणन का साहचर्य गुण

गुणन का साहचर्य गुण बताता है कि किन्हीं तीन समिश्र संख्याओं $z_{1}$, $z_{2}$ और $z_{3}$, $\left(z_{1} \times z_{2} \right) के लिए \times z_3 = z_{1} \times \left(z_{2} \times z_{3} \right)$.

नोट: साहचर्य गुण समिश्र संख्याओं में घटाव और भाग के लिए मान्य नहीं है।

उदाहरण

Ex 1: $z_{1} = 1 – 2i$, $z_{2} = 2 + 3i$, और $z_{3} = 3 – 4 i$ के लिए समिश्र संख्याओं में गुणन के साहचर्य गुण को सत्यापित करें।

$\left(z_{1} \times z_{2} \right) \times z_3 = \left(\left(1 – 2i \right) \times \left(2 + 3i \right) \right) \times \left(3 – 4 i \right) = \left(8 – i \right) \times \left(3 – 4i \right) = 20 – 35i$

और, $z_{1} \times \left(z_{2} \times z_{3} \right) = \left(1 – 2i \right) \times \left( \left(2 + 3i \right) \times \left(3 – 4 i \right)\right) = \left(1 – 2i \right) \times \left(18 + i \right) = 20 – 35i$

गुणन का वितरणात्मक गुण

वितरणात्मक गुण बताता है कि गुणन का परिणाम वही रहता है, भले ही संख्याओं को जोड़ और घटाव का उपयोग करके विभाजित किया गया हो। समिश्र संख्याओं के गुणन का वितरणात्मक गुण जोड़ और घटाव के लिए मान्य है।

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण बताता है कि किन्हीं तीन समिश्र संख्याओं $z_{1}$, $z_{2}$ और $z_{3}$  के लिए, $z_1 \times \left(z_{2} + z_{3) }\right) = z_{1} \times z_{2} + z_{1} \times z_{3}$।

उदाहरण

Ex 1: $z_{1} = 2 + i$, $z_{2} = 1 + i$, और $z_{3} = 4 – 3i$ के लिए सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ पर गुणन के वितरणात्मक गुण को सत्यापित करें।

$z_1 \times \left(z_{2} + z_{3}\right) = \left(2 + i \right) \times \left(\left(1 + i \right) + \left(4 – 3i \right)\right)  = \left(2 + i \right) \times \left(5 – 2i \right) = 12 + i$.

और, $z_{1} \times z_{2} + z_{1} \times z_{3} = \left(2 + i \right) \times \left(1 + i \right) + \left(2 + i \right) \times \left(4 – 3i \right) = \left(1 + 3i \right) + \left(11 – 2i \right) = 12 + i$

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण बताता है कि किन्हीं तीन समिश्र संख्याओं $z_{1}$, $z_{2}$ और $z_{3}$ के लिए, $z_1 \times \left(z_{2} – z_{3 }\right) = z_{1} \times z_{2} – z_{1} \times z_{3}$।  

उदाहरण

Ex 1: $z_{1} = 7 – 4i$, $z_{2} = 2 + 3i$, और $z_{3} = 5 + 2i$ के लिए सम्मिश्र संख्याओं के घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण सत्यापित करें।

$z_1 \times \left(z_{2} – z_{3}\right) = \left(7 – 4i \right) \times \left( \left(2 + 3i \right) – \left(5 + 2i \right)\right) = \left(7 – 4i \right) \times \left(-3 + i \right) = -17 + 19i$

और, $z_{1} \times z_{2} – z_{1} \times z_{3} = \left(7 – 4i \right) \times \left(2 + 3i \right) – \left(7 – 4i \right) \times \left(5 + 2i \right) = \left(26 + 13i \right) – \left(43 – 6i \right) = -17 + 19i$

नोट: वितरणात्मक गुण सम्मिश्र संख्याओं में भाग के लिए मान्य नहीं है।

निष्कर्ष

गणित में, समिश्र संख्या $a + ib$ एक संख्या प्रणाली का एक तत्व है जिसमें वास्तविक संख्याएँ होती हैं और एक विशेष तत्व $i$ द्वारा दर्शाया जाता है जिसे अवास्तविक इकाई कहा जाता है। अन्य श्रेणियों की संख्या जैसी समिश्र संख्याओं में कुछ गुण होते हैं जिनका उपयोग उनके आधार पर प्रश्नों को हल करने में किया जाता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित समिश्र संख्याओं का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।

• $1 + i$
• $1 – i$
• $-1 + i$
• $-1 – i$

2. $a$ और $b$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि $z_{1} = z_{2}$

• $z_{1} = 2 + 5i$ and $z_{2} = a + ib$
• $z_{1} = -1 + 2i$ and $z_{2} = a – ib$
• $z_{1} = -3 + 7i$ and $z_{2} = -a + ib$
• $z_{1} = 1 + i$ and $z_{2} = -a – ib$

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