बहुपदों का गुणनखंडन – विधियाँ और उदाहरण

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गणित में, गुणनखंड एक इकाई (एक संख्या, एक बहुपद, एक फलन, आदि) है जो किसी अन्य इकाई को विभाजित करता है, कोई शेषफल  नहीं छोड़ता है। गुणनखंडन को किसी इकाई के टूटने या अपघटन के रूप में परिभाषित किया गया है। गुणनखंडन उच्च-क्रम के समीकरणों को हल करने और जटिल व्यंजकों को सरल बनाने के लिए एक मानक विधि प्रदान करता है। यह ग्राफिंग में भी उपयोगी है।

आइए समझते हैं कि बहुपदों का गुणनखंडन क्या है और बहुपदों के गुणनखंडन की विभिन्न विधियाँ क्या हैं।

बहुपदों का गुणनखंडन क्या है?

बहुपद के गुणनखंडन वास्तव में बहुपदों के गुणन की विपरीत प्रक्रिया है।

उदाहरण के लिए $(x + 1)(x – 2)(x + 3) = x^3 + 2x^2 – 5x – 6$, फिर $x^3 + 2x^2 – 5x – 6$ को फॉर्म में लिखना $(x + 1)(x – 2)(x + 3)$ बहुपद $x^3 + 2x^2 – 5x – 6$ के गुणनखंड हैं।

बहुपद के गुणनखंडन का अर्थ है दिए गए बहुपद को दो या दो से अधिक बहुपदों के उत्पाद में विघटित करना। गुणनखंडन बहुपद बहुपदों को आसानी से सरल बनाने में मदद करते हैं। यह दी गई व्यंजक के चरों के मानों को ज्ञात करने या बहुपद व्यंजक के शून्याकों को ज्ञात करने में भी सहायता करता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम बहुपद $x^3 + 2x^2 – 5x – 6$ के शून्याकों या मूलों को ज्ञात करना चाहते हैं, तो हम बहुपद को $(x + 1)(x – 2)(x + 3)$ और फिर प्रत्येक पद को शून्य के बराबर करके शून्याकों या मूलों को आसानी से पा सकते हैं।

$(x + 1) = 0 => x = -1$, $(x – 2) = 0 => x = 2$, और $(x + 3) = 0 => x = -3$। इसलिए, हमें बहुपद $x^3 + 2x^2 – 5x – 6$ के शून्याक x = -1$, $x = 2$, और $x = -3$ के रूप में मिलते हैं।

बहुपदों को उनके प्रमुख गुणनखंडों में विघटित करने और उन्हें उनके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने की प्रक्रिया को बहुपदों का गुणनखंडन कहते हैं।

कैसे एक बहुपद के गुणनखंडों को ज्ञात करें?

एक बहुपद के गुणनखंडों को खोजने के लिए अपनाए जाने वाले चरण हैं

• यदि बहुपद के सभी पदों में कोई समान गुणनखण्ड है तो गुणनखंडन द्वारा उस पद को पृथक करके लिखें 
• बहुपदों के गुणनखंडन के लिए उपयुक्त विधि की पहचान करें। आप बहुपद के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए पुनर्वर्गीकरण या बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग कर सकते हैं।
• बहुपद को इसके गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखें।

बहुपद गुणनखंडन की विधियाँ

व्यंजक के आधार पर, बहुपदों का गुणनखंडन करने की विभिन्न विधियाँ हैं। गुणनखंडन की विधि बहुपद की घात और व्यंजक में शामिल चरों की संख्या पर निर्भर करती है। बहुपदों का गुणनखंडन करने के लिए सबसे अधिक प्रयोग में आने वाली चार विधियाँ हैं

• सार्व गुणनखंडों की विधि
• पदों के पुनः समूहन द्वारा गुणनखंडन 
• पदों के विभाजन द्वारा गुणनखंडन
• सर्वसमिकाओं के प्रयोग द्वारा गुणनखंडन

सार्व गुणनखंडों की विधि

बहुपद का गुणनखंडन करने की यह सबसे सरल विधि है। इस विधि में दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद के सार्व गुणनखंड  के द्वारा गुणनखंडन किया जाता है।

इस पद्धति में शामिल स्टैप्स हैं

स्टैप 1: बहुपद के सभी पदों का GCF (महत्तम समापवर्तक) ज्ञात कीजिए।

स्टैप 2: प्रत्येक पद को GCF और अन्य गुणनखंड के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

स्टैप 3: GCF को गुणनखंडित करने के लिए बंटन गुण का उपयोग करें।

उदाहरण

Ex 1: $3x^5 – 12x^3$ का गुणनखंडन करें

सबसे पहले $3x^5 – 12x^3$ के प्रत्येक पद का GCF ज्ञात करें

इसलिए, $3x^5$ और $12x^3$ का GCF $3 \times x \times x \times x = 3x^{3}$ है।

अब, प्रत्येक पद को $3x^{3}$ के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

$3x^5 = 3x^3 \times x^2$ और $12x^3 = 3x^3 \times 4$.

इसलिए, बहुपद को $3x^3 \times x^2 – 3x^3 \times 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।

अब, अंतिम चरण में GCF $3x^3 \left(x^2 – 4 \right)$ का गुणनखंड ज्ञात करें।

$= 3x^3 \left(x^2 – 2^2 \right) = 3x^3 \left(x – 2 \right)\left(x + 2 \right)$

Ex 2: $10x^2 + 25x + 15$ का गुणनखंडन करें

$10x^2 + 25x + 15 = 5 \times x \times x + 5 \times 5 \times x + 5 \times 3$

$=5 \left(2x^2 + 5x + 3 \right)$

Ex 3: $3xy^2 + 12x^2y$ का गुणनखंडन करें

$3xy^2 + 12x^2y = 3 \times x \times y \times y + 3 \times 4 \times x \times x \times y$

$= 3xy \times y + 3xy \times 4x = 3xy \left(y + 4x \right)$

Ex 4: $4pq^2 – 20pq – 8p^2q$ का गुणनखंडन करें

$4pq^2 – 20pq – 8p^2q = 4 \times 2 \times p \times q \times q – 4 \times 5 \times p \times q – 4 \times 2 \times p \times p \times q$

$= 4pq \times q + 4pq \times (-5) + 4pq \times (-2p)$

$=4pq(q – 5 – 2p)$

पदों के पुनः समूहन द्वारा गुणनखंडन

समूहन द्वारा गुणनखंडन का अर्थ है कि गुणनखंडन करने से पहले, हमें सर्वप्रथम उन पदों को समूहित करना चाहिए जिनमें सार्व गुणनखंड हों और फिर उनमें से सार्व गुणनखंड  पृथक करें।

इस पद्धति में शामिल स्टैप्स हैं

स्टैप 1: जाँच करें कि आसन्न पदों के दो जोड़े (जैसे $1^{st}$ और $2^{nd}$, $3^{rd}$ और $4^{th}$, $5^{th}$ और $6^{th}$, और इसी तरह) के बीच कोई सार्व गुणनखंड है या नहीं  

स्टैप 2: यदि दो सन्निकट पदों के बीच कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, तो पदों को पुनर्व्यवस्थित करें

स्टैप 3: पहले दो पदों को एक साथ और फिर अंतिम दो पदों को एक साथ समूहित करें

स्टैप 4: प्रत्येक अलग द्विपद से GCF का गुणनखंडन करें

स्टैप 5: उभयनिष्ठ द्विपद का गुणनखंडन करें।

उदाहरण

Ex 1: $3xy + 21x – 2y – 14$ का गुणनखंडन करें

पहले दो पदों के लिए, GCF $3x$ है और अगले दो पदों के लिए GCF $-2$ है

अब, पहले, दूसरे और तीसरे, चौथे पदों का समूह बनाएं 

$3xy + 21x – 2y – 14 = (3xy + 21x) + (- 2y – 14)$

अब प्रत्येक युग्म से सार्व गुणनखंड को पृथक करें

$(3xy + 21x) + (- 2y – 14) = 3x(y + 7) – 2(y + 7)$

परिणामी व्यंजक के प्रत्येक दो पदों में एक उभयनिष्ठ पद $(y + 7)$ है।

प्रत्येक दो पदों में से $(y + 7)$ को पृथक करें।

$3x(y + 7) – 2(y + 7) = (y + 7)(3x – 2)$

इसलिए, $3xy + 21x – 2y – 14$ का गुणनखंडन $(y + 7)(3x – 2)$ है और $3xy + 21x – 2y – 14$ के अभाज्य गुणनखंड $(y + 7)$ और $ हैं (3x – 2)$ है।

Ex 2: $a^3 – 2a^2 + 5a – 10$ का गुणनखंडन करें

$a^3 – 2a^2 + 5a – 10 = (a^3 – 2a^2) + (5a – 10)$

$(a^3 – 2a^2) + (5a – 10) = a^2(a – 2) + 5(a – 2) = (a – 2)(a^2 – 5)$

इसलिए, $a^3 – 2a^2 + 5a – 10$ का गुणनखंडन $(a – 2)(a^2 – 5)$ है और अभाज्य गुणनखंड $(a – 2)$ और $(a^2) – 5) $ हैं।

Ex 3: $-b^2 + 12ac + 6ab – 2bc$ का गुणनखंडन करें

ध्यान दें कि पहले दो पदों, अर्थात $-b^2$ और $12ac$ के बीच कोई सार्व गुणनखंड नहीं है।

इसलिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें।

$-b^2 + 12ac + 6ab – 2bc = -b^2 + 6ab + 12ac – 2bc$

$-b^2 + 6ab + 12ac – 2bc = (-b^2 + 6ab) + (12ac – 2bc)$

$= -b(b – 6a) – 2c(-6a + b) = -b(b – 6a) – 2c(b – 6a)$

$=(b – 6a)(-b – 2c) = (b – 6a)(-(b + 2c)) = -(b – 6a)(b + 2c) = (6a – b)(b + 2c)$

इसलिए, $-b^2 + 12ac + 6ab – 2bc$ का गुणनखंडन $(6a – b)(b + 2c)$ है और अभाज्य गुणनखंड $(6a – b)$ और $(b + 2c)$ हैं।

Ex 4: $amx^2 + bmxy – anxy – bny^2$ का गुणनखंडन करें

$amx^2 + bmxy – anxy – bny^2 = (amx^2 + bmxy) + (– anxy – bny^2)$

$= mx(ax + by) – ny(ax + by) = (ax + by)(mx – ny)$

पदों के विभाजन द्वारा गुणनखंडन

हम पदों के युग्म तभी बना सकते हैं जब बहुपद में पदों की संख्या सम हो। परन्तु जब एक बहुपद में पदों की विषम संख्या होती है, तब हम बहुपद के किसी एक पद को विभाजित करके सम संख्या प्राप्त करते हैं। गुणनखंडन के लिए किसी पद को विभाजित करने की इस विधि को पदों को विभाजित करके गुणनखंडन कहा जाता है।

एक बार जब हमें पदों की एक सम संख्या प्राप्त हो जाती है, तो हम समूहीकरण विधि का उपयोग पदों को समूहित करने और सार्व गुणनखंडों को निकालने के लिए करते हैं।

पदों को विभाजित करके गुणनखंडन की विधि का उपयोग आमतौर पर त्रिपद, विशेष रूप से द्विघात बहुपदों को गुणनखंडित करने के लिए किया जाता है, जहां इसे मध्य-अवधि विधि को विभाजित करने के रूप में संदर्भित किया जाता है।

ये अलग-अलग मामले हैं जो मौजूद हो सकते हैं यदि एक बहुपद एक त्रिपद है।

• $ax^2 + bx + c$ के रूप का द्विघात बहुपद
• $ax^2 + bx + c$ के रूप में परिवर्तित होने वाला बहुपद
• बहुपद जो द्विघात बहुपद नहीं हैं

$ax^2 + bx + c$ स्वरुप के द्विघात बहुपदों का गुणनखंडन

$ax^2 + bx + c$ के स्वरूप के द्विघात बहुपदों के गुणनखंड में शामिल स्टैप्स इस प्रकार हैं

स्टैप 1: दो संख्याएँ $p$ और $q$ इस तरह ज्ञात करें कि $b = p + q$ और $ac = pq$

स्टैप 2: $bx$ को $px + qx$ से बदलें, अर्थात $b$ को दो संख्याओं $p$ और $q$ में विभाजित करें

स्टैप 3: सन्निकट पदों के युग्म बनाएँ

स्टैप 4: पदों के प्रत्येक युग्म से सार्व गुणनखंडों को पृथक करें 

स्टैप 5: बहुपद को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें 

उदाहरण

Ex 1: $x^{2} + 5x + 6$ का गुणनखंडन करें

$x^{2} + 5x + 6$ की तुलना $ax^{2} + bx + c$ से करने पर, हमें $a = 1$, $b = 5$, और $c = 6$ मिलता है।

$b = 5 = 3 + 2$ और $ac = 1 \times 6 = 6 = 3 \times 2$

अतः, $x^{2} + 5x + 6 = x^{2} + 3x + 2x + 6 = (x^{2} + 3x) + (2x + 6)$

$= x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x + 2)$

इसलिए, $x^{2} + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)$ का गुणनखंडन और इसके अभाज्य गुणनखंड $(x + 3)$ और $(x + 2)$ हैं।

Ex 2: $x^{2} + x – 12$ का गुणनखंडन करें

$x^{2} + x – 12$ की तुलना $ax^{2} + bx + c$ से करने पर, हमें $a = 1$, $b = 1$, और $c = -12$ मिलता है।

$b = 1 = 4 – 3$ and $ac = 1 \times (-12) = -12 = 4 \times (-3)$

अतः, $x^{2} + x – 12 = x^{2} + 4x – 3x – 12 = x(x + 4) – 3(x + 4)$

$=(x + 4)(x – 3)$

इसलिए, $x^{2} + x – 12 = (x + 4)(x – 3)$ का गुणनखंडन और इसके अभाज्य गुणनखंड $(x + 4)$ और $(x – 3)$ हैं।

Ex 3: $6x^2 + 17x + 12$ का गुणनखंडन करें

$6x^{2} + 17x + 12$ की तुलना $ax^{2} + bx + c$ से करने पर, हमें $a = 6$, $b = 17$, और $c = 12$ मिलते हैं।

$b = 17 = 8 + 9$ and $ac = 6 \times 12 = 72 = 8 \times 9$

इसलिए, $6x^{2} + 17x + 12 = 6x^{2} + 8x + 9x + 12$

$= 2x(3x + 4) + 3(3x + 4) = (3x + 4)(2x + 3)$

अतः, $6x^2 + 17x + 12 = (3x + 4)(2x + 3)$

Ex 4: $x^2 + 3 \sqrt{3}x + 6$ का गुणनखंडन करें

$x^2 + 3 \sqrt{3}x + 6$ की तुलना $ax^{2} + bx + c$ से करने पर, हमें $a = 1$, $b = 3 \sqrt{3}$ और  $c = 6 $  मिलते हैं।

$b = 3 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$ and $ac = 1 \times 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$.

इसलिए, $x^2 + 3 \sqrt{3}x + 6 = x^2 + \sqrt{3}x + 2 \sqrt{3}x + 6$

$= x \left(x + \sqrt{3} \right) + 2 \sqrt{3} \left(x + \sqrt{3} \right)$

$= \left(x + \sqrt{3} \right) \left(x + 2 \sqrt{3} \right)$

अतः, $x^2 + 3 \sqrt{3}x + 6 = \left(x + \sqrt{3} \right) \left(x + 2 \sqrt{3} \right)$.

$ax^2 + bx + c$ के रूप में परिवर्तित होने वाले बहुपदों का गुणनखंडन

हम अक्सर ऐसे बहुपद देखते हैं जो $ax^2 + bx + c$ के रूप में नहीं दिखते हैं, परन्तु $ax^2 + bx + c$ के रूप में परिवर्तित किए जा सकते हैं।

आइए ऐसे बहुपदों के कुछ उदाहरण लें।

उदाहरण

Ex 1: $ \left(a^2 – 3a \right)^2 – 5 \left(a^2 – 3a \right) + 4$ का गुणनखंडन करें

दिया गया बहुपद है $\left(a^2 – 3a \right)^2 – 5 \left(a^2 – 3a \right) + 4$

ध्यान दें कि व्यंजक $\left(a^2 – 3a \right)$ दो बार दोहराया जाता है – एक $2$ की घात के साथ और दूसरा $1$ के घात के साथ।

$\left(a^2 – 3a \right)$ को $u$ से बदलें।

तो, हमारे पास $ \left(a^2 – 3a \right)^2 – 5 \left(a^2 – 3a \right) + 4 = u^2 – 5u + 4$ है जो $ax^2 + bx + c$ के रूप में है, जहां $a = 1$, $b = -5$ और $c = 4$।

$u^2 – 5u + 4 = u^2 – u – 4u + 4 = u(u – 1) – 4(u -1) = (u – 1)(u – 4)$

अब, $u$ को मूल व्यंजक $\left(a^2 – 3a \right)$ से बदलें

$\left(a^2 – 3a – 1 \right) \left(a^2 – 3a – 4 \right)$

इसलिए, $ \left(a^2 – 3a \right)^2 – 5 \left(a^2 – 3a \right) + 4$ का गुणनखंडन $\left(a^2 – 3a – 1 \right) \left(a^2 – 3a – 4 \right)$ है।

Ex 2: $2x^{4} + 9x^2 + 14$ का गुणनखंडन करें

$x^{4} + 9x^2 + 14$ भी $ax^2 + bx + c$ के रूप में नहीं है

अब, $x^2$ को $u$ से बदलें

$x^{4} + 9x^2 + 14 =  \left(x^2 \right)^2 + 9x^2 + 14 = u^2 + 9u + 14$

$= u^2 + 2u + 7u + 14 = \left(u^2 + 2u \right) + \left(7u + 14 \right)$

$u\left(u + 2 \right) + 7\left(u + 2 \right) = (u + 2)(u + 7)$

$= \left(x^2 + 2 \right) \left(x^2 + 7 \right)$

अतः, $2x^{4} + 9x^2 + 14 = \left(x^2 + 2 \right) \left(x^2 + 7 \right)$.

त्रिपदों का गुणनखंडन जो द्विघात बहुपद नहीं हैं

आइए इस प्रकार के बहुपदों के गुणनखंडन को समझने के लिए कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण

Ex 1: यदि $x^2 + px + q = (x + a) (x + b)$ है, तो $x^2 + pxy + qy^2$ का गुणनखंडन करें।

हमारे पास है $x^2 + px + q = (x + a) (x + b)$

$=> x^2 + px + q = x^2 + x(a + b) + ab$

$x$ की समान घातों के गुणांकों को समान करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$p = a + b$ and $q = ab$

इसलिए,  $x^2 + pxy + qy^2 = x^2 + (a + b)xy + aby^2$

$= \left(x^2 + axy \right) + \left(bxy + aby^2 \right)$

$= x(x + ay) + by(x + ay)$

$= (x + ay) (x + by)$

Ex 2: $x^2y^2 – xy – 72$ का गुणनखंडन करें

$x^2y^2 – xy – 72$ का गुणनखंडन करने के लिए, हमें दो संख्याएँ $p$ और $q$ इस प्रकार ज्ञात करनी होंगी कि $p + q = -1$ और $pq = -72$

ये संख्याएँ $-9$ और $8$ हैं।

$-9 + 8 = -1$ और $-9 \times 8 = -72$।

इसलिए, हम $x^2y^2 – xy – 72$ के मध्य पद $-xy$ को $-9xy + 8xy$ के रूप में लिखते हैं, ताकि हमारे पास हो

$x^2y^2 – xy – 72 = x^2y^2 – 9xy + 8xy – 72$

$= \left(x^2y^2 – 9xy \right) + \left(8xy – 72 \right)$

$= xy (xy – 9) + 8 (xy – 9)$

$= (xy – 9) (xy + 8)$

इसलिए, $x^2y^2 – xy – 72$ का गुणनखंडन  $ (xy – 9) (xy + 8)$ है।

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडन

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके बहुपदों के गुणनखंडन की प्रक्रिया को आसानी से निष्पादित किया जा सकता है। जब दिया गया बहुपद किसी बीजगणितीय सर्वसमिका को प्रदर्शित करता है, तो हम बहुपद के गुणनखंडन के लिए उस सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं। बहुपदों के गुणनखंडन में उपयोग की जाने वाली सर्वसमिकाएँ हैं 

• $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
• $a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2$
• $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$
• $a^3 – b^3 = \left(a – b \right) \left(a^2 + ab + b^2 \right)$
• $a^3 + b^3 = \left(a + b \right) \left(a^2 – ab + b^2 \right)$

उदाहरण

Ex 1: $4x^2 + 12x + 9$ का गुणनखंडन करें

$4x^2 + 12x + 9 = \left(2x \right)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2$, जो $a^2 + 2ab + b^2$ के रूप में है, जहां $a = 2x$ और $b = 3$।

इसलिए, $4x^2 + 12x + 9$ को $(2x + 3)^{2} = (2x + 3)(2x + 3)$ के रूप में लिखा जा सकता है

और, $4x^2 + 12x + 9$ का गुणनखंडन $(2x + 3)(2x + 3)$ है। 

Ex 2: $25y^2 – 20xy + 4x^2$ का गुणनखंडन करें

$25y^2 – 20xy + 4x^2 = \left(5y \right)^2 – 2 \times 5y \times 2x + \left(2x \right)^2$, जो $a^2 – 2ab + b^2$ के रूप में है, जहाँ $a = 5y$ और $b = 2x$।

इसलिए, $25y^2 – 20xy + 4x^2 = (5y – 2x)^2 = (5y – 2x)(5y – 2x)$।

इस प्रकार, $25y^2 – 20xy + 4x^2$ का गुणनखंड $(5y – 2x)(5y – 2x)$ है।

Ex 3: $4x^2 – 9y^2$ का गुणनखंडन करें

$4x^2 – 9y^2 = \left(2x \right)^2 – \left(3y \right)^2$, जो $a^2 – b^2$ के रूप में है, जहां $a = 2x $ और $b = 3y$।

इसलिए, $4x^2 – 9y^2 = (2x – 3y)(2x + 3y)$। 

Ex 4: $\frac{a^4}{9} – \frac{b^4}{16}$ का गुणनखंडन करें

$\frac{a^4}{9} – \frac{b^4}{16} = \left(\frac{a^2}{3} \right)^2 – \left(\frac{b^2}{4} \right)^2$

$\left(\frac{a^2}{3} \right)^2 – \left(\frac{b^2}{4} \right)^2$ $x^2 – y^2$ के रूप का है, जिसे $(x – y)(x + y)$ लिखा जा सकता है, जहाँ $x = \frac{a^2}{3}$ और $y = \frac{b^2}{4}$ 

इसलिए, $\left(\frac{a^2}{3} \right)^2 – \left(\frac{b^2}{4} \right)^2 = \left(\frac{a^2} {3} – \frac{b^2}{4} \right) \left(\frac{a^2}{3} + \frac{b^2}{4} \right)$

$\frac{a^2}{3} – \frac{b^2}{4}$ को फिर से $\left(\frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है – $\left(\frac{b}{2} \right)^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}} – \frac{b}{2} \right) \left(\frac{ a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{2}\right)$

इसलिए, $\frac{a^4}{9} – \frac{b^4}{16} = \left(\frac{a}{\sqrt{3}} – \frac{b}{2} \right) \left(\frac{a}{\sqrt{3}} + \frac{b}{2}\right) \left(\frac{a^2}{3} + \frac{b^2} {4} \right)$

Ex 5: $8x^3 – 27$ का गुणनखंडन करें

$8x^3 – 27 = (2x)^3 – 3^3$ जो $a^3 – b^3$ के रूप में है, जहां $a = 2x$ और $b = 3$

इसलिए, $8x^3 – 27 = (2x)^3 – 3^3 = \left(2x – 3 \right) \left(\left(2x \right)^2 + 2x \times 3b + 3^2 \right) = \left(2x – 3 \right) \left(4x^2 + 6bx + 9 \right)$

अभ्यास के लिए प्रश्न

निम्नलिखित बहुपदों का गुणनखंडन कीजिए 

• $54x^2 + 42x^3 – 30x^4$
• $2x^2yz + 2xy^2z + 4xyz$
• $30xy – 12x + 10y – 4$
• $z – 19 + 19xy – xyz$
• $100x^2 – 80xy + 16y^2$
• $16x^4 – y^4$
• $x^2 + 6x + 8$
• $49y^2 – 1$

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

गुणनखंड एक इकाई (एक संख्या, एक बहुपद, एक फलन, आदि) है जो किसी अन्य इकाई को विभाजित करता है, कोई शेषफल नहीं छोड़ता है। गुणनखंडन को किसी इकाई के टूटने या अपघटन के रूप में परिभाषित किया गया है। बहुपद बहुपदों के गुणनखंडन की चार सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ सार्व गुणनखंडों की विधि, पदों के पुनः समूहन द्वारा गुणनखंडन, पदों के विभाजन द्वारा गुणनखंडन और सर्वसमिकाओं के प्रयोग द्वारा गुणनखंडन का उपयोग करके गुणनखंडन करना है।

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