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आँकड़ों की विभिन्न विशेषताओं को समझने के लिए आँकड़ों का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व एक आसान तरीका है। बारंबारता बहुभुज आँकड़ों के बंटन का एक प्रकार का ग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व है जो इसके आकार को समझने में मदद करता है। बारंबारता बहुभुज, हिस्टोग्राम के बहुत समान होते हैं लेकिन दो या अधिक डेटा की तुलना करते समय सहायक और उपयोगी होते हैं।
बारंबारता बहुभुज आलेख क्या है?
बारंबारता बहुभुज बंटन का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है। इसका उपयोग बंटन के आकार को समझने के लिए किया जाता है। बारंबारता बहुभुज हिस्टोग्राम के विकल्प के रूप में काम कर सकता है। दोनों दृश्य निरूपण पूरी तरह से बंटन के आकार को दर्शाते हैं। हालांकि, हिस्टोग्राम के विपरीत, एक ही आलेख पर कई वितरणों की तुलना करने के लिए बारंबारता बहुभुज का आसानी से उपयोग किया जा सकता है। कुछ मामलों में, बंटन आकार की अधिक सटीक तस्वीर प्राप्त करने के लिए एक हिस्टोग्राम और बारंबारता बहुभुज का एक साथ उपयोग किया जा सकता है।
एक बारंबारता बहुभुज आलेख आमतौर पर एक हिस्टोग्राम के साथ खींचा जाता है लेकिन बिना हिस्टोग्राम के भी खींचा जा सकता है। जबकि एक हिस्टोग्राम रिक्त स्थान के बिना आयताकार दण्डों वाला एक ग्राफ है, बारंबारता बहुभुज आलेख एक रेखालेख है जो संचयी आवृत्ति बंटन आँकड़ों का प्रतिनिधित्व करता है।
बारंबारता बहुभुज आलेख और हिस्टोग्राम के बीच अंतर
बारंबारता बहुभुज आलेख और हिस्टोग्राम के बीच अंतर निम्नलिखित हैं।
| बारंबारता बहुभुज | हिस्टोग्राम |
| बारंबारता बहुभुज एक रेखालेख है | हिस्टोग्राम आसन्न आयतों का एक संग्रह है |
| बारंबारता बहुभुज बहुआयामी है | हिस्टोग्राम एक द्वि-आयामी आलेख है |
| बारंबारता बहुभुज के रूप में एक ही अक्ष पर कई आवृत्ति बंटन प्लॉट किए जा सकते हैं | हिस्टोग्राम के मामले में, हमारे पास प्रत्येक बंटन के लिए एक अलग आलेख होना चाहिए |
| बारंबारता बहुभुज एक सतत वक्र है और परिवर्तन अनुमानों का दायरा और दर निर्धारित करना आसान है | हिस्टोग्राम के मामले में यह संभव नहीं है |
बारंबारता बहुभुज आलेख के लाभ
हिस्टोग्राम की तुलना में बारंबारता बहुभुज आलेख के निम्नलिखित लाभ हैं
- कई बंटन के बारंबारता बहुभुजों को एक ही आलेख पर प्लॉट किया जा सकता है, जिससे कुछ तुलना संभव हो जाती है, जबकि हिस्टोग्राम को आमतौर पर उसी तरह नियोजित नहीं किया जा सकता है। हिस्टोग्राम की तुलना करने के लिए हमारे पास प्रत्येक वितरण के लिए एक अलग आलेख होना चाहिए। बारंबारता बंटन की ग्राफिक तुलना करने के प्रयोजनों के लिए इस सीमा के कारण, बारंबारता बहुभुजों को प्राथमिकता दी जाती है।
- बारंबारता बहुभुज अपने हिस्टोग्राम समकक्ष से सरल है।
- यह आँकड़ों के पैटर्न की रूपरेखा को अधिक स्पष्ट रूप से स्केच करता है।
- जैसे-जैसे हम वर्गों की संख्या और प्रेक्षणों की संख्या बढ़ाते हैं, बहुभुज उत्तरोत्तर चिकना और वक्र-जैसा होता जाता है।
बारंबारता बहुभुज ग्राफ कैसे बनाएं
बारंबारता बहुभुज में वक्र कार्तीय प्रणाली पर खींचा जाता है। किसी भी अन्य आलेख की तरह, $x$-अक्ष डेटासेट में मान का प्रतिनिधित्व करता है और $y$-अक्ष प्रत्येक श्रेणी की घटनाओं (बारंबारता) की संख्या दिखाता है। बारंबारता बहुभुज आलेख बनाते समय सबसे महत्वपूर्ण पहलू मध्य-बिंदु होता है जिसे वर्ग चिह्न कहा जाता है।
बारंबारता बहुभुज वक्र को हिस्टोग्राम के साथ या उसके बिना खींचा जा सकता है।
हिस्टोग्राम का उपयोग करके बारंबारता बहुभुज आलेख बनाना
हिस्टोग्राम का उपयोग करके बारंबारता बहुभुज आलेख बनाने के चरण निम्नलिखित हैं:
स्टैप 1: दिए गए डेटा सेट के लिए एक हिस्टोग्राम बनाएं। एक हिस्टोग्राम के साथ ड्राइंग के लिए, वर्ग अंतराल के खिलाफ इसकी बारंबारता के बराबर ऊंचाई (या लंबाई) के साथ आयताकार दंड बनाएं।
स्टैप 2: बारंबारता बहुभुज प्राप्त करने के लिए दंडों के मध्यबिंदुओं को मिलाएँ।
उदाहरण
आइए एक उदाहरण को लें कि कैसे एक हिस्टोग्राम का उपयोग करके एक बारंबारता बहुभुज का निर्माण किया जाता है।
एक कारखाने में 100 श्रमिकों की साप्ताहिक आय नीचे दी गई है। दिए गए बारंबारता बंटन का एक बारंबारता बहुभुज बनाइए।
दिए गए बारंबारता बंटन के लिए एक हिस्टोग्राम बनाइए। हिस्टोग्राम के निर्माण के चरणों को समझने के लिए, यहाँ देखें।
अंतराल के वर्ग चिह्नों का पता लगाएँ। वर्ग चिन्ह वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु होते हैं।
$\text{Classmark} = \frac{\text{Lower Limit} + \text{Upper Limit}}{2}$
अब, ओरिजिन (0) से शुरू करते हुए, हिस्टोग्राम के लगातार दंडो के शीर्ष के मध्यबिंदुओं में शामिल होने वाली सीधी रेखाएँ खींचें।
हिस्टोग्राम हटाएं (मिटाएं)।
इस प्रकार प्राप्त सीधी रेखा वक्र बारंबारता बहुभुज आलेख है।
नोट: मुक्तहस्त वक्र द्वारा बिंदुओं को न जोड़ें। बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ें।
हिस्टोग्राम का उपयोग किए बिना बारंबारता बहुभुज आलेख बनाना
हिस्टोग्राम के बिना बारंबारता बहुभुज आलेख बनाने के चरण निम्नलिखित हैं:
स्टैप 1: क्षैतिज अक्ष ($x$-अक्ष) पर प्रत्येक वर्ग के लिए वर्ग अंतराल चिह्नित करें जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष ($y$-अक्ष) पर न्यूनतम और अधिकतम $y$-मानों के आधार पर एक पैमाने के अंक चिह्नित करें उचित अंतराल के साथ।
स्टैप 2: सूत्र $\text{Classmark} = \frac{\text{Lower Limit} + \text{Upper Limit}}{2}$ का उपयोग करके प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु की गणना करें जिसे आमतौर पर वर्ग चिन्ह (क्लासमार्क) कहा जाता है।
स्टैप 3: $x$-अक्ष पर प्राप्त किए गए वर्ग चिन्ह को चिह्नित करें।
स्टैप 4: प्रत्येक वर्ग अंतराल की बारंबारता को उसके वर्ग चिन्ह के सामने आलेखित करें।
स्टैप 5: बिंदुओं को रेखा ग्राफ़ के समान रेखाखंड से जोड़ें।
स्टैप 6: इस रेखा खंड द्वारा प्राप्त वक्र बारंबारता बहुभुज है।
उदाहरण
हिस्टोग्राम का उपयोग किए बिना बारंबारता बहुभुज का निर्माण कैसे किया जाता है, यह समझने के लिए उपरोक्त उदाहरण को लेते हैं।
एक कारखाने में 100 श्रमिकों की साप्ताहिक आय नीचे दी गई है। दिए गए बारंबारता बंटन का एक बारंबारता बहुभुज बनाइए।
वर्ग अंतराल के वर्ग चिह्नों की गणना करें।
For $1000 – 3000$, classmark = $\frac{1000 + 3000}{2} = 2000$
For $3000 – 5000$, classmark = $\frac{3000 + 5000}{2} = 4000$
For $5000 – 7000$, classmark = $\frac{5000 + 7000}{2} = 6000$
For $7000 – 9000$, classmark = $\frac{7000 + 9000}{2} = 8000$
प्रत्येक वर्ग चिन्ह के लिए संबंधित $y$-निर्देशांक ज्ञात करें। $Y$-निर्देशांक वर्ग अंतराल की संबंधित बारंबारता हैं।
अंक हैं $\left(2000, 30 \right)$, $\left(4000, 40 \right)$, $\left(6000, 20 \right)$, और $\left(8000, 10 \right) $।
बिंदुओं $\left(2000, 30 \right)$ और $\left(0, 0 \right)$ को मिलाकर बाईं ओर रेखा का विस्तार करें। इसी प्रकार, बिंदुओं $\left(8000, 10 \right)$ और $\left(10000, 0 \right)$ को जोड़कर दाईं ओर रेखा का विस्तार करें।
बारंबारता बहुभुज वक्र बनाते समय याद रखने योग्य बिंदु
बारंबारता बहुभुज आलेख बनाते समय निम्न बिन्दुओं को ध्यान में रखना चाहिए
- बिंदुओं को सीधे तरीके से जोड़ना चाहिए। फ्री-हैंड कर्व्स से बचना बेहतर है
- हिस्टोग्राम को छोड़ना नहीं चाहिए। उन्हें आरेखित करना सुनिश्चित करें क्योंकि वे आलेख पर प्रस्तुत किए जा रहे आँकड़ों की अधिक संपूर्ण तस्वीर प्रदान करेंगे
- बारंबारता बहुभुज आँकड़ों को समूहीकृत करने का एक आसान तरीका है। यह मात्रात्मक आँकड़ों और इसकी बारंबारता को प्रस्तुत करने का एक दृश्य तरीका है
- एक बारंबारता बहुभुज का उपयोग आँकड़ों की तुलना करने या संचयी बारंबारता बंटन को चित्रित करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिन्ह की गणना करने का सूत्र वर्ग चिन्ह = [{ऊपरी सीमा) + (निम्न सीमा)]/2 है
अभ्यास के लिए प्रश्न
एक बारंबारता बंटन का बारंबारता बहुभुज नीचे दिखाया गया है।
बारंबारता बहुभुज से बंटन के बारे में निम्नलिखित के उत्तर दीजिए।
- उस वर्ग अंतराल की बारंबारता क्या है जिसका वर्ग चिह्न 15 है?
- वह वर्ग अंतराल क्या है जिसका वर्ग चिह्न 45 है?
- बंटन के लिए बारंबारता बंटन बनाइए।
निम्नलिखित बारंबारता बहुभुज एक कारखाने के मजदूरों की साप्ताहिक आय प्रदर्शित करता है।
निम्नलिखित का उत्तर दें।
- वह वर्ग अंतराल ज्ञात कीजिए जिसकी बारंबारता 25 है।
- कितने मजदूरों की साप्ताहिक आय कम से कम ₹500 लेकिन ₹700 से अधिक नहीं है?
- मजदूरों की सबसे बड़ी संख्या की साप्ताहिक आय की सीमा क्या है?
- बारंबारता बंटन सारणी तैयार कीजिए।
400 छात्रों के एक बैच में, छात्रों की ऊंचाई निम्न तालिका में दी गई है। इसे बारंबारता बहुभुज द्वारा निरूपित कीजिए।
एक शहर में, एक जीवित सूचकांक की लागत पर एक अध्ययन में किए गए साप्ताहिक अवलोकन निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं: ऊपर दिए गए आँकड़ों के लिए एक बारंबारता बहुभुज बनाएं (हिस्टोग्राम का निर्माण किए बिना)।
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
बारंबारता बहुभुज आलेख क्या है?
बारंबारता बहुभुज वर्ग बारंबारता का एक रेखालेख है जो वर्ग मध्यबिंदु के विरुद्ध प्लॉट किया जाता है। यह हिस्टोग्राम में आयतों के शीर्ष के मध्य बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है।
बारंबारता बहुभुज किसके लिए प्रयोग किया जाता है?
बारंबारता बहुभुज बंटन के आकार को समझने के लिए एक ग्राफ़िकल डिवाइस है। वे हिस्टोग्राम के समान उद्देश्य की पूर्ति करते हैं, लेकिन आँकड़ों की तुलना करने के लिए विशेष रूप से सहायक होते हैं।
आप बारंबारता बहुभुज कैसे पढ़ते हैं?
बारंबारता बहुभुज के अंतर्गत क्षेत्र हिस्टोग्राम के अंतर्गत क्षेत्र के समान है और इसलिए, बंटन तालिका में प्रदर्शित होने वाले बारंबारता मानों के बराबर है। बारंबारता बहुभुज भी आँकड़ों के बंटन के आकार को दर्शाता है, और इस मामले में, यह घंटी वक्र जैसा दिखता है।
बारंबारता बहुभुज कहाँ से प्रारंभ होता है?
आप दंडों के शीर्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़कर एक बारंबारता बहुभुज बना सकते हैं। आवृत्ति बहुभुज एक ही आरेख पर आँकड़ों के विभिन्न सेटों की तुलना करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी होते हैं।
निष्कर्ष
एक बारंबारता बहुभुज बंटन का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है। इसका उपयोग बंटन के आकार को समझने के लिए किया जाता है। यह वर्ग अंतराल के मध्य बिंदु के रूप में $x$-निर्देशांक वाले बिंदुओं को जोड़कर और सीधी रेखाओं द्वारा उनकी संगत बारंबारता के रूप में $y$-निर्देशांक के रूप में खींचा जाता है।
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