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कभी-कभी सुंदर समीकरणों और सूत्रों का उपयोग करके संख्याएँ पाई जाती हैं। उनके पास गणितीय सुंदरता भी हो सकती है कि उनके गुण एक अनुमानित परिणाम प्रदान करते हैं जो विज़ुअली और बौद्धिक रूप से आकर्षक है। ऐसी ही एक संख्याओं की श्रंखला है फिबोनाची श्रृंखला।
आइये समझते हैं कि फिबोनाची श्रृंखला क्या है।
फिबोनाची श्रृंखला क्या है?
फिबोनाची श्रृंखला की खोज सबसे पहले लियोनार्डो पिसानो ने की थी। वह अपने उपनाम, फिबोनाची द्वारा जाने जाते थे।
फिबोनाची श्रृंखला संख्याओं का एक समूह है जो 1 से शुरू होता है, और इस नियम के आधार पर आगे बढ़ता है कि प्रत्येक संख्या (जिसे फिबोनाची संख्या कहा जाता है) पूर्ववर्ती दो संख्याओं के योग के बराबर होती है।
फिबोनाची श्रृंखला में संख्याओं को पुनरावर्ती संबंध (recursive relation) F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां F(1) = 1 और F(2) = 1 और n ≥ 3।
फिबोनाची श्रृंखला को विस्तृत रूप से 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… के रूप में लिखा जा सकता है।
फिबोनाची श्रृंखला में सबसे आम प्रयोगों में से एक खरगोशों के साथ उनका प्रयोग है। फिबोनाची ने एक खेत में एक नर और एक मादा खरगोश को रखा। फिबोनाची का मानना था कि खरगोश वशाल (infinite) रूप से रहते थे और हर महीने एक नर और एक मादा की नई जोड़ी बनाई जाती थी। फिबोनाची ने पूछा कि एक वर्ष में कितने खरगोश बनेंगे? फिबोनाची श्रृंखला के बाद, पूरी तरह से खरगोशों का प्रजनन निर्धारित किया गया था – 144 खरगोश।
हालांकि अवास्तविक, खरगोश अनुक्रम लोगों को जटिल संख्याओं की एक अत्यधिक विकसित श्रृंखला को हर रोज़, तार्किक, समझने योग्य विचार में संलग्न करने में मदद करता है।
प्रकृति में फिबोनाची श्रृंखला
न केवल प्रसिद्ध खरगोश प्रयोग में बल्कि सुंदर फूलों में भी फिबोनाची श्रृंखला पाई जाती है। सूरजमुखी के शीर्ष पर, बीज एक निश्चित तरीके से पैक होते हैं ताकि वे फिबोनाची श्रृंखला के पैटर्न का पालन करें। यह सर्पिल सूरजमुखी के बीज को खुद को बाहर निकलने से रोकता है और इस प्रकार उन्हें जीवित रहने में मदद करता है। फूलों और अन्य पौधों की पंखुड़ियों का सम्बन्ध भी फिबोनाची श्रृंखला से होता है जो उन्हें नई पंखुड़ियों के निर्माण में मदद करते हैं।
फूलों पर पंखुड़ियाँ
संभवतः हम में से अधिकांश को कभी भी फूल पर पंखुड़ियों की संख्या या व्यवस्था की सावधानी से जांच करने का समय नहीं मिला हो। यदि हम ऐसा करते, तो हम पाते कि एक फूल पर पंखुड़ियों की संख्या जो अभी भी अपनी सभी पंखुड़ियों को बरकरार रखे है, एक फिबोनाची संख्या है।
1 पंखुड़ी: सफेद calla लिली
3 पंखुड़ी: लिली, आईरिस
5 पंखुड़ियाँ: बटरकप, जंगली गुलाब, लर्कसपुर, कोलम्बिन (एक्विलेजिया)
8 पंखुड़ियाँ: डेल्फीनियम
13 पंखुड़ियाँ: रैगवॉर्ट, कॉर्न मैरीगोल्ड, सिनारिया
21 पंखुड़ियों: एस्टर, काली आंखों वाला सुसान, चिकोरी
34 पंखुड़ियाँ: केला, पाइरेथ्रम
55, 89 पंखुड़ी: माइक्रेलैमस डेज़ी, एस्टेरसिया परिवार
फिबोनाची सर्पिल
फिबोनाची संख्या फूलों के शीर्ष पर बीज की व्यवस्था में पाई जाती है। कई पौधों के फल के अंदर, हम फिबोनाची श्रृंखला की उपस्थिति का निरीक्षण कर सकते हैं।
सबसे अधिक डेज़ी या सूरजमुखी के फूलों में 55 सर्पिल बाहर की ओर और 34 सर्पिल अंदर की ओर होते हैं। पाइन शंकु स्पष्ट रूप से फिबोनाची सर्पिल दिखाते हैं।
फिबोनाची सर्पिल फूलगोभी में पाया जा सकता है।
फिबोनाची संख्याएं अनानास और केले में भी पाई जाती हैं। केले में 3 या 5 फ्लैट पक्ष होते हैं और अनानास तराजू में 8, 13 और 21 के सेट में फिबोनाची सर्पिल होते हैं।
घोंघे, समुद्री गोले में भी फिबोनाची सर्पिल पाए जाते हैं।
फिबोनाची संख्या तरंगों, रंगों के संयोजन में भी पाई जाती है; गुलाब आदि।
मानव शरीर के अंगों में फिबोनाची
मनुष्य फिबोनाची श्रृंखला की विशेषताओं का प्रदर्शन करते हैं। प्रत्येक मनुष्य के दो हाथ होते हैं, इनमें से प्रत्येक की पाँच उंगलियाँ होती हैं और प्रत्येक उंगली के तीन भाग होते हैं जिन्हें दो पोर से अलग किया जाता है। ये सभी संख्याएँ अनुक्रम में फिट होती हैं। इसके अलावा, हाथ में हड्डियों की लंबाई फिबोनाची संख्या में होती है।
संगीत में फिबोनाची
फिबोनाची संख्याएं संगीत में व्यापक रूप से प्रकट होती हैं। संख्या सप्तक (octat) में मौजूद हैं, माधुर्य और सद्भाव की संस्थापक इकाई में भी। स्त्रादिवारिउस ने फिबोनाची श्रृंखला का उपयोग करके अब तक का सबसे बड़ा स्ट्रिंग उपकरण बनाया। डेब्यू की रचनाओं पर हाउट के शोध से पता चलता है कि संगीतकार ने अपने संगीत की संरचना के लिए फिबोनाची संख्याओं का उपयोग किया था। फिबोनाची रचना इस गणितीय घटना के निहित सौंदर्य अपील को प्रकट करती है। एक ही स्केल के एक पियानो पर कुंजियों के बीच का अंतराल फिबोनाची संख्या है।
पास्कल के त्रिभुज में फिबोनाची
फिबोनाची संख्या पास्कल के त्रिभुज में भी लागू होती है। प्रवेश की संख्या इसके दोनों ओर की दो संख्याओं का योग है लेकिन ऊपर की ओर। पास्कल के त्रिभुज में विकर्ण की संख्याओं का जोड़ फिबोनाची संख्या है।
गोल्डन रेश्यो
गोल्डन अनुपात (गोल्डन रेश्यो), जिसे गोल्डन सेक्शन, गोल्डन मीन या ईश्वरीय अनुपात के रूप में भी जाना जाता है, गणित में, अपरिमेय संख्या (1 + √5)/2, जिसे अक्सर ग्रीक अक्षर Φ द्वारा निरूपित किया जाता है, जो लगभग 1.618033387 के बराबर होता है।
क्या आप जानते हैं कि 1.6180339887 कैसे आया?
आइए, फिबोनाची श्रृंखला में प्रत्येक संख्या के अनुपात को देखें:
| 1/1 = 1 | 2/1 = 2 | 3/2 = 1.5 | 5/3 = 1.666… | 8/5 = 1.6 |
| 13/8 = 1.625 | 21/13 = 1.61538… | 34/21 = 1.61905… | 55/34 = 1.61764… | 89/55 = 1.61861… |
यदि हम इसे करते रहें, तो हमें एक दिलचस्प संख्या मिलती है, जिसे गणितज्ञ “फाई” कहते हैं, और जिसे Φ द्वारा निरूपित किया जाता है।
यदि आप फिबोनाची श्रृंखला के तीन क्रमिक शब्दों को a, b और (a + b) के रूप में लेते हैं, तो (b / a) b (a + b) / b ≈ (a / b) + 1 का अर्थ है, (= (1 / ɸ) ) + 1 = >ɸ2 – 1 – 1 = 0 = > ɸ = (1 + √5) / 2 18 1.618।
गोल्डन अनुपात के ऍप्लिकेशन्स
लियोनार्डो दा विंची ने दिखाया कि एक ‘संपूर्ण व्यक्ति’ में बहुत सारे माप स्वर्ण अनुपात का अनुसरण करते हैं। गोल्डन अनुपात हजारों वर्षों से मानव जाति में प्रयोग में लाया जाता रहा है।
ज्यामिति (Geometry) में स्वर्ण अनुपात का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह एक नियमित पंचभुज की भुजा का उसके विकर्ण से अनुपात है। और विकर्ण एक दूसरे को गोल्डन अनुपात में काटते हैं। पेंटाग्राम एक स्टार का वर्णन करता है जो कई झंडे के कुछ हिस्सों का निर्माण करता है।
डॉल्फिन की आंखें, पंख और पूंछ शरीर के गोल्डन सेक्शन में आती हैं।
यहां तक कि डी एन ए भी स्वर्ण अनुपात प्रदर्शित करता है।
वास्तुकला (आर्किटेक्चर) में गोल्डन अनुपात
गोल्डन अनुपात अक्सर वास्तुकला में देखा जाता है। यह मिस्र में महान पिरामिड में पाया जा सकता है। पिरामिड का परिमाप (Perimeter), उसकी उर्ध्वाधर ऊँचाई (Vertical Height) के दुगुने भाग से अनुपात ɸ के मान के बराबर होता है।
ग्रीस में पार्थेनन के कई अनुपात में गोल्डन सेक्शन दिखाई देता है। इमारत की सामने की ऊँचाई गोल्डन सेक्शन पर बनी है।
दूरी में फिबोनाची
इस श्रृंखला से लगातार दो संख्याएँ उदाहरण के लिए लें, जैसे 13 और 21 या 34 और 55।
अब छोटी संख्या मीलों में = दूसरी किलोमीटर में या दूसरी बड़ी संख्या किलोमीटर = मील में छोटी है।
34 मील = 54.72 किलोमीटर = 55 किलोमीटर
21 किलोमीटर = 13.05 मील = 13 मील
उन दूरियों के लिए जो सटीक फिबोनाची मान नहीं हैं, आप हमेशा दूरी को दो या अधिक फिबोनाची मानों में विभाजित करके आगे बढ़ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, 15 किमी को मीलों में परिवर्तित करने के लिए हम निम्नलिखित कार्य कर सकते हैं:
15 km = 13 km + 2 km
13 km -> 8 mile
2 km -> 1 mile
15 km -> 8+1 = 9 mile
एक अन्य उदाहरण, 170 किमी को मीलों में परिवर्तित करने के लिए हम आगे बढ़ सकते हैं:
170 km = 10*17 km
17 किमी = 13 किमी + 2 किमी + 2 किमी = 8 + 1 + 1 मील = 10 मील (लगभग)
अब, 170 किमी = 10 * 10 मील = 100 मील (लगभग)
कोडिंग में फिबोनाची
हाल ही में फिबोनाची श्रृंखला और गोल्डन अनुपात उच्च ऊर्जा भौतिकी, क्वांटम यांत्रिकी, क्रिप्टोग्राफी और कोडिंग सहित विज्ञान के कई क्षेत्रों में शोधकर्ताओं के लिए रूचि का विषय बने हुए हैं। यह पाया गया है कि संचार को फिबोनाची संख्याओं के उपयोग से सुरक्षित किया जा सकता है।
मान लीजिए कि मूल संदेश “कोड” को एन्क्रिप्ट किया जाना है। इसे एक असुरक्षित चैनल के माध्यम से भेजा जाता है। सिक्योरिटी की (Security Key) को फिबोनाची संख्या के आधार पर चुना जाता है। किसी भी करैक्टर को सिफरटेक्स्ट उत्पन्न करने के लिए पहली सुरक्षा कुंजी के रूप में चुना जा सकता है और फिर फिबोनाची श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है।
आमतौर पर पूछे जाने वाले प्रश्न
फिबोनाची श्रृंखला से आप क्या समझते हैं?
फिबोनाची अनुक्रम एक प्रकार की श्रृंखला है जहां प्रत्येक संख्या दो से पहले का योग है। यह आमतौर पर 0 और 1 से शुरू होता है। फिबोनाची अनुक्रम 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, और इसी तरह दिया जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम में संख्याओं को फिबोनाची संख्याएं भी कहा जाता है।
फिबोनाची श्रृंखला सूत्र क्या है?
फिबोनाची सूत्र के रूप में दिया गया है, Fn = Fn-1 + Fn-2, जहां n> 1।
फिबोनाची श्रृंखला क्यों महत्वपूर्ण है?
शून्य और एक से शुरू होने वाली संख्याओं का क्रम लगातार बढ़ने वाली श्रृंखला है जहां प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं के योग के बराबर होती है। कुछ व्यापारियों का मानना है कि अनुक्रम द्वारा बनाए गए फिबोनाची संख्या और अनुपात वित्त में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं जिसे व्यापारी तकनीकी विश्लेषण का उपयोग करके लागू कर सकते हैं।
इसे फिबोनाची क्यों कहा जाता है?
उनका नाम पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो के नाम पर रखा गया है, जिन्हें बाद में फिबोनाची के नाम से जाना जाता है, जिन्होंने अपनी 1202 पुस्तक लिबर अबाची में पश्चिमी यूरोपीय गणित के अनुक्रम की शुरुआत की।
निष्कर्ष
फिबोनाची श्रृंखला संख्याओं का एक समूह है जो 1 से शुरू होता है, और इस नियम के आधार पर आगे बढ़ता है कि प्रत्येक संख्या (जिसे फिबोनाची संख्या कहा जाता है) पूर्ववर्ती दो संख्याओं के योग के बराबर होती है। फिबोनाची श्रृंखला प्रकृति के लगभग हर भाग में देखने को मिल सकती हैं, चाहे वह फूलों की पंखुड़ियाँ हों, मानव शरीर अंग या सागर की लहरें।
