वितरणात्मक गुण – अर्थ और उदाहरण

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गणित में, वितरणात्मक गुण संख्याओं के मूल गुणों में से एक है और यह गणितीय अभिव्यक्तियों को छोटे मानों में विभाजित करके सरल बनाने में आपकी सहायता करता है।

जैसा कि वितरण शब्द से ज्ञात होता है, वितरणात्मक गुण हमें गुणा करते समय संख्याओं (आमतौर पर बड़ी संख्या) को छोटे मानों में विभाजित करने की अनुमति देती है, जिससे हमारी गणना आसान हो जाती है।

वितरणात्मक गुण क्या है?

वितरणात्मक गुण बताता है कि यदि किसी पद को कोष्ठक में व्यंजक से गुणा किया जा रहा है, तो गुणन प्रत्येक पद पर किया जाता है।

गणितीय रूप से इसे इस प्रकार कहा जा सकता है:

यदि $A$, $B$, और $C$ कोई तीन संख्याएँ हैं तो,

• जोड़ के लिए: $A \times \left(B + C \right) = A \times B + A \times C$
• घटाव के लिए: $A \times \left(B – C \right) = A \times B – A \times C$

नोट 

• इस गुण के दो रूप हैं:
  • जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण
  • घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण
• वितरणात्मक गुण भाग के लिए नहीं है

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण बताता है कि $A \times \left(B + C \right) = A \times B + A \times C$

आइए इस उदाहरण से जोड़ पर गुणन के वितरणात्मक गुण को समझते हैं।

तीन संख्याओं $A = 5$, $B = 7$ और $C = 3$ को लेते हैं।

स्टेटमेंट का बायीं ओर $5 \times \left(7 + 3 \right) = 5 \times 10 = 50$ हो जाता है

और स्टेटमेंट का दायीं ओर $5 \times 7 + 5 \times 3 = 35 + 15 = 50$ हो जाता है

दोनों का परिणाम समान है ($=50$)।

$A = 18$, $B = 23$ और $C = 32$ लेकर एक और उदाहरण लेते हैं।

स्टेटमेंट का बायीं ओर $18 \times \left(23 + 32 \right) = 18 \times 55 = 990$ हो जाता है।

और स्टेटमेंट का दायीं ओर $18 \times 23 + 18 \times 32 = 414 + 576 = 990$ हो जाता है।

दोनों का परिणाम एक ही है ($=990$)।

इसलिए, जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण के आधार पर हम कह सकते हैं कि परिणाम वही रहता है, भले ही ऑपरेशन को विभाजित करके / संख्याओं को जोड़कर वितरित किया जाता है।

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण बताता है कि $A \times \left(B – C \right) = A \times B – A \times C$

आइए इस उदाहरण से घटाव पर गुणन के वितरणात्मक गुण को समझते हैं।

तीन संख्याओं $A = 5$, $B = 7$ और $C = 3$ को लेते हैं।

स्टेटमेंट का बायीं ओर $5 \times \left(7 – 3 \right) = 5 \times 4 = 20$ हो जाता है

और स्टेटमेंट का दायीं ओर $5 \times 7 – 5 \times 3 = 35 – 15 = 20$ . हो जाता है

दोनों का परिणाम समान है ($=20$)।

$A = 18$, $B = 23$ और $C = 32$ लेकर एक और उदाहरण देखें।

स्टेटमेंट का बायीं ओर $18 \times \left(23 – 32 \right) = 18 \times \left(-9 \right) = -162$ हो जाता है।

और और स्टेटमेंट का दायीं ओर $18 \times 23 – 18 \times 32 = 414 – 576 = -162$ हो जाता है।

दोनों का परिणाम समान है ($=-162$)।

इसलिए, घटाव के वितरणात्मक गुण के आधार पर हम कह सकते हैं कि गुणनफल वही रहता है, भले ही संक्रिया को विभाजित करके / घटाकर संख्याओं को तोड़कर वितरित किया जाता है।

क्या गुणन का वितरणात्मक गुण सभी श्रेणियों की संख्याओं पर लागू होता है?

दोनों रूपों में गुणन का वितरणात्मक गुण – जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण किसी भी वास्तविक संख्या के साथ अच्छी तरह से काम करता है।

नोट:वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय, पूर्ण संख्याओं का समुच्चय, पूर्णांकों का समुच्चय, परिमेय संख्याओं का समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ

किन्हीं तीन पूर्ण संख्याओं $10$, $15$ और $12$ को लेते हैं।

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B + C \right) = A \times B + A \times C$

$10 \times \left(15 + 12 \right) = 10 \times 15 + 10 \times 12$

$=>10 \times 27 = 150 + 120 => 270 = 270$

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B – C \right) = A \times B – A \times C$

$10 \times \left(15 – 12 \right) = 10 \times 15 – 10 \times 12$

$=>10 \times 3 = 150 – 120 => 30 = 30$

पूर्णांक

किन्हीं तीन पूर्णांकों $-11$, $B=+16$ and $C=-14$ को लेते हैं।

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B + C \right) = A \times B + A \times C$

$-11 \times \left(16 + \left(-14 \right) \right) = -11 \times 16 + \left(-11 \right) \times \left(-14 \right)$

$=>-11 \times \left(16 – 14 \right) = -176 + 154$

$=>-11 \times 2 = -22$ $=>-22 = -22$

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B – C \right) = A \times B – A \times C$

$-11 \times \left(16 – \left(-14 \right) \right) = -11 \times 16 – \left(-11 \right) \times \left(-14 \right)$

$=>-11 \times \left(16 + 14\right) = -176 – 154$

$=>-11 \times 30 = -330$ $=>-330= -330$

दशमलव संख्याएँ

किन्हीं तीन दशमलव संख्याओं $A = 2.5$, $B = 5.6$ and $C = 0.8$ को लेते हैं।

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B + C \right) = A \times B + A \times C$

$2.5 \times \left(5.6 + 0.8 \right) = 2.5 \times 5.6 + 2.5 \times 0.8$

$=>2.5 \times 6.4 = 14 + 2$

$=>16 = 16$

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B – C \right) = A \times B – A \times C$

$2.5 \times \left(5.6 – 0.8 \right) = 2.5 \times 5.6 – 2.5 \times 0.8$

$=>2.5 \times 4.8 = 14 – 2$

$=>12 = 12$

भिन्न

किन्हीं तीन भिन्नों $A = \frac {1}{2}$, $B = \frac {2}{3}$ and $C = \frac {3}{4}$ को लेते हैं।

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B + C \right) = A \times B + A \times C$

$\frac {1}{2} \times \left( \frac {2}{3} +  \frac {3}{4} \right) = \frac {1}{2} \times  \frac {2}{3} + \frac {1}{2} \times  \frac {3}{4}$

$=>\frac {1}{2} \times \frac{17}{12} = \frac {1}{3} + \frac {3}{8}$

$=>\frac {17}{24} = {17}{24}$

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B – C \right) = A \times B – A \times C$

$\frac {1}{2} \times \left( \frac {2}{3} –  \frac {3}{4} \right) = \frac {1}{2} \times  \frac {2}{3} – \frac {1}{2} \times  \frac {3}{4}$

$=>\frac {1}{2} \times \left(-\frac{1}{12}\right) = \frac {1}{3} – \frac {3}{8}$

$=>-\frac {1}{24} = -\frac {1}{24}$

अपरिमेय संख्याएँ

किन्हीं तीन अपरिमेय संख्याओं $A = 2\sqrt{3}$, $B = 3\sqrt{2}$ and $C = 5\sqrt{2}$।

जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B + C \right) = A \times B + A \times C$

$2\sqrt{3} \times \left(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} \right) = 2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \times 5\sqrt{2}$

$=>2\sqrt{3} \times 8\sqrt{2} = 6\sqrt{6} + 10\sqrt{6}$

$=>16\sqrt{6} = 16\sqrt{6}$

घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण

हम सत्यापित करना चाहते हैं कि $A \times \left(B – C \right) = A \times B – A \times C$

$2\sqrt{3} \times \left(3\sqrt{2} – 5\sqrt{2} \right) = 2\sqrt{3} \times 3\sqrt{2} – 2\sqrt{3} \times 5\sqrt{2}$

$=>2\sqrt{3} \times \left(-2\sqrt{2}\right) = 6\sqrt{6} – 10\sqrt{6}$

$=>-4\sqrt{6} = -4\sqrt{6}$

क्या जोड़ पर भाग का वितरणात्मक गुण लागू होता है?

आइए सत्यापित करें कि क्या जोड़ पर भाग का वितरणात्मक गुण सत्य है, अर्थात,

$A \div \left(B + C \right) = A \div B + A \div C$

फिर से किन्हीं तीन संख्याओं $A = 5$, $B = 2$ और $C = 3$ को लेते हैं 

LHS = $5 \div \left(2 + 3 \right) = 5 \div 5 = 1$

RHS = $5 \div 2 + 5 \div 3 = 2.5 + 1.67 = 4.17$

चूंकि, LHS $\ne$ RHS, इसलिए, जोड़ पर भाग का वितरणात्मक गुण लागू नहीं होता है।

क्या घटाव पर भाग का वितरणात्मक गुण लागू होता है?

आइए समान संख्याओं को पुनः लेते हैं: $A = 5$, $B = 2$ और $C = 3$

LHS = $ 5 \ div \left (2 – 3 \right) = 5 \div \left (-1 \right) = -5 $

RHS = $5 \div 2 – 5 \div 3 = 2.5 – 1.67 = 0.83$

चूंकि, LHS $\ne$ RHS, इसलिए, घटाव पर वितरणात्मक गुण लागू नहीं होता है।

निष्कर्ष

जोड़ और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक गुण बताता है कि परिणाम समान रहता है, भले ही जब किसी संख्या को किसी अन्य संख्या से गुणा किया जाता है या उसके कुछ हिस्सों को जोड़कर या घटाकर विभाजित किया जाता है। यह गुणन के साथ लागू होता है परन्तु भाग के साथ नहीं।

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित संख्याओं के समूह के लिए जोड़ और घटाव पर गुणन के वितरणात्मक गुण की पुष्टि करें

• $A = 2$, $B = 7$, $C = 3$
• $A = -1$, $B = 4$, $C = 2$
• $A = 0.5$, $B = 2$, $C = 0.3$

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