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जैसे-जैसे समाजों का निर्माण और विकास शुरू हुआ, मनुष्यों द्वारा विभिन्न प्रकार की संख्याओं की आवश्यकता महसूस की जाने लगी। विभिन्न रूपों में भिन्न जैसे उचित भिन्न, अनुचित भिन्न, मिश्रित भिन्न, जैसे भिन्न, भिन्न भिन्न या समतुल्य भिन्न लंबे समय तक उपयोग किए जाते हैं।
इस लेख में, हम विभिन्न प्रकार के भिन्नों के बारे में जानेंगे।
भिन्न के प्रकार
भिन्नों को मोटे तौर पर के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है
- व्यक्तिगत भिन्न
- भिन्नों का समूह
व्यक्तिगत भिन्न के आधार पर वर्गीकरण
इस वर्गीकरण में, एक अंश को उसके अंश और हर के आधार पर माना और वर्गीकृत किया जाता है।
अंश और हर किसी भी भिन्न के मुख्य भाग होते हैं। अंश वह संख्या है जो क्षैतिज पट्टी के शीर्ष पर लिखी जाती है, जबकि नीचे की ओर लिखी गई संख्या को हर कहा जाता है। अंश उन भागों की संख्या को इंगित करता है जिन पर विचार किया जा रहा है, जबकि, हर पूरे में भागों की कुल संख्या को इंगित करता है।
अंश और हर के आधार पर भिन्नों को तीन व्यापक श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है:
- उचित भिन्न
- विषम भिन्न
- मिश्रित अंश
उचित भिन्न
एक उचित भिन्न एक भिन्न है जिसमें अंश हर से कम होता है। भिन्न की परिभाषा और भिन्न की आवश्यकता के उचित पालन के कारण इसे उचित भिन्न कहा जाता है।
उदाहरण के लिए $\frac {5}{7}$ $5$ (अंश) <$7$ (हर) के रूप में एक उचित भिन्न है।
नोट:
- भिन्न एक पूर्ण का एक भाग है, जहाँ भाग अंश द्वारा दर्शाया जाता है और संपूर्ण को हर द्वारा दर्शाया जाता है। और आगे का भाग हमेशा पूर्ण से छोटा होता है। यही कारण है कि जहाँ अंश हर से कम होता है, भिन्न को ‘उचित‘ कहते हैं।
- उचित भिन्न हमेशा $1$ से कम होते हैं।
उचित भिन्नों के उदाहरण हैं
- केक के $8$ बराबर स्लाइस में से $3$ को $\frac {3}{8}$ के रूप में दर्शाया गया है
- एक परीक्षा में $100$ अंकों में से $93$ को $\frac {93}{100}$ के रूप में दर्शाया गया है
- एक समूह में $10$ बच्चों में से $7$ लड़कियों को $\frac {3}{10}$ के रूप में दर्शाया गया
- $\frac {39}{250}$ के रूप में दर्शाई गई पुस्तक में कुल $250$ पृष्ठों में से $39$ पृष्ठ पढ़े गए
- आपके पिता द्वारा दिए गए ₹100 में से ₹$57$ खर्च किए गए जो $\frac {57}{100}$ के रूप में दर्शाए गए
- मेरे $50$ मार्बल के संग्रह में $17$ नीले मार्बल $\frac {17}{50}$ के रूप में दर्शाए गए हैं
विषम भिन्न
एक उचित भिन्न एक भिन्न है जिसमें अंश हर से कम होता है।
अनुचित अंश का अर्थ “विषम” और “भिन्न” शब्दों के अर्थ से परिभाषित किया गया है।
- “विषम” का अर्थ है अस्वीकार्य, अनुचित, और इसी तरह।
- “भिन्न” का अर्थ है संपूर्ण मात्रा का एक भाग।
उनके अर्थ के अनुसार, या तो एक पूरी मात्रा या एक पूरी मात्रा का योग और एक अन्य पूरी मात्रा के एक हिस्से को एक अंश के रूप में मानना स्वीकार्य नहीं है। अतः अस्वीकार्य भिन्न को अनुचित भिन्न कहा जाता है।
आइए ‘विषम भिन्न’ शब्द को समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
कल्पना कीजिए कि आप एक पिज्जा ऑर्डर करते हैं जिसमें $ 8 $ स्लाइस हैं। आपके मित्र सभी $8$ स्लाइस खाते हैं। और आपको एहसास होता है कि आपको कोई नहीं मिला। आप एक और पिज्जा ऑर्डर करें। इसका $3$ का टुकड़ा खाने के बाद आपको एहसास होता है कि आप खाना खा चुके हैं।
तो, आपके दोस्तों ने कितना पिज्जा खाया, और आपके पास कुल मिलाकर कितना है?
आपके दोस्तों के पास पहले $1$ पिज़्ज़ा के सभी आठ स्लाइस थे, और फिर आपके पास दूसरे पिज़्ज़ा के आकार के $3$ स्लाइस थे।
तो, खाया गया कुल पिज़्ज़ा $\frac{8 + 3}{8} = \frac {11}{8}$ {पिज़्ज़ा के टुकड़े है। और वह एक अनुचित भिन्न है जिसमें हर से बड़ा अंश होता है।
कुछ अन्य मिश्रित भिन्नों के उदाहरण हैं $\frac{17}{8}$, $\frac{63}{4}$, $\frac{109}{10}$, $\frac{83}{51}$ . इन सभी भिन्नों में अंश हर से बड़ा होता है।
नोट:
- विषम भिन्नों को मिश्रित भिन्नों के रूप में दर्शाया जा सकता है।
- विषम भिन्न हमेशा $1$ से अधिक होते हैं।
मिश्रित भिन्न
एक मिश्रित भिन्न एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न का मिश्रण होता है। उदाहरण के लिए, $7 \frac {3}{4}$ एक मिश्रित भिन्न है क्योंकि यह का एक संयोजन है
- पूरी संख्या यानी $7$
- उचित भिन्न अर्थात्, $\frac {3}{4}$
नोट:
भिन्नों के समूह के आधार पर वर्गीकरण
- मिश्रित भिन्नों को हमेशा अनुचित भिन्नों में बदला जा सकता है।
- विषम भिन्नों को मिश्रित भिन्नों में बदला जा सकता है।
- मिश्रित भिन्न हमेशा 1 से बड़ा होता है।
इस वर्गीकरण में भिन्नों के समूह (दो या अधिक) को माना और वर्गीकृत किया जाता है। इस वर्गीकरण के अनुसार भिन्नों को तीन श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है:
- समान भिन्न
- असमान भिन्न
- समतुल्य भिन्न
समान भिन्न
दो या दो से अधिक भिन्न समान भिन्न कहलाते हैं यदि उनके हर समान हों।
उदाहरण के लिए $\frac {2}{7}$, $\frac {5}{7}$, $\frac {4}{7}$, $\frac {3}{7}$, $\frac { 6}{7}$ सामान भिन्न हैं।
हम समान भिन्नों पर ही जोड़ और घटाव कर सकते हैं। यदि हम विषम भिन्नों को जोड़ना या घटाना चाहते हैं, तो सबसे पहले वे समान भिन्नों में परिवर्तित हो जाती हैं।
नोट: $\frac {2}{3}$, $\frac {2}{4}$, $\frac {2}{5}$, $\frac {2}{6}$, $\frac {2} {7}$ समान भिन्न नहीं हैं।
असमान भिन्न
दो या दो से अधिक भिन्न असमान भिन्न कहलाते हैं यदि उनके हर भिन्न हों।
उदाहरण के लिए $\frac {2}{7}$, $\frac {5}{9}$, $\frac {2}{19}$, $\frac {3}{11}$, $\frac { 12}{49}$ असमान भिन्न हैं।
विषम भिन्नों पर जोड़ या घटाव करने के लिए, सबसे पहले, उन्हें समान भिन्नों में परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है। असमान भिन्नों को समान भिन्नों में बदले बिना गुणा और भाग किया जा सकता है।
समतुल्य भिन्न
समतुल्य भिन्न वे भिन्न होते हैं जिनके अलग-अलग अंश और अलग-अलग हर होते हैं लेकिन सरल या कम होने पर समान मान के बराबर होते हैं।
उदाहरण के लिए, $\frac {2}{4}$, $\frac {3}{6}$, और $\frac {4}{8}$ सभी समतुल्य भिन्न हैं क्योंकि वे सभी $\frac { 1}{2}$.
विशेष भिन्न – इकाई भिन्न
इकाई भिन्न वे भिन्न हैं जिनका अंश $1$ है और हर एक धनात्मक पूर्णांक है।
उदाहरण के लिए, $\frac {1}{5}$, $\frac {1}{4}$, $\frac {1}{35}$, $\frac {1}{78}$, इत्यादि इकाई अंश हैं।
नोट: $\frac {2}{1}$, $\frac {7}{1}$, $\frac {32}{1}$, $\frac {56}{1}$ इकाई भिन्न नहीं हैं।
अभ्यास के लिए प्रश्न
- अंश और हर पर आधारित भिन्न के प्रकार निम्नलिखित में से कौन-से हैं?
- उचित भिन्न, विषम भिन्न, मिश्रित भिन्न, समान भिन्न, भिन्न भिन्न, समतुल्य भिन्न
- निम्न में से कौन-सी भिन्न का प्रकार है जब वे एक समूह में होती हैं?
- उचित भिन्न, विषम भिन्न, मिश्रित भिन्न, समान भिन्न, भिन्न भिन्न, समतुल्य भिन्न
- उचित भिन्नों में, अंश हर से बड़ा होता है।
- सही
- गलत
- अनुचित भिन्नों में, अंश हर से बड़ा होता है।
- सही
- गलत
- सामान भिन्नों का अंश समान होता है।
- सही
- गलत
- असमान भिन्नों का अंश समान होता है।
- सही
- गलत
- एक ही मान लेकिन भिन्न अंश और हर वाले भिन्न _______ कहलाते हैं।
- समान भिन्न
- समतुल्य भिन्न
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
भिन्न कितने प्रकार के होते हैं?
अंश छह प्रकार के होते हैं। ये उचित भिन्न, विषम भिन्न, मिश्रित भिन्न, समान भिन्न, आसमान भिन्न, और इकाई भिन्न हैं।
क्या विषम और मिश्रित भिन्न समान हैं?
विषम और मिश्रित अंश एक ही भिन्न का अलग-अलग तरीकों से प्रतिनिधित्व करते हैं। विषम भिन्न के सन्दर्भ में, अंश भाजक से बड़ा होता है, जबकि एक मिश्रित अंश में एक संपूर्ण भाग और अंश भाग होता है।
निष्कर्ष
भिन्न मोटे तौर पर दो प्रकार के होते हैं – उचित भिन्न और विषम भिन्न। विषम भिन्नों को मिश्रित भिन्नों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। जब भिन्न एक समूह में होते हैं, तो उन्हें सामान भिन्न, असमान भिन्न या समतुल्य भिन्न के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
