बच्चों को समझाया गया 8 विभिन्न प्रकार के समन्वय प्रणाली

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ज्यामिति में, एक समन्वय प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जो यूक्लिडियन रेखान्तर जैसे कई गुना बिंदुओं या अन्य ज्यामितीय तत्वों की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं या निर्देशांक का उपयोग करती है। निर्देशांक का क्रम महत्वपूर्ण है, और उन्हें कभी-कभी एक आदेशित टपल में उनकी स्थिति से और कभी-कभी एक पत्र द्वारा पहचाना जाता है, जैसा कि “x-समन्वय” में है। निर्देशांक को प्राथमिक गणित में वास्तविक संख्या के रूप में लिया जाता है, लेकिन जटिल संख्या या अधिक सार प्रणाली के तत्व हो सकते हैं जैसे कि एक कम्यूटेटिव रिंग। एक समन्वय प्रणाली का उपयोग ज्यामिति में समस्याओं को संख्याओं के बारे में समस्याओं में और इसके विपरीत अनुवाद करने की अनुमति देता है; यह विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आधार है।

विभिन्न प्रकार के समन्वय प्रणाली

अतीत में, विभिन्न प्रकार की समन्वय प्रणालियाँ विकसित की गई हैं। आवेदन के अनुसार, एक उपयुक्त समन्वय प्रणाली का चयन किया जा सकता है। यहां हम 10 विभिन्न प्रकार की समन्वय प्रणालियों पर गौर करेंगे।

1. संख्या रेखा

एक समन्वय प्रणाली का सबसे सरल उदाहरण संख्या रेखा का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं के साथ एक रेखा पर बिंदुओं की पहचान करना है। इस प्रणाली में, एक दी गई रेखा पर एक मनमाना बिंदु O(मूल बिंदु) चुना जाता है। एक बिंदु P के निर्देशांक को O से P तक की हस्ताक्षरित दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां पर हस्ताक्षर की गई दूरी सकारात्मक या नकारात्मक के रूप में ली गई दूरी है, जो इस बात पर निर्भर करती है कि रेखा P किस तरफ है। प्रत्येक बिंदु को एक अद्वितीय निर्देशांक दिया जाता है और प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अद्वितीय बिंदु का निर्देशांक होती है।

अंक रेखा पर अंक लिखने से हमारे लिए उनकी तुलना करना आसान हो जाता है। एक संख्या रेखा के तीन भाग होते हैं जो हैं – ऋणात्मक पक्ष, शून्य और धनात्मक पक्ष। 0 के बाईं ओर के अंक ऋणात्मक हैं और 0 के दाईं ओर के सभी बिंदु सकारात्मक हैं।

2. कार्तीय निर्देशांक प्रणाली

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली किसी को विमान (द्वि-आयामी), या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु के स्थान को निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है। एक बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक (जिसे आयताकार निर्देशांक भी कहा जाता है) संख्याओं की एक जोड़ी (दो-आयामों में) या संख्याओं का एक ट्रिपलेट (तीन-आयामों में) होता है जो समन्वय अक्ष से हस्ताक्षरित दूरी निर्दिष्ट करता है।

एक समतल में कार्तीय निर्देशांक

समतल में कार्टेशियन निर्देशांक x-निर्देशांक अक्ष और y-निर्देशांक अक्ष के संदर्भ में निर्दिष्ट हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। मूल बिंदु x और y अक्षों का प्रतिच्छेदन है। समतल में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक (x, y) के रूप में लिखे जाते हैं। पहली संख्या x को x-निर्देशांक (या x-घटक) कहा जाता है, क्योंकि यह मूल बिंदु से x-अक्ष की दिशा में हस्ताक्षरित दूरी है।

x-निर्देशांक y-अक्ष के दाईं ओर (यदि x धनात्मक है), या बाईं ओर (यदि x ऋणात्मक है) दूरी निर्दिष्ट करता है। इसी तरह, दूसरी संख्या y को y-निर्देशांक (या y-घटक) कहा जाता है, क्योंकि यह y-अक्ष के अनुदिश दिशा में मूल बिंदु से हस्ताक्षरित दूरी है। y-निर्देशांक x-अक्ष के ऊपर (यदि y धनात्मक है) या नीचे (यदि y ऋणात्मक है) दूरी निर्दिष्ट करता है। निम्नलिखित आकृति में, बिंदु के निर्देशांक (-3, 2) हैं, क्योंकि बिंदु बाईं ओर तीन इकाई है और मूल बिंदु से दो इकाई ऊपर है।

त्रि-आयामी रेखांकन में कार्तीय निर्देशांक

त्रि-आयामी रेखांकन में, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली तीन परस्पर लंबवत समन्वय अक्षों पर आधारित होती है: x-अक्ष, y-अक्ष, और z-अक्ष। तीन अक्ष मूल बिंदु नामक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। आप कल्पना कर सकते हैं कि मूल स्थान वह बिंदु है जहाँ एक कमरे के कोने की दीवारें फर्श से मिलती हैं।

x-अक्ष क्षैतिज रेखा है जिसके साथ आपके बाईं ओर की दीवार और फर्श प्रतिच्छेद करते हैं। y-अक्ष वह क्षैतिज रेखा है जिसके साथ आपके दाहिनी ओर की दीवार और फर्श एक दूसरे को काटते हैं। z-अक्ष वह ऊर्ध्वाधर रेखा है जिसके साथ दीवारें प्रतिच्छेद करती हैं। कमरे में खड़े होने पर आप जो रेखाएँ देखते हैं, वे प्रत्येक कुल्हाड़ियों का धनात्मक भाग हैं, जिन्हें x, y और z द्वारा लेबल किए गए प्रत्येक अक्ष के आधे भाग द्वारा दर्शाया गया है। इन कुल्हाड़ियों का नकारात्मक हिस्सा कमरे के बाहर की रेखाओं की निरंतरता होगी, जो नीचे प्रत्येक अक्ष के बिना लेबल वाले हिस्सों द्वारा सचित्र है।

तीन समन्वय अक्षों के अलावा, हम अक्सर तीन समन्वय विमानों का उल्लेख करते हैं। x-प्लेन x और y-अक्ष द्वारा फैला हुआ क्षैतिज विमान है। यह द्वि-आयामी समन्वय विमान के समान है और इसमें कमरे की सादृश्यता में फर्श शामिल है। इसी तरह, xz– समतल x और z-अक्ष द्वारा फैला हुआ लंबवत तल है और इसमें कक्ष सादृश्य में बाईं दीवार शामिल है। अंत में, yz-प्लेन y और z अक्षों द्वारा फैला हुआ लंबवत विमान है और इसमें कमरे की सादृश्यता में दाहिनी दीवार होती है।

तीन आयामों में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक संख्याओं (x, y, z) का एक त्रिक है। तीन नंबर, या निर्देशांक, क्रमशः x, y, और z-अक्ष के साथ मूल से हस्ताक्षरित दूरी निर्दिष्ट करते हैं। निर्देशांक अक्ष के समानांतर किनारों और मूल और दिए गए बिंदु पर विपरीत कोनों के साथ बॉक्स बनाकर उनकी कल्पना की जा सकती है। तीन आयामों में एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक (x, y, z) क्रमशः x, y, और z-अक्ष के साथ मूल बिंदु से हस्ताक्षरित दूरी निर्दिष्ट करते हैं।

3. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली एक द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली है जिसमें एक विमान पर प्रत्येक बिंदु एक संदर्भ बिंदु से दूरी और एक संदर्भ दिशा से एक कोण द्वारा निर्धारित किया जाता है। जब हम समतल में बिंदुओं को आलेखित करने के बारे में सोचते हैं, तो हम आमतौर पर कार्तीय निर्देशांक तल में आयताकार निर्देशांक (x, y) के बारे में सोचते हैं। हालांकि, समन्वय जोड़ी और अन्य प्रकार के ग्रिड सिस्टम लिखने के अन्य तरीके हैं। ध्रुवीय निर्देशांक (r, 𝛳) लेबल वाले बिंदु होते हैं और एक ध्रुवीय ग्रिड पर प्लॉट किए जाते हैं। ध्रुवीय ग्रिड को ध्रुव, या समन्वय विमान की उत्पत्ति से निकलने वाले संकेंद्रित वृत्तों की एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाता है।

संदर्भ बिंदु (कार्तीय प्रणाली की उत्पत्ति के अनुरूप) को ध्रुव कहा जाता है, और संदर्भ दिशा में ध्रुव से किरण को ध्रुवीय अक्ष कहा जाता है। ध्रुव से दूरी को रेडियल निर्देशांक या त्रिज्या कहा जाता है, और कोण को कोणीय निर्देशांक, ध्रुवीय कोण या दिगंश कहा जाता है। रेडियल निर्देशांक अक्सर r या द्वारा और कोणीय निर्देशांक 𝛳, या t द्वारा निरूपित किया जाता है।

ध्रुवीय संकेतन में कोण आमतौर पर या तो डिग्री या रेडियन (2π = 360^o) में व्यक्त किए जाते हैं। डिग्री पारंपरिक रूप से नेविगेशन, सर्वेक्षण और कई अनुप्रयुक्त विषयों में उपयोग की जाती है, जबकि रेडियन गणित और गणितीय भौतिकी में अधिक सामान्य हैं। कई संदर्भों में, एक सकारात्मक कोणीय समन्वय का अर्थ है कि कोण ϕ को अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। गणितीय साहित्य में, ध्रुवीय अक्ष को अक्सर क्षैतिज रूप से खींचा जाता है और दाईं ओर इंगित किया जाता है।

ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके अंक प्लॉट करना

ध्रुवीय ग्रिड को सकारात्मक x-अक्ष के साथ इकाई वृत्त के रूप में स्केल किया जाता है जिसे अब ध्रुवीय अक्ष के रूप में देखा जाता है और मूल को ध्रुव के रूप में देखा जाता है। पहला निर्देशांक r ध्रुव से निर्देशित रेखा खंड की त्रिज्या या लंबाई है। 𝛳 रेडियन में मापा गया कोण r की दिशा को इंगित करता है। हम ध्रुवीय अक्ष से वामावर्त के कोण 𝛳 से चलते हैं। भले ही हम पहले 𝛳 और फिर r मापते हैं, ध्रुवीय बिंदु को पहले r-निर्देशांक के साथ लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, बिंदु (2, π/4) को प्लॉट करने के लिए, हम π/4 इकाइयों को वामावर्त दिशा में और फिर ध्रुव से 2 की लंबाई तक ले जाएंगे।

4. सजातीय समन्वय प्रणाली

सजातीय निर्देशांक या प्रक्षेपी निर्देशांक, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस द्वारा अपने 1827 के काम डेर बैरीसेंट्रीश कैलकुल पेश किए गए, प्रोजेक्टिव ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले निर्देशांक की एक प्रणाली है, क्योंकि कार्टेशियन निर्देशांक यूक्लिडियन ज्यामिति में उपयोग किए जाते हैं। उनके पास यह लाभ है कि अनंत पर बिंदुओं सहित बिंदुओं के निर्देशांक को परिमित निर्देशांक का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। सजातीय निर्देशांक वाले सूत्र अक्सर अपने कार्टेशियन समकक्षों की तुलना में सरल और अधिक सममित होते हैं। सजातीय निर्देशांक में अनुप्रयोगों की एक श्रृंखला होती है, जिसमें कंप्यूटर ग्राफिक्स और 3 डी कंप्यूटर विज़न शामिल हैं, जहां वे एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन की अनुमति देते हैं और सामान्य तौर पर, प्रोजेक्टिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन को मैट्रिक्स द्वारा आसानी से दर्शाया जा सकता है।

यदि किसी बिंदु के सजातीय निर्देशांक को गैर-शून्य अदिश से गुणा किया जाता है तो परिणामी निर्देशांक उसी बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं। चूंकि सजातीय निर्देशांक अनंत पर बिंदुओं को भी दिए जाते हैं, इसलिए इस विस्तार को अनुमति देने के लिए आवश्यक निर्देशांक की संख्या अनुमानित अंतरिक्ष के आयाम से एक अधिक है। उदाहरण के लिए, प्रक्षेप्य रेखा पर एक बिंदु निर्दिष्ट करने के लिए दो सजातीय निर्देशांकों की आवश्यकता होती है और प्रक्षेप्य तल में एक बिंदु निर्दिष्ट करने के लिए तीन सजातीय निर्देशांकों की आवश्यकता होती है।

वास्तविक प्रक्षेप्य तल को यूक्लिडियन विमान के रूप में माना जा सकता है जिसमें अतिरिक्त बिंदु जोड़े जाते हैं, जिन्हें अनंत पर बिंदु कहा जाता है और एक नई रेखा, अनंत पर रेखा पर स्थित माना जाता है। प्रत्येक दिशा के अनुरूप अनंत पर एक बिंदु होता है (संख्यात्मक रूप से एक रेखा के ढलान द्वारा दिया जाता है), अनौपचारिक रूप से उस बिंदु की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उस दिशा में मूल से दूर जाता है। कहा जाता है कि यूक्लिडियन तल में समानांतर रेखाएं अपनी सामान्य दिशा के अनुरूप अनंत पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

यूक्लिडियन तल पर एक बिंदु (x, y) दिया गया है, किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या Z के लिए, ट्रिपल (xZ, yZ, Z) को बिंदु के लिए सजातीय निर्देशांक का एक सेट कहा जाता है। इस परिभाषा के अनुसार, तीन सजातीय निर्देशांक को एक सामान्य, गैर-शून्य कारक से गुणा करने पर एक ही बिंदु के लिए सजातीय निर्देशांक का एक नया सेट मिलता है।

विशेष रूप से, (x, y, 1) बिंदु (x, y) के लिए सजातीय निर्देशांक की एक ऐसी प्रणाली है। उदाहरण के लिए, कार्तीय बिंदु (1, 2) को सजातीय निर्देशांकों में (1, 2, 1) या (2, 4, 2) के रूप में दर्शाया जा सकता है। मूल कार्टेशियन निर्देशांक पहले दो पदों को तीसरे से विभाजित करके पुनर्प्राप्त किए जाते हैं। इस प्रकार कार्तीय निर्देशांकों के विपरीत, एक बिंदु को अपरिमित रूप से अनेक समांगी निर्देशांकों द्वारा निरूपित किया जा सकता है।

मूल बिन्दु (0, 0) से जाने वाली रेखा का समीकरण nx + my = 0 लिखा जा सकता है जहाँ n और m दोनों 0 नहीं हैं। पैरामीट्रिक रूप में इसे x = mt, y = –nt लिखा जा सकता है। माना Z = 1/t, इसलिए रेखा पर एक बिंदु के निर्देशांक लिखे जा सकते हैं (m/Z, −n/Z)। सजातीय निर्देशांक में, यह (m, –n, Z) हो जाता है।

सीमा में, जैसे-जैसे t अनंत की ओर बढ़ता है, दूसरे शब्दों में, जैसे-जैसे बिंदु मूल बिंदु से दूर जाता है, Z 0 की ओर बढ़ता है और बिंदु के समांगी निर्देशांक बन जाते हैं (m, –n, 0)। इस प्रकार हम (m, –n, 0) को रेखा nx + my = 0 की दिशा के अनुरूप अनंत पर बिंदु के समांगी निर्देशांक के रूप में परिभाषित करते हैं। जैसे यूक्लिडियन तल की कोई भी रेखा मूल बिन्दु से गुजरने वाली रेखा के समानांतर होती है, और चूँकि समानांतर रेखाओं में अनंत पर एक ही बिंदु होता है, यूक्लिडियन तल की प्रत्येक रेखा पर अनंत बिंदु को सजातीय निर्देशांक दिए गए हैं।

सजातीय समन्वय प्रणाली के बारे में महत्वपूर्ण बिंदु हैं:

• प्रक्षेप्य तल में किसी भी बिंदु को एक त्रिगुण (X, Y, Z) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे समरूप निर्देशांक या बिंदु के प्रक्षेपी निर्देशांक कहा जाता है, जहाँ X, Y और Z सभी 0 नहीं हैं।
• यदि निर्देशांकों को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से गुणा किया जाता है, तो समरूप निर्देशांकों के दिए गए समुच्चय द्वारा निरूपित बिंदु अपरिवर्तित रहता है।
• इसके विपरीत, सजातीय निर्देशांक के दो सेट एक ही बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं यदि और केवल यदि एक दूसरे से सभी निर्देशांक को एक ही गैर-शून्य स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
• जब Z, 0 नहीं होता है, तो यूक्लिडियन तल में निरूपित बिंदु (X/Z, Y/Z) होता है।
• जब Z 0 होता है तो निरूपित बिंदु अनंत पर एक बिंदु होता है।

5. वक्रीय समन्वय प्रणाली

घुमावदार निर्देशांक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए एक समन्वय प्रणाली है जिसमें समन्वय रेखाएं घुमावदार हो सकती हैं। ये निर्देशांक प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय रूप से उलटा (एक-से-एक नक्शा) परिवर्तन का उपयोग करके कार्टेशियन निर्देशांक के एक सेट से प्राप्त किए जा सकते हैं। इसका मतलब यह है कि एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिए गए बिंदु को उसके वक्रीय निर्देशांक और पीछे में परिवर्तित कर सकता है। फ्रांसीसी गणितज्ञ लैमे द्वारा गढ़ा गया वक्रीय निर्देशांक नाम, इस तथ्य से निकला है कि वक्रतापूर्ण प्रणालियों की समन्वय सतहें घुमावदार हैं।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष (R ³) में घुमावदार समन्वय प्रणालियों के प्रसिद्ध उदाहरण बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक हैं। इस स्थान में एक कार्तीय निर्देशांक सतह एक निर्देशांक तल है; उदाहरण के लिए, z = 0 x–y तल को परिभाषित करता है। उसी स्थान में, गोलाकार निर्देशांक में निर्देशांक सतह r = 1 एक इकाई क्षेत्र की सतह है, जो घुमावदार है। वक्रीय निर्देशांक की औपचारिकता मानक समन्वय प्रणालियों का एक एकीकृत और सामान्य विवरण प्रदान करती है।

वक्रीय निर्देशांक अक्सर भौतिक मात्राओं के स्थान या वितरण को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, स्केलर, वैक्टर, या टेंसर। स्केलर, वैक्टर और टेंसर के परिवर्तन नियमों के अनुसार, वेक्टर कैलकुलस और टेंसर विश्लेषण (जैसे कि ग्रेडिएंट, डाइवर्जेंस, कर्ल और लैप्लासियन) में इन मात्राओं को शामिल करने वाले गणितीय अभिव्यक्तियों को एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में बदला जा सकता है। इस तरह के भाव तब किसी भी वक्रता समन्वय प्रणाली के लिए मान्य हो जाते हैं।

कुछ अनुप्रयोगों के लिए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की तुलना में एक वक्रीय समन्वय प्रणाली का उपयोग करना आसान हो सकता है। केंद्रीय बलों के प्रभाव में कणों की गति आमतौर पर कार्टेशियन निर्देशांक की तुलना में गोलाकार निर्देशांक में हल करना आसान होता है; यह R³ में परिभाषित गोलाकार समरूपता के साथ कई शारीरिक समस्याओं के बारे में सच है। सीमा शर्तों के साथ समीकरण जो किसी विशेष वक्रीय समन्वय प्रणाली के लिए समन्वय सतहों का पालन करते हैं, उस प्रणाली में हल करना आसान हो सकता है।

जबकि कोई कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करके एक आयताकार बॉक्स में एक कण की गति का वर्णन कर सकता है, गोलाकार निर्देशांक के साथ एक गोले में गति आसान होती है। गोलाकार निर्देशांक सबसे आम घुमावदार समन्वय प्रणाली हैं और पृथ्वी विज्ञान, कार्टोग्राफी, क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षता और इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाते हैं।

6. लॉग-पोलर कोऑर्डिनेट सिस्टम

लॉग-पोलर निर्देशांक (या लॉगरिदमिक ध्रुवीय निर्देशांक) दो आयामों में एक समन्वय प्रणाली है, जहां एक बिंदु को दो संख्याओं द्वारा पहचाना जाता है, एक दूरी के लघुगणक के लिए एक निश्चित बिंदु के लिए, और एक कोण के लिए। लॉग-पोलर निर्देशांक ध्रुवीय निर्देशांक से निकटता से जुड़े होते हैं, जो आमतौर पर विमान में किसी प्रकार की घूर्णी समरूपता के साथ डोमेन का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। हार्मोनिक और जटिल विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में, लॉग-पोलर निर्देशांक ध्रुवीय निर्देशांक की तुलना में अधिक विहित हैं।

प्लेन में लॉग-पोलर निर्देशांक वास्तविक संख्याओं (ρ,θ) की एक जोड़ी से मिलकर बनता है, जहां ρ किसी दिए गए बिंदु और मूल के बीच की दूरी का लघुगणक है और θ संदर्भ की एक रेखा (x-अक्ष) के बीच का कोण है ) और मूल और बिंदु के माध्यम से रेखा।

कोणीय निर्देशांक ध्रुवीय निर्देशांक के समान होता है, जबकि रेडियल निर्देशांक नियम r = e^ρ के अनुसार रूपांतरित होता है, जहां r मूल बिंदु से दूरी है। कार्तीय निर्देशांक से लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तन के सूत्र ρ = log(sqrt(x²+y²)) और =tan^-1(y/x) द्वारा दिए गए हैं, यदि x > 0

और लॉग-पोलर से कार्टेशियन निर्देशांक में परिवर्तन के सूत्र हैं x=e^⍴cos𝜃 और y=e^⍴sin𝜃

सम्मिश्र संख्याओं (x, y) = x + iy का उपयोग करके, परिवर्तन को x+iy=e^⍴+^i𝜃 के रूप में लिखा जा सकता है

7. बैरीसेंट्रिक कोऑर्डिनेट सिस्टम

ज्यामिति में, एक बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली एक समन्वय प्रणाली है जिसमें एक बिंदु का स्थान एक सिम्प्लेक्स (एक प्लेन में बिंदुओं के लिए एक त्रिकोण, त्रि-आयामी रेखांकन में बिंदुओं के लिए एक टेट्राहेड्रोन, आदि) के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जाता है। एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को सिम्प्लेक्स के शिखर पर रखे गए द्रव्यमान के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जैसे कि बिंदु इन द्रव्यमानों के द्रव्यमान (या बैरीसेंटर) का केंद्र होता है। ये द्रव्यमान शून्य या ऋणात्मक हो सकते हैं; वे सभी सकारात्मक हैं यदि और केवल अगर बिंदु सिम्प्लेक्स के अंदर है।

प्रत्येक बिंदु में बायरसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं, और इसका योग शून्य नहीं होता है। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक के दो टुपल्स एक ही बिंदु को निर्दिष्ट करते हैं यदि और केवल यदि वे आनुपातिक हैं; कहने का तात्पर्य यह है कि यदि एक टपल दूसरे टपल के तत्वों को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को या तो एक गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा गुणा तक परिभाषित किया जाता है या एकता के योग के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक त्रिभुज ज्यामिति में उन गुणों का अध्ययन करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी होते हैं जो त्रिभुज के कोणों पर निर्भर नहीं करते हैं, जैसे कि सेवा का प्रमेय। कंप्यूटर-सहायता प्राप्त डिज़ाइन में, वे कुछ प्रकार की बेज़ियर सतहों को परिभाषित करने के लिए उपयोगी होते हैं।

8. त्रिरेखीय समन्वय प्रणाली

किसी दिए गए त्रिभुज के सापेक्ष एक बिंदु का त्रिरेखीय निर्देशांक x:y:z त्रिभुज के तीन पार्श्व रेखाओं से सापेक्ष निर्देशित दूरी का वर्णन करता है। त्रिरेखीय निर्देशांक सजातीय निर्देशांक का एक उदाहरण हैं। अनुपात x:y बिंदु से पक्षों तक लंबवत दूरी का अनुपात है (यदि आवश्यक हो तो विस्तारित) विपरीत शिखर A और B क्रमश; अनुपात y:z बिंदु से विपरीत शीर्षों की लम्बवत दूरियों का अनुपात है B और C क्रमश; और इसी तरह के लिए z:x और कोने C और A.

ऊपर दिए गए आरेख में, संकेतित आंतरिक बिंदु के त्रिरेखीय निर्देशांक वास्तविक दूरियां (a’, b’, c’), या समान रूप से अनुपात के रूप में, ka’:kb’:kc’ किसी भी सकारात्मक स्थिरांक k के लिए हैं। यदि कोई बिंदु संदर्भ त्रिभुज के किनारे पर है, तो इसका संगत त्रिरेखीय निर्देशांक 0 है। यदि त्रिभुज के आंतरिक भाग से एक बाहरी बिंदु एक साइडलाइन के विपरीत दिशा में है, तो उस साइडलाइन से जुड़ा यह ट्रिलिनियर कोऑर्डिनेट नकारात्मक है। तीनों त्रिरेखीय निर्देशांकों का गैर-सकारात्मक होना असंभव है।