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मनुष्यों द्वारा उपयोग की जाने वाली विभिन्न प्रकार की संख्या प्रणालियाँ हैं। इन सभी को मोटे तौर पर दो प्रकारों में विभाजित किया गया है – स्थितीय और गैर-स्थितित्मक संख्या प्रणाली।
संख्या प्रणाली क्या है?
एक संख्या किसी विशेष मात्रा के अंकगणितीय मान, गणना या माप का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है। एक संख्या प्रणाली को अंकों या प्रतीकों के एक सेट का उपयोग करके संख्याओं के गणितीय संकेतन के रूप में माना जा सकता है। सरल शब्दों में, संख्या प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने की एक विधि है। प्रत्येक संख्या प्रणाली की पहचान उसके आधार या मूलांक की सहायता से की जाती है।
किसी संख्या प्रणाली का आधार या मूलांक क्या होता है?
किसी संख्या प्रणाली के आधार या मूलांक को विभिन्न प्रतीकों की कुल संख्या के रूप में संदर्भित किया जा सकता है जिनका उपयोग किसी विशेष संख्या प्रणाली में किया जा सकता है। मूलांक (रेडिक्स) का अर्थ लैटिन में “रूट” है।
आधार 4 के बराबर होता है जिसका अर्थ है कि उस संख्या प्रणाली में 4 अलग-अलग प्रतीक हैं। इसी तरह, आधार “x” के बराबर है, जिसका अर्थ है कि उस संख्या प्रणाली में “x” विभिन्न प्रतीक हैं।
संख्या प्रणाली का वर्गीकरण
संख्या प्रणाली को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:
- स्थितीय संख्या प्रणाली
- गैर स्थितीय संख्या प्रणाली
1. स्थितीय संख्या प्रणाली
स्थितीय संख्या प्रणाली को भारित संख्या प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, प्रत्येक अंक के साथ एक भार जुड़ा होगा, जिसे अंक का स्थानीय मान भी कहा जाता है।
संख्या में घटित होने की स्थिति के अनुसार, प्रत्येक अंक को भारित किया जाता है। आधार या मूलांक के बराबर एक स्थिर कारक द्वारा वजन बाएं से दाएं बढ़ता है। (दाईं ओर के अंकों का भार बाईं ओर के अंकों के भार से कम होता है)।
एक मूलांक बिंदु (‘.’) किसी संख्या को दो वर्गों में विभाजित करता है। मूलांक बिंदु के बाईं ओर के अंकों का पूर्णांक भार होता है और मूलांक बिंदु के दाईं ओर के अंकों में भिन्नात्मक भार होते हैं। स्थिति n पर अंक का भार rn है।
आइए दशमलव संख्या प्रणाली में एक संख्या पर विचार करें, मान लीजिए 2589। चूँकि दशमलव संख्या प्रणाली का मूलांक या आधार 10 है, यहाँ r = 10 है।
अंकों की स्थिति (दाएं से बाएं) स्थिति 0 पर 9, स्थिति 1 पर 8, स्थिति 2 पर 5 और स्थिति 3 पर 2 है।
इस प्रकार, हम 2589 को 2 × 103 + 5 × 102 + 8 × 101 + 9 × 100 . के रूप में लिखते हैं
आइए एक और उदाहरण पर विचार करें, मान लीजिए 25.89।
अंकों की स्थिति (मूलांक बिंदु के बाएँ अंक के लिए दाएँ से बाएँ स्थान 0 और 1 हैं और मूलांक बिंदु के दाएँ अंक के लिए बाएँ से दाएँ स्थान -1 और -2 हैं)।
इस प्रकार, हम 25.89 = 2 × 101 + 5 × 100 + 8 × 10-1 + 9 × 10-2 . लिखते हैं
पोजिशनल नंबर सिस्टम के कुछ उदाहरण दशमलव संख्या प्रणाली, बाइनरी नंबर सिस्टम, ऑक्टल नंबर सिस्टम, हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम आदि हैं।
दशमलव संख्या प्रणाली
एक दशमलव संख्या प्रणाली में, मूलांक 10 (r = 10) होता है और संख्याओं को 10 के पदों में दर्शाया जाता है। दशमलव संख्या प्रणाली में उपलब्ध अंकों की संख्या 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9) है। इन 10 अंकों का उपयोग करके सभी संख्याएँ बनाई जाती हैं। उपरोक्त उदाहरण में संख्याएँ दशमलव हैं।
बाइनरी नंबर सिस्टम
एक द्विआधारी संख्या प्रणाली में, मूलांक 2 (r = 2) है और संख्याओं को 2 के रूप में दर्शाया जाता है। बाइनरी नंबर सिस्टम में उपलब्ध अंकों की संख्या 2 (0 और 1) है। इन 2 अंकों का उपयोग करके सभी संख्याएँ बनाई जाती हैं।
बाइनरी नंबर का उदाहरण:
111011 = 1 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 11001.101 = 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2-1 + 0 × 2-2 + 1 × 2-3
अष्टक संख्या प्रणाली
एक अष्टक संख्या प्रणाली में मूलांक 8 (r = 8) होता है और संख्याओं को 8 के रूप में दर्शाया जाता है। अष्टक संख्या प्रणाली में उपलब्ध अंकों की संख्या 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 और 7) है। इन 8 अंकों का उपयोग करके सभी संख्याएँ बनाई जाती हैं।
अष्टक संख्याओं का उदाहरण:
47216 = 4 × 84 + 7 × 83 + 2 × 82 + 1 × 81 + 6 × 80
673.024 = 6 × 82 + 7 × 81 + 3 × 80 + 0 × 8-1 + 2 × 8-2 + 4 × 8-2
हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली
एक हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में मूलांक 16 (r = 16) होता है और संख्याओं को 16 के रूप में दर्शाया जाता है। हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में उपलब्ध अंकों की संख्या 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E और F) है। इन 16 अंकों का उपयोग करके सभी संख्याएँ बनाई जाती हैं।
हेक्साडेसिमल संख्याओं का उदाहरण:
90A5C = 9 × 164 + 0 × 163 + A × 162 + 5 × 161 + C × 160 = 9 × 164 + 0 × 163 + 10 × 162 + 5 × 161 + 12 × 160
ध्यान दें कि इस प्रणाली में A 10 है, B 11 है, C 12 है, D 13 है, E 14 है और F 15 है।
2. गैर स्थितीय संख्या प्रणाली
गैर-स्थित संख्या प्रणाली को गैर-भारित संख्या प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है। पुराने दिनों में, लोग जोड़ और घटाव जैसी सरल गणनाओं के लिए इस प्रकार की संख्या प्रणाली का उपयोग करते थे। इस प्रणाली में, अंकों का मान अपनी स्थिति से स्वतंत्र होता है। एक गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग शिफ्ट स्थिति एन्कोड और त्रुटि का पता लगाने के उद्देश्यों के लिए किया जाता है।
गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली में विभिन्न प्रतीक होते हैं जिनका उपयोग संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। एक रोमन संख्या प्रणाली गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली का एक उदाहरण है अर्थात I=1, V=5, X=10, L=50।
रोमन संख्याएँ
रोमन अंक एक संख्या प्रणाली है जो प्राचीन रोमनों द्वारा दिन-प्रतिदिन के अन्य लेनदेन को गिनने और निष्पादित करने के लिए तैयार की गई थी। रोमन अंकों के प्रतिनिधित्व के लिए लैटिन वर्णमाला के कई अक्षरों का उपयोग किया जाता है। वे आम तौर पर पीढ़ियों के लोगों के लिए सामान्य प्रत्यय के रूप में उपयोग किए जाते हैं, एक घड़ी पर घंटे के निशान, पोप और सम्राटों के नाम आदि को दर्शाने के लिए।
आधुनिक रोमन अंक विभिन्न संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए सात अक्षरों का उपयोग करते हैं। ये I, V, X, L, C, D और M हैं जो क्रमशः 1, 5, 10, 50, 100, 500 और 1000 के पूर्णांक मान रखते हैं।
एक्सेस-3 कोड
एक्सेस-3 कोड (या XS3) एक गैर-भारित कोड है जिसका उपयोग दशमलव संख्याओं को व्यक्त करने के लिए किया जाता है। यह एक स्व-पूरक बाइनरी कोडेड दशमलव (बीसीडी) कोड और संख्यात्मक प्रणाली है जिसमें पक्षपातपूर्ण प्रतिनिधित्व है। यह अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि यह दो दशमलव अंकों को जोड़ने के लिए 8421 बीसीडी कोड का उपयोग करते समय सामने आई कमियों को दूर करता है, जिनका योग 9 से अधिक है। एक्सेस-3 अंकगणित सामान्य गैर-पक्षपाती बीसीडी या बाइनरी पोजिशनल नंबर सिस्टम की तुलना में एक अलग एल्गोरिदम का उपयोग करता है।
एक्सेस-3 कोड अभारित होते हैं और प्रत्येक दशमलव अंक में 3 जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है, फिर इसे प्रत्येक अंक के लिए 4-बिट बाइनरी संख्या का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके किसी दिए गए बाइनरी नंबर का एक एक्सेस-3 समकक्ष प्राप्त किया जाता है:
- किसी दिए गए बाइनरी नंबर के दशमलव समकक्ष का पता लगाएं।
- संख्या के प्रत्येक अंक में +3 जोड़ें।
- आवश्यक एक्सेस-3 समकक्ष प्राप्त करने के लिए नई प्राप्त संख्या को वापस बाइनरी संख्या में कनवर्ट करें।
वांछित एक्सेस-3 समकक्ष प्राप्त करने के लिए आप बाइनरी कोडेड नंबर (बीसीडी) में प्रत्येक चार-बिट समूह में 0011 जोड़ सकते हैं।
आइए उन्हें बेहतर ढंग से समझने के लिए निम्नलिखित उदाहरण लेते हैं।
23 को एक्सेस कोड में परिवर्तित करना
23 + 33 (प्रत्येक अंक में 3 जोड़ना) = 56 = 0101 0110 (जो बीसीडी के बराबर है)।
0101 0110 दी गई दशमलव संख्या 23 के लिए आवश्यक एक्सेस-3 कोड है।
15.46 को एक्सेस कोड में परिवर्तित करना
15.46 + 33.33 (प्रत्येक अंक में 3 जोड़ना) = 48.79 = 0100 1000.0111 1001 (जो बीसीडी समतुल्य है)।
0100 1000.0111 1001 दी गई दशमलव संख्या 15.46 के लिए आवश्यक एक्सेस-3 कोड है।
साइक्लिक कोड
साइक्लिक कोड लीनियर ब्लॉक कोड का एक उपवर्ग है जहां कोडवर्ड के बिट्स में एक चक्रीय बदलाव के परिणामस्वरूप दूसरे कोडवर्ड में परिणाम होता है। यह काफी महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आसान कार्यान्वयन प्रदान करता है और इस प्रकार विभिन्न प्रणालियों में अनुप्रयोग पाता है।
उपग्रह संचार में चक्रीय कोड का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि डिजिटल रूप से भेजी गई जानकारी को साइक्लिंग कोडिंग का उपयोग करके एन्कोड और डिकोड किया जाता है। ये त्रुटि-सुधार करने वाले कोड हैं जहां समता बिट्स के साथ संयोजन करके चैनल पर वास्तविक जानकारी भेजी जाती है।
ग्रे कोड
ग्रे कोड बाइनरी नंबर सिस्टम का एक क्रम है, जिसे परावर्तित बाइनरी कोड के रूप में भी जाना जाता है। इस कोड को परावर्तित बाइनरी कोड के रूप में कॉल करने का कारण यह है कि पिछले N/2 मानों की तुलना में पहले N/2 मान उल्टे क्रम में हैं। इस कोड में, दो क्रमागत मान बाइनरी अंकों के एक बिट से भिन्न होते हैं।
हार्डवेयर-जनित बाइनरी नंबरों के सामान्य अनुक्रम में ग्रे कोड का उपयोग किया जाता है। जब एक संख्या से उसके क्रमागत में संक्रमण किया जाता है तो ये संख्याएँ अस्पष्टता या त्रुटियाँ उत्पन्न करती हैं। जब संख्याओं के बीच संक्रमण किया जाता है तो यह कोड केवल एक बिट बदलकर इस समस्या को हल करता है।
