बहुपदों का शेषफल प्रमेय – परिभाषा, उपपत्ति और उदाहरण

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बहुपद विशेष प्रकार के बीजगणितीय व्यंजक होते हैं जिनका उपयोग गणित के लगभग हर क्षेत्र में संख्याओं को व्यक्त करने के लिए किया जाता है और गणित की कुछ शाखाओं जैसे कैलकुलस में बहुत महत्वपूर्ण माने जाते हैं। आप बहुपदों पर चार गणितीय संक्रियाएँ – योग, व्यवकलन, गुणन और भाग कर सकते हैं।

यदि आप एक बहुपद की दूसरे बहुपद से विभाज्यता की जाँच करना चाहते हैं, तो आप बहुपद के शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं। यह समय बचाने में मदद करता है जो अन्यथा लंबी विभाजन पद्धति का उपयोग करके किया जाता है।

आइए समझते हैं कि बहुपद का शेषफल प्रमेय क्या है और इसका उपयोग प्रश्नों को हल करने के लिए कैसे किया जाता है।

बहुपदों का शेषफल प्रमेय क्या है?

शेषफल प्रमेय बताता है कि जब एक बहुपद $p \left(x \right)$ (जिसकी घात $1$ से अधिक या उसके बराबर है) को एक रैखिक बहुपद $q \left(x \right)$ से विभाजित किया जाता है जिसका शून्यक $ x = a$ है , शेषफल $r = p \left(a \right)$ द्वारा दिया जाता है।

शेषफल प्रमेय हमें लंबे विभाजन के चरणों को वास्तव में किए बिना, एक रैखिक बहुपद द्वारा किसी भी बहुपद के विभाजन के शेष की गणना करने में सक्षम बनाता है।

नोट: शेषफल बहुपद की घात हमेशा भाजक बहुपद की घात से $1$ कम होती है। इस तथ्य का उपयोग करते हुए, जब किसी बहुपद को एक रैखिक बहुपद (जिसकी घात $1$ है) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल एक अचर होना चाहिए (जिसकी घात $0 है)।

शेषफल प्रमेय का उपयोग करने के स्टैप्स

एक बहुपद $p \left(x \right)$ का शेषफल ज्ञात करने के स्टैप्स हैं जब इसे एक रैखिक बहुपद $(x – a)$ से विभाजित किया जाता है।

स्टैप 1: रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर बनाकर एक व्यंजक बनाएं। अर्थात, $x – a = 0 => x = a$

स्टैप 2: $x = a$ को बहुपद $p \left(x \right)$ में प्रतिस्थापित करें

स्टैप 3: $p \left(x = a \right)$ को सरल कीजिए

स्टैप 4: स्टैप 3 में प्राप्त परिणाम $p \left(x \right)$ का शेषफल है, जब इसे एक रैखिक बहुपद $\left(x – a \right)$ से विभाजित किया जाता है

शेषफल प्रमेय का उपपत्ति

आइए मान लें कि $q(x)$ और $r$  क्रमशः भागफल और शेषफल हैं जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद $(x – a)$ से विभाजित किया जाता है। विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा, हमारे पास $ \text {Dividend} = \text {Divisor} \times \text {Quotient} + \text {Remainder} $ है।

इसका प्रयोग करके, $p(x) = (x – a) \times q(x) + r$।

$x = a$ रखने पर 

$p(a) = (a – a) \times q(a) + r$

$p(a) = (0) \times q(a) + r$

$ p(a) = r $

अर्थात शेषफल = $p(a)$। 

उदाहरण

Ex 1: $p(x) = x^3 – 3x^2 + 5x + 1$ को $(x – 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करें।

$x – 2$ को $0$ के बराबर करने पर, हमें $x – 2 = 0 => x = 2$ मिलता है।

अब, $p(x) = x^3 – 3x^2 + 5x + 1$ में $x = 2$ को प्रतिस्थापित करने पर 

$p(a) = p(2) = 2^3 – 3 \times 2^2 + 5 \times 2 + 1 = 8 – 12 + 10 + 1 = 7$।

इसलिए, जब $(x^3 – 3x^2 + 5x + 1)$ को $(x – 2)$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $7$ होता है।

Ex 2: $p(x) = x^2 – 7x + 11$ को $(x + 2)$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करें।

$x + 2 = 0 => x = -2$।

इसलिए, $p(-2) = (-2)^2 – 7 \times (-2) + 11 = 4 + 14 + 11 = 29$।

अतः, जब $(x^2 – 7x + 11)$ को $(x + 2)$ से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल $29$ होता है।

Ex 3: बहुपद $4x^2 – kx + 7$ को $x – 3$ से विभाजित करने पर $–2$ शेषफल बचता है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x – 3 = 0 => x = 3$

शेषफल प्रमेय द्वारा $p(x)$ को $(x – a)$ से विभाजित करने पर शेषफल $p(a)$ होता है।

इसलिए, शेषफल जब $4x^2 – kx + 7$ को $x – 3$ से विभाजित किया जाता है, वह $4 \times 3^2 – k \times 3 + 7 = 43 – 3k$ होता है

$=>43 – 3k = -2 => -3k = -2 – 43 => -3k = -45 => k = \frac{-45}{-3} => k = 15$

Ex 4: यदि दो बहुपद $2x^3 + kx^2 + 4x – 12$ और $x^3 + x^2 – 2x + k$ से विभाजित होने पर समान शेषफल छोड़ते हैं $(x – 3)$, $k$ का मान ज्ञात करें और शेषफल भी।

दो बहुपद हैं $p(x) = 2x^3 + kx^2 + 4x – 12$ और $q(x) = x^3 + x^2 – 2x + k$

$x – 3 = 0 => x = 3$

$p(x)$ को $x – 3$ से विभाजित करने पर शेषफल p(3) = 2 \times 3^3 + k \times 3^2 + 4 \times 3 – 12 = 54 + 9k + 12 – 12 = 54 + 9k$।

शेष जब $q(x)$ को $x – 3$ से विभाजित किया जाता है, तो $q(3) = 3^3 + 3^2 – 2 \times 3 + k = 27 + 9 – 6 + k = 30 + k$ होता है .

इसलिए, $54 + 9k = 30 + k => 54 + 9k – 30 – k = 0 => 8k + 24 = 0 => 8k = -24 => k = \frac{-24}{8} => k = -3$।

अत: शेषफल = $54 + 9\times (-3) = 54 – 27 = 27$।

Ex 5: $m$ का मान ज्ञात कीजिए, यदि $x = \frac{1}{2}$ बहुपद $p(x) = 4x^4 – 4x^3 – mx^2 + 12x – 3$ के शून्यकों में से एक है

माना $p(x) = 4x^4 − 4x^3 − mx^2 + 12x − 3$

$x = \frac{1}{2}$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है => $x – \frac{1}{2}$ गुणनखंड है जब $p(x)$, $\left(x – \frac{1}{2} \right)$ से  विभाजित किया और शेषफल = $0$ =>  $p \left(\frac{1}{2} \right) = 0 $।

$p \left(\frac{1}{2} \right) = 4 \times \left(\frac{1}{2} \right)^4 − 4 \times \left(\frac {1}{2} \right)^3 − m \times \left(\frac{1}{2} \right)^2 + 12 \times \frac{1}{2} − 3 = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} – \frac{m}{4} + 6 – 3 = \frac {5}{2} – \frac{m}{4}$

अतः, $\frac {5}{2} – \frac{m}{4} = 0 => \frac{m}{4} = \frac {5}{2} => m = 10$.

Ex 6: $2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2$ को $(2x – 3)$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

माना $p(x) = 2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2$

$2x – 3 = 0 => 2x = 3 => x = \frac{3}{2}$

शेषफल जब $p(x)$, $(2x – 3)$  से विभाजित किया जाता है $= p \left(\frac{3}{2} \right) = 2 \times \left(\frac{3}{2} \right)^{3} + 3 \times \left(\frac{3}{2} \right)^{2} – 3 \times \frac{3}{2} – 2 = \frac{27}{4} + \frac{27}{4} – \frac{9}{2} – 2 = \frac{18}{2} – 9 = 0$

अतः, शेषफल जब $2x^{3} + 3x^{2} – 3x – 2$, $(2x – 3)$ से विभाजित किया जाता है $=0$।

शेषफल प्रमेय और गुणनखंड प्रमेय के बीच अंतर

शेषफल प्रमेय और गुणनखंड प्रमेय के बीच अंतर निम्नलिखित हैं:

शेषफल प्रमेय	गुणनखंड प्रमेय
शेषफल प्रमेय बताता है कि $p(x)$ को $(x – a)$ से विभाजित करने पर शेषफल $p(a)$ होता है	गुणनखंड प्रमेय बताता है कि $(x – a)$ $p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि और केवल यदि $f(a) = 0$
इसका उपयोग शेषफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है	इसका उपयोग यह तय करने के लिए किया जाता है कि एक रैखिक बहुपद दिए गए बहुपद का गुणनखंड है या नहीं

शेषफल प्रमेय के बारे में याद रखने योग्य बातें

• जब एक बहुपद $p(x)$ को एक रैखिक बहुपद से विभाजित किया जाता है जिसका शून्यक $x = a$ होता है, शेषफल $p(a)$ द्वारा दिया जाता है
• विभाजन की जाँच करने के लिए मूल सूत्र है: भाज्य = (भाजक $ \times $ भागफल) + शेषफल। इसे विभाजन एल्गोरिथम भी कहा जाता है
• शेष प्रमेय तब काम नहीं करता जब भाजक रैखिक न हो
• यह भागफल ज्ञात करने में मदद नहीं करता है

अभ्यास के लिए प्रश्न

1. शेषफल प्रमेय का प्रयोग करते हुए शेषफल ज्ञात कीजिए
   • $3x^3 – 2x^2 + 5x + 1$ को $x – 1$ से विभाजित किया जाता है
   • $2x^2 – 5$ को $x + \frac{2}{3}$ से विभाजित किया जाता है
   • $5x^4 + x^2 – x + 7$ को $x – 0.8$ से विभाजित किया जाता है
   • $2x^3 – x^2 + 4$ को $x + \frac{1}{2}$ से विभाजित किया जाता है
   • $3x^4 – 2x^3 + 7x^{2} – 2x + 3$ को $x + 3$ से विभाजित किया जाता है
2. यदि $(x – 8)$, $mx^3 – 24x^2 + 192x – 512$ के गुणनखंडों में से एक है, तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।
3. $m$ का मान ज्ञात कीजिए यदि $(x – 1)$ बहुपद $mx^3 – 2x^2 + 25x – 26$ को शेषफल छोड़े बिना विभाजित करता है।
4. मान लीजिए $r$ और $\text{R}$ शेषफल है जब बहुपद क्रमशः $x^{3} + 2x^{2} – 5kx – 7$ और $x^3 + kx^2 – 12x + 6$,  $(x + 1)$ और $(x – 2)$ से विभाजित किये जाते हैं। यदि $2r + \text{R} = 6$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष

शेषफल प्रमेय हमें लंबे विभाजन के चरणों को वास्तव में किए बिना, एक रैखिक बहुपद द्वारा किसी भी बहुपद के विभाजन के शेषफल की गणना करने में सक्षम बनाता है। इसमें कहा गया है कि जब एक बहुपद $p \left(x \right)$ (जिसकी घात $1$ से अधिक या उसके बराबर है) को एक रैखिक बहुपद $q \left(x \right)$ से विभाजित किया जाता है जिसका शून्यक $x =$ है $a$, शेषफल $r = p \left(a \right)$ द्वारा दिया जाता है।

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