सबसे बड़ी ज्ञात संख्या

यदि आपने कभी पूछा है कि गणित के पाठ के दौरान सबसे बड़ी संख्या क्या है, तो इस बात की काफी संभावना है कि कोई व्यक्ति उत्तर के साथ आएगा: “यह आसान है! यह निश्चित रूप से अनंत (इंफिनिटी) है!”

अनंत के साथ एकमात्र समस्या यह है कि यह एक संख्या नहीं है, जैसा कि निम्नलिखित तथ्य से प्रदर्शित होता है।

Infinity + 1 = infinity और यहाँ तक कि infinity^infinity = infinity.

इसके अलावा, अनंत एक निश्चित संख्या नहीं है। यह एक अवधारणा है। और यह सबसे बड़ी संख्या है जिसके बारे में आप सोचने की कोशिश कर रहे हैं। फिर मनुष्यों को ज्ञात सबसे बड़ी संख्या कौन सी है?

प्राचीन ग्रीस में, गणितज्ञ आर्किमिडीज ने यह सिद्धांत दिया था कि हमें अब तक की सबसे बड़ी संख्या ब्रह्मांड में रेत के कुल अनाज की आवश्यकता होगी।

सबसे बड़ी ज्ञात संख्या

आइए मनुष्यों के लिए ज्ञात कुछ सबसे बड़ी संख्याओं को देखें।

1. गूगोल

यह एक बड़ी संख्या है, अकल्पनीय रूप से बड़ी है। घातांक प्रारूप में लिखना आसान है: 10¹⁰⁰, एक अत्यंत कॉम्पैक्ट विधि, आसानी से सबसे बड़ी संख्या (और सबसे छोटी संख्या) का प्रतिनिधित्व करने के लिए।

आप इसे छोटे से छोटे प्रयास के साथ पूर्ण प्रारूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं: एक “एक” के बाद एक सौ “शून्य”। हालाँकि, इसके घातीय प्रारूप में, इसे आसानी से पढ़ा जा सकता है; पूर्ण प्रारूप में, आप “बिलियन” शब्द को “दस अरब अरबों अरबों अरबों …” शब्द का उपयोग करने की संख्या की गिनती खो सकते हैं। आदि।”।

किसी भी मामले में, हम हद की सराहना करना भी शुरू नहीं कर सकते। यहां तक कि सिर्फ एक गूगोल के साथ, हमारा सामना एक ऐसी संख्या से होता है जो ब्रह्मांड का वर्णन करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली किसी भी चीज़ से बड़ी होती है जिसे हम समझते हैं। उदाहरण के लिए, हमारी आकाशगंगा लगभग सौ अरब तारों से बनी है। घातीय रूप में, लगभग 10¹¹ तारे। सूर्य का द्रव्यमान 2×10³³ ग्राम है।

इस माप को औसत तारा द्रव्यमान के रूप में उपयोग करके, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि हमारी आकाशगंगा का द्रव्यमान (दृश्यमान) लगभग 10⁴⁵ ग्राम है। ब्रह्मांड के भीतर, लगभग सौ अरब आकाशगंगाएँ हैं, जो हमारी आकाशगंगा में सितारों की संख्या के बराबर है।

इसलिए हमने मिलकर लगभग 10⁵⁶-10⁵⁷ ग्राम पदार्थ एकत्र किया है। यह पदार्थ अनिवार्य रूप से परमाणुओं के नाभिक से जुड़े बेरियोन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) से बना है, जो हाइड्रोजन से लेकर यूरेनियम (दूसरों के बीच) तक हमारे ब्रह्मांड का हिस्सा हैं।

द्रव्यमान की गणना करते समय, इलेक्ट्रॉनों, जिनका वजन लगभग एक दो-हज़ारवें नाभिक होता है, को आसानी से अनदेखा किया जा सकता है। यह ध्यान में रखते हुए कि एक प्रोटॉन (और न्यूट्रॉन) का द्रव्यमान 1.7 x 10^-24 ग्राम है, हम यह पता लगा सकते हैं कि ब्रह्मांड में मौजूद बेरियोन की संख्या लगभग 10⁸⁰ है।

एक बड़ी संख्या, लेकिन एक गूगोल से काफी कम; सटीक होने के लिए, एक गूगोल के एक अरब के सौवें हिस्से का सौवां हिस्सा। अधिक न्यूट्रिनो और फोटॉन हैं, लेकिन उनकी संख्या भी एक गूगोल की तुलना में काफी कम है। एक गूगोल को पार करने के लिए, हमें सबसे बड़े कंटेनर और उसके सबसे छोटे सापेक्ष भाग की ओर मुड़ना चाहिए।

भौतिकी के संदर्भ में सबसे छोटी लंबाई, जिसे हम जानते हैं, प्लैंक लंबाई है। यह 1.6 x 10^-33 सेंटीमीटर के बराबर होता है। एक घन सेंटीमीटर में, 2.5 x 10⁹⁸ घन होते हैं, जिसकी भुजा प्लैंक लंबाई मापती है। एक गूगोल का दसवां हिस्सा भी नहीं।

पूरे ब्रह्मांड के भीतर, जिसकी त्रिज्या लगभग 10²⁸ सेमी है, इसलिए लगभग 10¹⁸⁴ प्लैंक क्यूब हैं। यह संख्या – ब्रह्मांड में प्लैंक क्यूब्स की संख्या – शायद सबसे बड़ी संख्या है जो हम भौतिक दुनिया के भीतर किसी इकाई को दे सकते हैं।

यदि हम भौतिक आकार को अलग रख दें और गणितीय अमूर्तता के क्षेत्र में बने रहें, तो हम कुछ के बारे में जानते हैं मेरसेंने अभाज्य संख्याएँ जो 2 से शुरू होकर गूगोल से अधिक होती हैं⁵²¹ – 1 (जिसमें 157 अंक शामिल हैं) और 2 के साथ समाप्त होता है^43.112,609 – 1 जिसमें 13 मिलियन आंकड़े शामिल हैं और जो ज्ञात मेर्सन प्राइम नंबरों में सबसे बड़ा माना जाता है (हालांकि हम निस्संदेह भविष्य में और अधिक खोज करेंगे)।

हम एक गूगोल को पार करने में कामयाब रहे हैं, लेकिन हम अभी भी गूगलप्लेक्स की तुलना में छोटी संख्या के साथ काम कर रहे हैं।

2. गूगोलप्लेक्स

एक गूगलप्लेक्स, वास्तव में, 10^{गूगोल} के बराबर है और इसे केवल घातीय प्रारूप में लिखा जा सकता है। एक गूगोल, जो 10¹⁰⁰ के बराबर है, को 10^{10^2} के रूप में भी लिखा जा सकता है; ब्रह्मांड के भीतर समाहित प्लैंक क्यूब संख्या को 10^{10^2,27} के रूप में भी लिखा जा सकता है, हालांकि, एक गोगोलप्लेक्स 10^{10^100} है!

न केवल कागज़ या स्याही पर्याप्त नहीं होगी, बल्कि एक गूगलप्लेक्स को उसके पूर्ण स्वरूप में लिखने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त स्थान या समय नहीं है। यहां तक कि अगर आप लघु वर्णों का उपयोग करके प्रत्येक आकृति को लिखते हैं, तो वे प्लैंक क्यूब में फिट हो सकते हैं, पूरे ब्रह्मांड में पर्याप्त जगह नहीं होगी, जैसा कि हमने देखा है, जिसमें अधिकतम, पहले 10¹⁸⁴ लिखने के लिए पर्याप्त जगह है।

हालाँकि, हमें कई और आंकड़े चाहिए! बदले में, एक गूगलप्लेक्स, हालांकि एक गूगोल से 10⁹⁸ अधिक के बराबर, एक छोटी संख्या माना जा सकता है, एक उदाहरण को उद्धृत करने के लिए, जो कि एक गणितीय संदर्भ में अब तक की सबसे बड़ी संख्या मानी जाती है, जिसे G, ग्राहम की संख्या के रूप में जाना जाता है।

3. स्केवेस संख्या

स्केवेस संख्या एक प्रसिद्ध बड़ी संख्या है, जिसे सामान्यतः 10 के रूप में दिया जाता है^{10^10^34}, जिसे पहली बार 1933 में दक्षिण अफ़्रीकी गणितज्ञ द्वारा व्युत्पन्न किया गया था अभाज्य संख्याओं को शामिल करने वाले प्रमाण में स्टेनली स्क्यूज़। जी एच हार्डी ने एक बार स्केव्स की संख्या को “गणित में किसी भी निश्चित उद्देश्य की पूर्ति करने वाली सबसे बड़ी संख्या” के रूप में वर्णित किया था, हालांकि यह लंबे समय से उस अंतर को खो चुका है।

स्केवेस संख्याएँ – वास्तव में उनमें से दो हैं – उस आवृत्ति के अध्ययन से आई हैं जिसके साथ अभाज्य संख्याएँ आती हैं। n से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या का गॉस का प्रसिद्ध अनुमान, pi(n), u=0 से u=n का 1/(log u) का अभिन्न अंग है; इस इंटीग्रल को Li(n) कहा जाता है।

1914 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन लिटिलवुड ने साबित किया कि pi(x) – Li(x) सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मूल्यों को असीम रूप से ग्रहण करता है। 10²² तक n के सभी मानों के लिए, जो कि अब तक संगणनाओं तक चला गया है, Li(n) एक ओवर एस्टीमेट निकला है। लेकिन लिटिलवुड के परिणाम से पता चला है कि n के कुछ मूल्य से ऊपर यह एक कमतर हो जाता है, फिर n के और भी अधिक मूल्य पर यह फिर से एक ओवर एस्टीमेट बन जाता है, और इसी तरह। यहीं पर स्केवेस संख्या आती है।

स्केवेस ने दिखाया कि, यदि रीमैन परिकल्पना सत्य है, तो पहला क्रॉसिंग e^{e^e^79} से बड़ा नहीं हो सकता। इसे पहला या रीमैन ट्रू स्क्यूज़ नंबर कहा जाता है। आधार 10 में परिवर्तित, मान को 101^{0^10^34} के रूप में, या अधिक सटीक रूप से 10^{10^8.852142×10^33} या 10^{10^8852142197543270606106100452735038.55} के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।

1987 में, डच गणितज्ञ हरमन ते रीले ने नाटकीय रूप से पहले क्रॉसिंग की ऊपरी सीमा को e^{e^27/4}, या लगभग 8.185 × 10³⁷⁰ तक कम कर दिया, जबकि बेज़ और हडसन ने ऊपरी सीमा को 10³¹⁶ कर दिया। किसी भी घटना में, मूल “स्केवेस संख्या” अब केवल ऐतिहासिक रुचि का है। स्क्यूज़ ने सीमा को भी परिभाषित किया यदि रीमैन परिकल्पना गलत है: 10^{10^10^1000}। इसे सेकेंड स्क्यूज़ नंबर के रूप में जाना जाता है।

4. ग्रैहम संख्या

ग्राहम की संख्या एक दिमाग झुकने वाली बड़ी संख्या है। यह संख्या ब्रह्मांड की आयु से बड़ी है, चाहे इसे वर्षों (लगभग 14 अरब वर्ष) या सेकंड (4.3 ” src=”https://s.w.org/images/core/emoji/13.1.0/svg/2716.svg”> 10¹⁷ सेकंड) में मापा जाए।

ग्राहम की संख्या देखने योग्य ब्रह्मांड में परमाणुओं की संख्या से बड़ी है, जिसे 10⁷⁸ और 10⁸² के बीच माना जाता है।

और यह प्रसिद्ध गूगोल, 10¹⁰⁰ (1 के बाद 100 शून्य) से बड़ा है, जिसे 1929 में अमेरिकी गणितज्ञ एडवर्ड कास्नर द्वारा परिभाषित किया गया था और उनके नौ वर्षीय भतीजे, मिल्टन सिरोटा द्वारा नामित किया गया था। यहां तक कि गूगल कंपनी का नाम भी इसी नंबर के नाम पर रखा गया था, हालांकि उनकी स्पेलिंग गलत थी!

ग्राहम की संख्या भी एक गूगोलप्लेक्स से बड़ी है, जो कि 10^{गूगोल} = ₁₀10¹⁰⁰ है।

ग्राहम की संख्या कई अन्य बड़ी संख्याओं की तुलना में बहुत बड़ी है जैसे कि स्केव्स संख्या और मोजर की संख्या, जो दोनों एक गूगोलप्लेक्स की तुलना में बहुत बड़ी हैं। इनके साथ के रूप में, यह इतना बड़ा है कि देखने योग्य ब्रह्मांड में ग्राहम की संख्या का एक सामान्य डिजिटल प्रतिनिधित्व होता है, यह मानते हुए कि प्रत्येक अंक एक प्लैंक वॉल्यूम (10 ^ (-35) सेमी) पर कब्जा कर लेता है, संभवतः सबसे छोटा मापनीय स्थान। लेकिन ग्राहम की संख्या के इस डिजिटल प्रतिनिधित्व में अंकों की संख्या भी इतनी बड़ी संख्या होगी कि इसका डिजिटल प्रतिनिधित्व अवलोकन योग्य संख्या में नहीं किया जा सकता है। न ही उस संख्या के अंकों की संख्या- इत्यादि भी हो सकती है।

₃3³ = 3²⁷ = 7,625,597,484,987 और 3^{7,625,597,484,987} ग्राहम की संख्या है।

ग्राहम की संख्या की तुलना में निम्नलिखित आंकड़े देखें:

10⁸: मानव इतिहास में अब तक प्रकाशित पुस्तकों की संख्या।

10¹⁰: बड़े धमाके के बाद के वर्ष और यीशु मसीह के जीवित रहने के बाद के सेकंडों की संख्या।

10¹¹: आकाशगंगा में तारों की संख्या।

10¹⁷: बिग बैंग के बाद से सेकंड की संख्या।

10⁸⁰: ब्रह्मांड में परमाणुओं की संख्या के लिए सामान्य अनुमान।

10¹⁰⁰: अनाज की रेत की संख्या जो ब्रह्मांड में फिट हो सकती है।

10¹²²: ब्रह्मांड में जितने प्रोटॉन आप फिट कर सकते हैं।