This post is also available in: English
समतुल्य भिन्न वे भिन्न होते हैं जो समान मान का प्रतिनिधित्व करते हैं, भले ही वे भिन्न दिखते हों। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास एक केक है, तो उसे दो बराबर टुकड़ों में काट लें, और उनमें से एक खा लें, आप आधा केक खा चुके होंगे। यदि आप एक केक को आठ बराबर टुकड़ों में काटते हैं और उनमें से चार खाते हैं, तो भी आप आधा केक खा चुके होंगे। ये समतुल्य भिन्न हैं।
आइए समझते हैं कि समतुल्य भिन्न क्या है।
समतुल्य भिन्न क्या होते हैं?
समतुल्य भिन्न वे भिन्न होते हैं जिनमें भिन्न-भिन्न अंश और हर होते हैं लेकिन फिर भी, दो भिन्नों के मान समान होते हैं।
उदाहरण के लिए, $\frac{1}{2}$ और $\frac {3}{6}$ समतुल्य भिन्न हैं। साथ ही, $\frac{6}{12}$, $\frac{1}{2}$ और $\frac {3}{6}$ दोनों के बराबर है। इन दोनों भिन्नों $\frac {3}{6}$, $\frac{6}{12}$ को $\frac{1}{2}$ के निम्नतम रूप में घटाया जा सकता है।
समतुल्य भिन्नों का दृश्य प्रतिनिधित्व
आइए एक वृत्त को बराबर भागों (सेक्टर) में विभाजित करके भिन्न $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ और $\frac{3}{6}$ की कल्पना करें।
इन सभी भिन्नों के अलग-अलग अंश और हर होते हैं। लेकिन वे सभी एक वृत्त के आधे भाग का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, भिन्न $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ और $\frac{3}{6}$ तुल्य भिन्न हैं और ये सभी न्यूनतम/सरल रूप $ में कम हो जाते हैं \frac{1}{2}$.
आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।
इन सभी भिन्नों के भी भिन्न-भिन्न अंश और हर होते हैं। लेकिन वे सभी एक वर्ग के तीन-चौथाई का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, भिन्न $\frac{3}{4}$, $\frac{12}{16}$ और $\frac{48}{64}$ समतुल्य भिन्न हैं और ये सभी न्यूनतम/सरल रूप में घटते हैं $ \frac{3}{4}$.
समतुल्य भिन्नों को कैसे ज्ञात करें?
आप किसी दिए गए भिन्न के समतुल्य भिन्नों को निम्नलिखित विधियों द्वारा पा सकते हैं
- अंश और हर दोनों को एक संख्या से गुणा करके
- अंश और हर दोनों को एक संख्या से विभाजित करके
नोट:
- गुणन विधि का प्रयोग सामान्यतः तब किया जाता है जब दिए गए भिन्न के अंश और हर छोटे होते हैं
- आमतौर पर विभाजित करने की विधि का उपयोग तब किया जाता है जब दिए गए भिन्न के अंश और हर बड़े होते हैं
गुणा करके समतुल्य भिन्न ज्ञात करना
किसी भिन्न का समतुल्य भिन्न ज्ञात करने के लिए अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा करें।
इसे निम्न उदाहरण से समझते हैं।
आप $\frac {5}{7}$ के समतुल्य भिन्नों को ज्ञात करना चाहते हैं। आइए अंश और हर दोनों को $3$, $5$, $6$, $7$, $8$ और $10$ से गुणा करें।
नोट: आप कोई भी संख्या चुन सकते हैं।
$\frac {5}{7}$ के अंश और हर को $3$ से गुणा करेंगे: $\frac {5 \times 3}{7 \times 3}$ = $\frac {15}{21}$
$\frac {5}{7}$ के अंश और हर को $5$ से गुणा करेंगे: $\frac {5 \times 5}{7 \times 5}$ = $\frac {25}{35}$
$\frac {5}{7}$ के अंश और हर को $6$ से गुणा करेंगे: $\frac {5 \times 6}{7 \times 6}$ = $\frac {30}{42}$
$\frac {5}{7}$ के अंश और हर को $7$ से गुणा करेंगे : $\frac {5 \times 7}{7 \times 7}$ = $\frac {35}{49}$
$\frac {5}{7}$ के अंश और हर को $8$ से गुणा करेंगे: $\frac {5 \times 8}{7 \times 8}$ = $\frac {40}{56}$
$\frac {5}{7}$ के अंश और हर को $10$ से गुणा करेंगे: $\frac {5 \times 10}{7 \times 10}$ = $\frac {50}{70}$
$\frac {5}{7}$ के $5$ समतुल्य भिन्न $\frac {15}{21}$, $\frac {25}{35}$, $\frac {30}{42}$, $ हैं \frac {35}{49}$, और $\frac {40}{56}$ हैं।
नोट:
- किसी भी भिन्न के लिए अनगिनत समतुल्य भिन्न होते हैं।
- आप अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करके कितने भी समतुल्य भिन्न ज्ञात कर सकते हैं।
विभाजित करके समतुल्य भिन्न ज्ञात करना
किसी भिन्न के समतुल्य भिन्न ज्ञात करने के लिए अंश और हर दोनों को समान संख्या से भाग दें।
इसे निम्न उदाहरण से समझते हैं।
आप $\frac {42}{126}$ के समतुल्य भिन्नों को ज्ञात करना चाहते हैं।
$42$ के गुणनखंड $1$, $2$, $3$, $6$, $7$, $14$, $21$, और $42$ हैं।
$126$ के गुणनखंड $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $14$, $18$, $21$, $42$, $63$, और $126$ हैं।
$42$ और $126$ के सामान गुणनखंड $1$, $2$, $3$, $6$, $14$, $21$, और $42$ हैं
आप अंश और हर को इनमें से किसी भी संख्या से विभाजित कर सकते हैं – $2$, $3$, $6$, $14$, $21$, और $42$।
नोट: $1$ को समान संख्या में $1$ परिणामों से विभाजित करने के रूप में नहीं माना जाता है।
$\frac {42}{126}$ के अंश और हर को $2$ से विभाजित करेंगे: $\frac {42 \div 2}{126 \div 2}$ = $\frac {21}{63}$
$\frac {42}{126}$ के अंश और हर को $3$ से विभाजित करेंगे: $\frac {42 \div 3}{126 \div 3}$ = $\frac {14}{42}$
$\frac {42}{126}$ के अंश और हर को $6$ से विभाजित करेंगे: $\frac {42 \div 6}{126 \div 6}$ = $\frac {7}{21}$
$\frac {42}{126}$ के अंश और हर को $14$ से विभाजित करेंगे: $\frac {42 \div 14}{126 \div 14}$ = $\frac {3}{9}$
$\frac {42}{126}$ के अंश और हर को $21$ से विभाजित करेंगे: $\frac {42 \div 21}{126 \div 21}$ = $\frac {2}{6}$
$\frac {42}{126}$ के अंश और हर को $42$ से विभाजित करेंगे: $\frac {42 \div 42}{126 \div 42}$ = $\frac {1}{3}$
$6$ के बराबर भिन्न $\frac {42}{126}$ हैं, $\frac {21}{63}$, $\frac {14}{42}$, $\frac {7}{21}$, $ \frac {3}{9}$, $\frac {2}{6}$ और $\frac {1}{3}$।
आप कैसे ज्ञात करेंगे कि भिन्न समतुल्य हैं?
आप भिन्नों को सरल बनाकर जांच सकते हैं कि दो या दो से अधिक भिन्न समतुल्य हैं या नहीं। सरलीकरण की प्रक्रिया के पीछे का विचार यह है कि सरलतम रूप में लिखे जाने पर प्रत्येक समतुल्य अंश उसी भिन्न में कम हो जाता है।
दी गई भिन्न समतुल्य हैं या नहीं, यह जाँचने के लिए आप जिन विधियों का उपयोग कर सकते हैं, वे हैं
- हर को समान बनाना
- भिन्न को दशमलव में बदलना
- क्रॉस गुणन विधि
आइए इन तरीकों को एक-एक करके इस्तेमाल करते हैं।
हर को समान बनाना
दो या दो से अधिक समतुल्य भिन्नों के हरों को L.C.M ज्ञात करके समान बनाया जा सकता है। भिन्नों के हरों से।
आइए प्रक्रिया को समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें।
Ex 1: $ \frac {12}{20}$ और $ \frac {18}{30}$
दो हर $20$ और $30$ हैं।
$20$ और $30$ का LCM $60$ है।
पहले अंश के लिए $60 \div 20 = 3$
दूसरे अंश के लिए $60 \div 30 = 2$
अब, पहले भिन्न के अंशों और हरों को $3$ और दूसरे को $2$ से गुणा करें।
$ \frac {12 \times 3}{20 \times 3} = \frac {36}{60}$
$ \frac {18 \times 2}{30 \times 2} = \frac {36}{60}$
चूँकि, दोनों भिन्न $ \frac {12}{20}$ और $ \frac {18}{30}$ को \frac {36}{60}$ के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए ये भिन्न समतुल्य भिन्न हैं।
Ex 2: $ \frac {18}{36}$ और $ \frac {5}{9}$
$36$ और $9$ का LCM $36$ है।
पहले अंश के लिए $36 \div 36 = 1$
दूसरे अंश के लिए $36 \div 9 = 4$
नोट: $ \frac {18}{36}$ के लिए प्राप्त भागफल $1$ है, इसलिए, गुणा करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि किसी भी संख्या को $1$ से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है।
दूसरे भिन्न के अंश और हर को $4$ से गुणा करें।
$ \frac {5 \times 4}{9 \times 4} = \frac {20}{36}$
चूंकि भिन्न $ \frac {18}{36}$ और $ \frac {20}{36}$ समान नहीं हैं, इसलिए भिन्न $ \frac {18}{36}$ और $ \frac {5} {9}$ समतुल्य नहीं हैं।
भिन्न को दशमलव में बदल कर
दो या दो से अधिक भिन्न समतुल्य भिन्न होंगे यदि वे एक ही दशमलव संख्या में परिवर्तित होते हैं।
Ex 1: $\frac {12}{18}$ और $\frac {4}{6}$
$\frac {12}{18} = 0.666666…$
$\frac {4}{6} = 0.666666…$
यहाँ, दोनों भिन्नों का दशमलव प्रतिनिधित्व $0.666666…$ है, इसलिए, ये भिन्न समतुल्य भिन्न हैं।
Ex 2: $\frac {5}{12}$ और $\frac {35}{48}$
$\frac {5}{12} = 0.666666…$
$\frac {35}{48} = 0.7291666…$
भिन्न $\frac {5}{12}$ और $\frac {35}{48}$ समतुल्य भिन्न नहीं हैं।
क्रॉस गुणन विधि
क्रॉस गुणन विधि में, पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें और फिर पहली भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के अंश से गुणा करें। यदि दो गुणन समान हैं, तो भिन्न समान हैं अन्यथा नहीं।
Ex 1: $\frac {3}{7}$ और $\frac {18}{42}$
$3 \times 42 = 126$ और $7 \times 18 = 126$
$\frac {3}{7}$ और $\frac {18}{42}$ और समतुल्य भिन्न हैं।
Ex 2: $\frac {35}{55}$ और $\frac {60}{75}$
$35 \times 75 = 2625$ और $55 \times 60 = 3300$
$\frac {35}{55}$ और $\frac {60}{75}$ समतुल्य भिन्न नहीं हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित भिन्नों में से प्रत्येक के लिए पाँच समतुल्य भिन्न ज्ञात कीजिए:
- $\frac {1}{2}$
- $\frac {4}{5}$
- $\frac {18}{33}$
- $\frac {65}{75}$
- $\frac {42}{77}$
- जाँच कीजिए कि दी गई भिन्न समतुल्य हैं या नहीं
- $\frac {5}{6}$ and $\frac {45}{54}$
- $\frac {3}{9}$ and $\frac {18}{54}$
- $\frac {7}{13}$ and $\frac {77}{169}$
- $\frac {56}{91}$ and $\frac {49}{84}$
- $\frac {60}{135}$ and $\frac {64}{144}$
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
उदाहरण के साथ समतुल्य भिन्न क्या है?
समतुल्य अंश वे अंश होते हैं जो समान मान का प्रतिनिधित्व करते हैं, भले ही वे अलग-अलग दिखते हों। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास एक केक है, तो उसे दो बराबर टुकड़ों में काट लें और उनमें से एक खा लें, आपने आधा केक खा लिया होगा।
समतुल्य भिन्न कैसे ज्ञात करते हैं?
आप किसी दिए गए भिन्न के समतुल्य भिन्नों को निम्नलिखित विधियों द्वारा पा सकते हैं
a) अंश और हर दोनों को एक संख्या से गुणा करके
b) अंश और हर दोनों को एक संख्या से विभाजित करके
निष्कर्ष
दो या दो से अधिक भिन्न समतुल्य भिन्न कहलाते हैं यदि उनके अंश और हर अलग-अलग हों लेकिन एक ही मान का प्रतिनिधित्व करते हों। किसी भी भिन्न के लिए अनगिनत समतुल्य भिन्न मौजूद होते हैं और इन समतुल्य भिन्नों को इन विधियों में से किसी एक का उपयोग करके जाँचा जा सकता है – हर को समान बनाकर, भिन्नों को दशमलव में परिवर्तित करके, या क्रॉस गुणन विधि द्वारा।
