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गणित के कई क्षेत्रों में रिलेशन और फंक्शन की अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है और कई बार छात्र इन दोनों अवधारणाओं के बीच के अंतर को पहचानने में असफल हो जाते हैं। किसी फ़ंक्शन को किसी रिलेशन से अलग करने के कई अन्य तरीकों में, सबसे आसान तरीका वर्टिकल लाइन टेस्ट का उपयोग करना है। यह किसी फ़ंक्शन को किसी रिलेशन से अलग करने की एक विजूअल तकनीक है।
गणित में रिलेशन क्या है?
गणित में रिलेशन्स का उपयोग दो सेटों के तत्वों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। वे एक सेट के तत्वों (जो डोमेन के रूप में जाना जाता है) को दूसरे सेट (जिसे रेंज कहा जाता है) के तत्वों को मैप करने में मदद करते हैं जिससे आर्डरड पेअर (इनपुट, आउटपुट) बनते हैं।
मान लीजिए कि दो समुच्चय (सेट) $X = \{ 4, 36, 49, 50 \} $ और $Y = \{1, -2, -6, -7, 7, 6, 2 \}$ हैं। एक रिलेशन जो बताता है कि “$ \left( x, y \right) $ $ R $ के संबंध में है यदि $x$ $y$ का एक वर्ग है” को आदेशित जोड़े का उपयोग करके $R = \{ \left( 4, -2 \right), \left(4, 2 \right), \left( 36, -6 \right), \left(36, 6 \right), \left(49, -7 \right) , \left(49, 7 \right) \}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
आरेखीय रूप से, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
गणित में एक फंक्शन क्या है?
फ़ंक्शन एक ऐसा रिलेशन है जो एक नॉन-एम्प्टी सेट $A$ के प्रत्येक तत्व ‘$a$’ को कम से कम एक अन्य नॉन-एम्प्टी सेट $B$ के एक तत्व ‘$b$’ से जोड़ता है। एक सेट $A$ से एक रिलेशन $f$ ( फ़ंक्शन का डोमेन) दूसरे सेट $B$ (फ़ंक्शन का सह-डोमेन) को गणित में फ़ंक्शन कहा जाता है। $ f = \{ \left(a,b \right)|$, for all $a \in A, b \in B \}$ के लिए रिलेशन को एक फ़ंक्शन कहा जाता है यदि सेट $A$ के प्रत्येक तत्व में सेट $B$ में एक और केवल एक इमेज हो।
उदाहरण के लिए, किसी संख्या के वर्ग का प्रतिनिधित्व करने वाले फ़ंक्शन को “$f \left( x \right) = x^{2}$ ” के रूप में लिखा जा सकता है। इसे $x$ का $f$ $x$ वर्ग के बराबर कहा जाता है। इसे $f = \{ \left(1,1 \right), \left(2,4 \right), \left(3,9 \right) \}$ के रूप में दर्शाया गया है। किसी फ़ंक्शन का डोमेन और रेंज $D = \{1, 2, 3 \}$, $R= \{1,4, 9 \}$ के रूप में दिया जाता है। यहाँ गणित में एक क्रमबद्ध जोड़ी के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व है।
आरेखीय रूप से, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
रिलेशन और फंक्शन के बीच अंतर
परिभाषा के अनुसार, रिलेशन और फंक्शन काफी समान प्रतीत होते हैं लेकिन वास्तव में, उनके बीच एक बड़ा अंतर है। ये वे बिंदु हैं जो एक रिलेशन और एक फंक्शन के बीच अंतर करते हैं।
- यदि सेट $ \left( x, y \right) $ आदेशित जोड़े का एक संग्रह है, जहाँ $x$ सेट $A$ से है जबकि $y$ सेट $B$ से है। तब हम कहते हैं कि $x$, $y$ से संबंधित है। ऐसे सेट्स के समूह को रिलेशन कहते हैं।
- एक फ़ंक्शन में, ठीक एक $x$ को कुछ $y$ के साथ जोड़ा जा सकता है, जहां $x$ सेट $A$ से है और $y$ सेट $B$ से है।
- सभी फंक्शन रिलेशन हैं, लेकिन सभी रिलेशन फंक्शन नहीं हैं। ऐसा इसलिए है, क्योंकि एक फंक्शन में, एक इनपुट केवल एक आउटपुट से कनेक्ट हो सकता है और एक से अधिक नहीं, जबकि रिलेशन में ऐसी कोई शर्त नहीं होती है।
- यह कहा जा सकता है कि एक फ़ंक्शन में एक-कई रिलेशन नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि एक वस्तु एक फ़ंक्शन में कई वस्तुओं के साथ जोड़ी नहीं बना सकती है।
- एक फ़ंक्शन में अनेक-एक रिलेशन मान्य है। एक ही वस्तु के साथ कई अलग-अलग वस्तुओं को जोड़ा जा सकता है।
वर्टिकल लाइन टेस्ट क्या है?
एक वर्टीकल लाइन टेस्ट यह पता लगाने में मदद करता है कि ग्राफ एक फ़ंक्शन है या नहीं। एक समन्वय प्रणाली में वर्टीकल लाइन अनंत बिंदुओं के एक सेट का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें समान $x$ समन्वय मान होते हैं और इसके प्रत्येक बिंदु के लिए अलग-अलग $y$ समन्वय मान होते हैं। वर्टीकल लाइन $y$-अक्ष के समानांतर खींची जाती है, यदि यह वक्र को एक अलग बिंदु पर काटती है तो इसमें दिए गए $x$ मान के लिए एक $y$-मान होता है और यह फ़ंक्शन की मूल परिभाषा का अनुसरण करता है और इसलिए ग्राफ एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है, अन्यथा नहीं।
निष्कर्ष
गणित में प्रत्येक फंक्शन एक संबंध है, लेकिन प्रत्येक रिलेशन एक फलन नहीं है। वर्टीकल लाइन टेस्ट यह जांचने का सबसे आसान और तेज़ तरीका है कि दिया गया रिलेशन एक फंक्शन है या नहीं।
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