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जब आप ‘प्रतिलोम’ शब्द के बारे में सोचते हैं तो आपके दिमाग में क्या आता है? प्रतिलोम मतलब कुछ विपरीत। तो, योगज प्रतिलोम’ शब्द का क्या अर्थ हो सकता है?
योगज प्रतिलोम शब्द योगात्मक तत्समक शब्द से संबंधित है। किसी संख्या का योगज प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे संख्या में जोड़ने पर योगात्मक तत्समक मिलता है।
उदाहरण के लिए, $5$ का योगज प्रतिलोम $-5$ है, क्योंकि $5 + \left(-5 \right) = 0$।
आइये समझते हैं कि योगज प्रतिलोम क्या है और योगज प्रतिलोम अर्थ क्या है।
योगज प्रतिलोम क्या है? – योगज प्रतिलोम अर्थ
किसी संख्या का योगज प्रतिलोम उसकी विपरीत संख्या होती है। यदि किसी संख्या को उसके योगज प्रतिलोम में जोड़ा जाता है, तो दोनों संख्याओं का योग $0$ (शून्य) हो जाता है।
योगज प्रतिलोम कैसे ज्ञात करें
अब समझते हैं कि योगज प्रतिलोम कैसे ज्ञात करें।
किसी संख्या का योगज प्रतिलोम प्राप्त करने का सरल नियम किसी संख्या के चिह्न को बदलना है, अर्थात,
- धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या में बदलें
- ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या में बदलें
उदाहरण के लिए, $8$ का योगज प्रतिलोम $-8$ है और $-6$ का योगज प्रतिलोम $6$ है।
ध्यान दें कि $8 + \left(-8 \right) = 0$ और $-6 + 6 = 0$। जोड़ और घटाव के बारे में अधिक जानने के लिए पूर्णांकों का जोड़ और घटाव देखें।
नोट: $0$ किसी भी संख्या की योगज तत्समक है।
आइए जानें कि किन संख्याओं के समुच्चय में योगज प्रतिलोम होता है।
प्राकृतिक संख्याओं का योगज प्रतिलोम
प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जो $1$ से शुरू होता है और $2$, $3$, $4$, इत्यादि पर जाता है। वह $N = \{1, 2, 3, 4, …\}$ है।
आपने ऊपर देखा कि किसी भी धनात्मक संख्या के लिए उसका योगज प्रतिलोम एक ऋणात्मक संख्या होती है। चूँकि प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में कोई ऋणात्मक संख्या नहीं होती है, इसलिए प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में संख्याओं का योगज प्रतिलोम नहीं होता है।
प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, और गुणनात्मक तत्समक होती हैं, लेकिन योगात्मक तत्समक गुण, योगज प्रतिलोम गुण, और गुणनात्मक प्रतिलोम गुण धारण नहीं करते हैं।
पूर्ण संख्याओं का योगज प्रतिलोम
पूर्णांकों का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जो $0$ से शुरू होता है और $1$, $2$, $3$, और इसी तरह आगे बढ़ता रहता है। यानी $W = \{0, 1, 2, 3, …\}$।
आपने ऊपर देखा कि किसी भी धनात्मक संख्या के लिए उसका योगज प्रतिलोम एक ऋणात्मक संख्या होती है। चूँकि पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में कोई ऋणात्मक संख्या नहीं होती है, इसलिए पूर्ण संख्याओं के समुच्चय की संख्याओं का योगज प्रतिलोम नहीं होता है।
पूर्ण संख्याओं के समुच्चय के लिए, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, और गुणनात्मक तत्समक होते हैं, लेकिन योगज प्रतिलोम गुण, और गुणनात्मक प्रतिलोम गुण नहीं होते हैं।
पूर्णांकों का योगज प्रतिलोम
पूर्णांकों का समुच्चय संख्याओं का एक समूह होता है जिसमें सभी प्राकृतिक संख्याएँ $1$, $2$, $3$, … और उनके संगत ऋणात्मक मान $-1$, $-2$, $-3$,… के साथ $0$ शामिल होते हैं। अर्थात, $Z = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … \}$।
आप ऊपर देख चुके हैं कि किसी भी धनात्मक संख्या के लिए उसका योगज प्रतिलोम एक ऋणात्मक संख्या होती है। और पूर्णांकों के समुच्चय में, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए, एक संगत ऋणात्मक संख्या होती है और प्रत्येक ऋणात्मक संख्या के लिए और प्रत्येक ऋणात्मक संख्या के लिए, इसका योगज प्रतिलोम एक धनात्मक संख्या होती है, और एक संगत धनात्मक संख्या होती है, इसलिए, पूर्णांकों के समुच्चय में प्रत्येक संख्या के लिए एक योगज प्रतिलोम होता है।
पूर्ण संख्याओं के समुच्चय के लिए, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, गुणनात्मक तत्समक, और योगज प्रतिलोम गुण होते हैं, गुणनात्मक प्रतिलोम गुण नहीं होते हैं।
परिमेय संख्याओं का योगज प्रतिलोम
परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ दोनों पूर्णांक हैं और $q \ne 0$।
चूँकि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक और धनात्मक दोनों संख्याएँ होती हैं और जैसा कि ऊपर देखा गया है कि किसी भी धनात्मक संख्या के लिए, इसका योगज प्रतिलोम एक ऋणात्मक संख्या होती है और प्रत्येक ऋणात्मक संख्या के लिए, इसका योगज प्रतिलोम एक धनात्मक संख्या होती है, इसलिए परिमेय संख्याओं के समुच्चय में प्रत्येक संख्या के लिए एक योगज प्रतिलोम होता है।
परिमेय संख्याओं के एक समुच्चय के लिए, गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, गुणनात्मक तत्समक, योगज प्रतिलोम गुण और गुणनात्मक प्रतिलोम गुण होते हैं।
अपरिमेय संख्याओं का योगज प्रतिलोम
अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दशमलव के रूप में व्यक्त करने पर असांत और अनावर्ती दशमलव स्थान होते हैं।
किसी भी अपरिमेय संख्या का योगज प्रतिलोम विपरीत चिह्न वाली संख्या होगी, इसलिए अपरिमेय संख्या के समुच्चय में प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए योगज प्रतिलोम होगा।
अपरिमेय संख्याओं के एक सेट के लिए, गुण – क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, और गुणनात्मक तत्समक होते हैं, जबकि संवरक गुण, योगात्मक तत्समक गुण और गुणनात्मक तत्समक नहीं होते हैं।
वास्तविक संख्या का योगज प्रतिलोम
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सभी समुच्चयों से मिलकर बना एक समुच्चय है – प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ। इसलिए, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए एक योगज प्रतिलोम होगा।
वास्तविक संख्याओं के एक सेट के लिए, सभी गुण – संवरक गुण, क्रमचयी गुण, साहचर्य गुण, वितरणात्मक गुण, योगात्मक तत्समक गुण, गुणनात्मक तत्समक, योगज प्रतिलोम गुण और गुणनात्मक प्रतिलोम गुण होते हैं।
योगज प्रतिलोम गुण
संख्याओं का योगज प्रतिलोम गुण बताता है कि जब किसी संख्या को उसके योगज प्रतिलोम में जोड़ा जाता है, तो प्राप्त योग एक योगात्मक तत्समक होता है, अर्थात शून्य ($0$)।
गणितीय रूप से इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: किसी भी संख्या $a$ के लिए, यदि $a + b = 0$, तो $b$ $a$ का योगज प्रतिलोम है।
उदाहरण के लिए, $9 + \left(-9\right) = 0$, इसलिए, $-9$ $9$ का योगज प्रतिलोम है।
योगज प्रतिलोम और गुणनात्मक प्रतिलोम के बीच अंतर
योगज प्रतिलोम और गुणनात्मक प्रतिलोम के बीच अंतर निम्नलिखित हैं:
| योगज प्रतिलोम | गुणनात्मक प्रतिलोम |
| किसी संख्या का योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, आपको केवल उस संख्या का चिह्न बदलना होगा | किसी संख्या का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, आपको उसका व्युत्क्रम ज्ञात करना होता है |
| एक संख्या $a$ का योगात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने का सूत्र $-a$ है | एक संख्या $a$ का गुणनात्मक प्रतिलोम ज्ञात करने का सूत्र $\frac {1|{a}$ है |
| जब किसी संख्या में योगात्मक प्रतिलोम जोड़ा जाता है तो परिणाम $0$ होता है | जब एक गुणक प्रतिलोम को किसी संख्या से गुणा किया जाता है तो परिणाम $1$ होता है |
अभ्यास के लिए प्रश्न
- निम्नलिखित में से किस समुच्चय में संख्याओं के लिए योगज प्रतिलोम है?
- प्राकृतिक संख्याएं, पूर्ण संख्याएं, पूर्णांक, परिमेय संख्याएं, अपरिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं
- निम्नलिखित में से किस समुच्चय में संख्याओं के लिए योगज प्रतिलोम नहीं है?
- प्राकृतिक संख्याएं, पूर्ण संख्याएं, पूर्णांक, परिमेय संख्याएं, अपरिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं
- निम्नलिखित संख्याओं का योगज प्रतिलोम ज्ञात कीजिये
- $19$
- $-25$
- $56.8$
- $-0.004$
- $\frac {3}{4}$
- $-\frac {45}{21}$
- $2 \frac {1}{5}$
- $\sqrt{2}$
- $9 + \sqrt{3}$
- $-12 + \sqrt{5}$
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
योगज प्रतिलोम क्या है?
किसी संख्या का योगज प्रतिलोम उसकी विपरीत संख्या होती है। यदि किसी संख्या को उसके योगज प्रतिलोम में जोड़ा जाता है, तो दोनों संख्याओं का योग $0$ (शून्य) हो जाता है। $0$ को किसी संख्या की योगात्मक तत्समक भी कहा जाता है।
आप किसी संख्या का योगज प्रतिलोम कैसे ज्ञात करते हैं?
किसी संख्या का योगज प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, आपको केवल एक संख्या का चिह्न बदलना होगा। एक धनात्मक संख्या का योगज प्रतिलोम ऋणात्मक संख्या होती है और ऋणात्मक संख्या का योगज प्रतिलोम एक धनात्मक संख्या होती है।
उदाहरण के लिए, $47$ का योगज प्रतिलोम $-47$ है और $-91$ का योगज प्रतिलोम $91$ है।
साथ ही, $\frac {2}{11}$ का योगज प्रतिलोम $-\frac {2}{11}$ है और $-\frac {7}{15}$ का योगज प्रतिलोम $\frac {7}{15}$ है।
योगज प्रतिलोम सूत्र क्या है?
किसी भी संख्या $a$ के लिए, योगज प्रतिलोम $-1 \times a$ होता है।
उदाहरण के लिए, $4$ का योगज प्रतिलोम $-1 \times 4 = -4$ है और $-12$ का योगज प्रतिलोम $-1 \times \left(-12 \right) = 12$ है।
शून्य का योगज प्रतिलोम क्या होता है?
चूँकि शून्य ($0$) का कोई चिन्ह नहीं है, न ही धनात्मक और न ही ऋणात्मक, इसलिए $0$ की योगात्मक तत्समक $0$ है।
नोट: $0$ प्राप्त करने के लिए आपको $0$ में कुछ भी जोड़ने की आवश्यकता नहीं है और कुछ भी नहीं का अर्थ $0$ है।
योगज प्रतिलोम गुण क्या है?
योगज प्रतिलोम गुण बताता है कि किसी संख्या का योग और उसका योगज प्रतिलोम हमेशा $0$ होता है। उदाहरण के लिए, $7 + \left(-7 \right) = 0$.
क्या योगज प्रतिलोम योगात्मक तत्समक के समान है?
नहीं, योगज प्रतिलोम योगात्मक तत्समक के समान नहीं है। प्रत्येक संख्या के लिए योगात्मक तत्समक $0$ है, जबकि योगज प्रतिलोम एक विपरीत चिह्न वाली संख्या है।
सभी संख्याओं $5$, $-8$ और $\frac {2}{3}$ के लिए योगात्मक तत्समक $0$ है, जबकि $5$ का योगज प्रतिलोम $-5$ है, $-8$ $8$ है और जो $\frac {2}{3}$ है, वह $-\frac {2}{3}$ है।
योगज प्रतिलोम और गुणक प्रतिलोम में क्या अंतर है?
योगज प्रतिलोम वह है जिसे हम योग शून्य ($0$) बनाने के लिए एक संख्या में जोड़ते हैं, जबकि, गुणन प्रतिलोम दी गई संख्या का व्युत्क्रम है, जिसे एक साथ गुणा करने पर, परिणाम $1$ मिलता है।
निष्कर्ष
किसी संख्या का योगज प्रतिलोम वह संख्या होती है जिसे संख्या के साथ जोड़ने पर योगात्मक तत्समक बनती है। कुछ समुच्चयों में संख्याओं का योगज प्रतिलोम होता है जबकि कुछ समुच्चयों में संख्याओं का योगज प्रतिलोम नहीं होता है।
