संख्याओं का योगात्मक तत्समक (परिभाषा और उदाहरण)

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गणित में, आप विभिन्न प्रकार की संक्रियाएँ करते हैं। संख्याओं के साथ उपयोग किए गए ऑपरेटर के आधार पर इन परिचालनों के परिणामस्वरूप विभिन्न प्रकार के आउटपुट होते हैं। कभी-कभी परिणाम वही रहता है या कुछ विशिष्ट मान वाले चुनी गयी संख्याओं के बावजूद।

ऐसी संख्याओं या तत्वों में से एक को योगात्मक सर्वसमिका कहते हैं। इस लेख में, आप इन विशेष संख्याओं के बारे में जानेंगे – योगात्मक तत्समक।

योगात्मक तत्समक क्या है?

योगात्मक तत्समक जोड़ की प्रक्रिया से संबंधित है और जैसा कि ‘पहचान’ शब्द का अर्थ है, योगात्मक तत्समक एक संख्या है जिसे जब किसी संख्या में जोड़ा जाता है तो वह परिणाम देता है जो संख्या के समान होता है।

जोड़ के मामले में, ऐसी संख्या ‘$0$’ (शून्य) है। आपने देखा होगा कि जब किसी संख्या में $0$ जोड़ा जाता है, तो परिणाम हमेशा वही संख्या होता है।

उदाहरण के लिए, $12 + 0 = 0 + 12 = 12$। आप यहां देखते हैं कि जब $0$ को $12$ में जोड़ा जाता है, तो परिणाम स्वयं संख्या यानी $12$ होता है। आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। $ -395 + 0 = 0 + \left(-395 \right) = -395 $। यहाँ भी $0$ जोड़ने के बाद भी परिणाम वही रहता है। इसका मतलब है कि $-395$ के लिए भी, तत्समक तत्व $0$ है।

सामान्य तौर पर, हम कह सकते हैं कि किसी भी संख्या $a$ के लिए, $0$ को एक योगात्मक तत्समक कहा जाता है, जैसे $a + 0 = 0 + a = a$।

अधिकांश संख्याओं के समुच्चय के लिए योगात्मक तत्समक मौजूद होती है। अभी भी कुछ संख्याएँ हैं, जहाँ योगात्मक तत्समक मौजूद नहीं है। आइए जानें कि संख्याओं के किस समूह में योगात्मक तत्समक है और जिसके लिए योगात्मक तत्समक मौजूद नहीं है।

प्राकृतिक संख्याओं का योगात्मक तत्समक

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जो $1$ से शुरू होता है और $2$, $3$, $4$, इत्यादि पर जाता है। $N = \{1, 2, 3, 4, …\}$ है। 

यहाँ, आपने देखा है कि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में कोई संख्या $0$ नहीं है। इस प्रकार, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की योगात्मक तत्समक नहीं होता है।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण होता है, जबकि योगात्मक तत्समक गुण नहीं होता है।

पूर्ण संख्याओं का योगात्मक तत्समक

पूर्ण संख्याओं का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जो $0$ से शुरू होता है और $1$, $2$, $3$, और इसी तरह आगे बढ़ता है। अर्थात $W = \{0, 1, 2, 3, …\}$।

यहां, आपने देखा है कि पहली संख्या $0$ है जो कि योगात्मक तत्समक है। इस प्रकार, पूर्ण संख्याओं के समुच्चय की एक योगात्मक तत्समक होता है।

पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण और योगात्मक तत्समक गुण होता है।

पूर्णांकों का योगात्मक तत्समक

पूर्णांकों का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जिसमें सभी प्राकृतिक संख्याएँ $1$, $2$, $3$, … और उनके संगत ऋणात्मक मान $-1$, $-2$, $-3$,… सहित $0$ होते हैं। , अर्थात, $Z = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … \}$।

आपने देखा है कि संख्या $0$ पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ में मौजूद है, इस प्रकार, पूर्णांकों के समुच्चय की एक योगात्मक तत्समक होता है।

पूर्णांकों के समुच्चय में, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण और योगात्मक तत्समक गुण होता है।

परिमेय संख्याओं का योगात्मक तत्समक

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक हैं और $q \ne 0$।

साथ ही, प्रत्येक पूर्ण संख्या जैसे $0$, $1$, $2$, … को $\frac {0}{1}$, $\frac {1}{1}$, $\frac {2}{1}, …$  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है , इसलिए, $0$ एक परिमेय संख्या है और एक योगात्मक तत्समक है, और इसलिए, परिमेय संख्याओं के समुच्चय में एक योगात्मक तत्समक होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय में, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, गुणनात्मक तत्समक गुण और योगात्मक तत्समक गुण होता है।

अपरिमेय संख्याओं का योगात्मक तत्समक

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दशमलव के रूप में व्यक्त करने पर असांत और अनावर्ती दशमलव स्थान होते हैं।

$0$ जो एक योगात्मक तत्समक है एक सांत दशमलव संख्या है $\left(0.0\right)$, इसलिए, $0$ एक अपरिमेय संख्या नहीं है और इसलिए, अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय में योगात्मक तत्समक नहीं होता है।

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय में, गुण – क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण होता है, लेकिन संवरक गुण, योगात्मक तत्समक गुण और गुणनात्मक तत्समक गुण नहीं होता है।

संख्या श्रेणी	क्या योगात्मक तत्समक मौजूद है?
प्राकृतिक संख्याएं	नहीं
पूर्ण संख्याएं	हाँ
पूर्णांक	हाँ
परिमेय संख्याएं	हाँ
अपरिमेय संख्याएं	नहीं
वास्तविक संख्याएं	हाँ

योगात्मक तत्समक और गुणनात्मक तत्समक के बीच अंतर

संख्याओं की योगात्मक तत्समक और गुणनात्मक तत्समक के बीच ये अंतर हैं।

योगात्मक तत्समक	गुणनात्मक तत्समक
इसका उपयोग जोड़ प्रक्रिया में होता है	इसका उपयोग गुणन प्रक्रिया में होता है
$0$ योगात्मक तत्समक है	$0$ गुणनात्मक तत्समक है
$a + 0 = 0 + a = a$ के रूप में व्यक्त	a \times 1 = 1 \times a = a$ के रूप में व्यक्त
उदाहरण: $56 + 0 = 0 + 56 = 56$	उदाहरण: $39 \times 1 = 1 \times 39 = 39$

निष्कर्ष

योगात्मक तत्समक वह संख्या है जिसे किसी संख्या में जोड़ने पर वही परिणाम प्राप्त होता है। $0$ गणित में प्रयुक्त संख्याओं की योगात्मक तत्समक है। कुछ समुच्चयों की योगात्मक तत्समक होता है, जबकि कुछ समुच्चय ऐसे होते हैं जिनकी योगात्मक तत्समक नहीं होता है।

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. निम्नलिखित में से कौन संख्याओं के लिए योगात्मक तत्समक है?
   • $1$
   • $0$
   • $-1$
   • इनमें से कोई भी नहीं
2. निम्नलिखित में से किस समुच्चय का योगात्मक तत्समक है?
   • प्राकृतिक संख्याएं
   • पूर्ण संख्याएं
   • पूर्णांक
   • परिमेय संख्याएं
   • वास्तविक संख्याएं
3. निम्नलिखित में से किस समुच्चय का योगात्मक तत्समक नहीं है?
   • प्राकृतिक संख्याएं
   • पूर्ण संख्याएं
   • पूर्णांक
   • परिमेय संख्याएं
   • वास्तविक संख्याएं
4. योगात्मक तत्समक जो किसी संख्या में जोड़ने पर वही परिणाम देती है
   • सही 
   • गलत
5. योगात्मक तत्समक जिसे किसी संख्या से गुणा करने पर वही परिणाम मिलता है
   • सही 
   • गलत
6. योगात्मक तत्समक जिसे किसी संख्या से विभाजित करने पर वही परिणाम मिलता है
   • सही 
   • गलत

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