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ज्यामिति में, आपने दो ठोस आकृतियों – प्रिज्म और पिरामिड को देखा होगा। प्रिज्म और पिरामिड दोनों तीन-आयामी (3D) आकार के होते हैं जिनमें कोने, किनारे और चेहरे होते हैं। इस लेख में, हम यह पता लगाएंगे कि प्रिज्म और पिरामिड में क्या अंतर है।
एक ठोस आकार क्या है?
ठोस आकार ठोस होते हैं जिनमें 3 आयाम होते हैं, अर्थात। लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई। ठोस आकृतियों को 3D आकृतियों के रूप में भी जाना जाता है। ये ठोस आकृतियाँ स्थान घेरती हैं और हमारे दैनिक जीवन में पाई जाती हैं।
हम इन आकृतियों को छू सकते हैं, महसूस कर सकते हैं और अपने दैनिक जीवन में इनका उपयोग कर सकते हैं। ठोस आकृतियों के उदाहरण हैं गोले (गेंद, ग्लोब, कांच का संगमरमर), सिलेंडर (रस के डिब्बे, कचरा बिन), शंकु, प्रिज्म और पिरामिड।
प्रिज्म क्या है?
प्रिज्म एक त्रि-आयामी ठोस वस्तु है जिसमें दो छोर एन-पक्षीय बहुभुज होते हैं और समरूप और पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज या आयत होते हैं।
उदाहरण के लिए, वर्गाकार आधार वाले प्रिज्म को वर्ग प्रिज्म कहा जाता है, और पंचकोण के आधार वाले प्रिज्म को पंचकोणीय प्रिज्म कहा जाता है।
एक प्रिज्म का क्रॉस सेक्शन
क्रॉस-सेक्शन एक वस्तु के प्रतिच्छेदन द्वारा अपनी धुरी के साथ एक विमान द्वारा प्राप्त की गई आकृति है। यदि एक प्रिज्म को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो क्रॉस-सेक्शन का आकार आधार के समान होगा। उदाहरण के लिए, यदि एक वर्ग पिरामिड को आधार के समांतर समतल द्वारा काटा जाता है, तो प्रिज्म के क्रॉस-सेक्शन का आकार भी एक वर्ग होगा।
एक प्रिज्म के लेटरल फेसेस
प्रिज्म के दो आधारों को मिलाने वाले फलकों को प्रिज्म के पार्श्व फलक कहते हैं। एक सही प्रिज्म के लिए, पार्श्व फलक आयताकार होते हैं और एक तिरछे प्रिज्म के मामले में, पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं।
प्रिज्म के प्रकार
प्रिज्म के क्रॉस-सेक्शन के आधार पर, इसे इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है
- नियमित प्रिज्म: यदि प्रिज्म के आधार नियमित बहुभुज के आकार में हों, तो इसे नियमित प्रिज्म कहा जाता है।
- अनियमित प्रिज्म (Irregular Prism) : यदि आधार अनियमित बहुभुज के आकार में हों तो प्रिज्म अनियमित प्रिज्म कहलाता है।
आधार के आकार (आधार की भुजाओं की संख्या) के आधार पर, प्रिज्म को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है
- त्रिकोणीय प्रिज्म (त्रिकोणीय आधारों के साथ)
- वर्गाकार प्रिज्म (वर्गाकार आधारों के साथ)
- आयताकार प्रिज्म (आयताकार आधारों के साथ)
- पंचकोणीय प्रिज्म (पंचकोणीय आधारों के साथ)
- हेक्सागोनल प्रिज्म (हेक्सागोनल बेस के साथ)
पार्श्व फलकों के आकार के आधार पर, एक प्रिज्म को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है
- राइट प्रिज्म: राइट प्रिज्म में फलक और जुड़ने वाले किनारे आधार फलकों के लंबवत होते हैं इसलिए पार्श्व फलक आयत होते हैं।
- तिरछा प्रिज्म: तिरछे प्रिज्म में चेहरे और जुड़ने वाले किनारे आधार चेहरों के लंबवत नहीं होते हैं इसलिए पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं।
एक प्रिज्म के कोने, किनारे और फलक
$n$-पक्षीय आधार वाले प्रिज्म के लिए
- शीर्षों की संख्या = $2n$
- किनारों की संख्या = $3n$
- चेहरों की संख्या = $n + 2$
उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय प्रिज्म के लिए, $n = 3$
- शीर्षों की संख्या = 6
- किनारों की संख्या = 9
- फलकों की संख्या = 5
पंचकोणीय प्रिज्म के लिए, $n = 5$,
- शीर्षों की संख्या = 10
- किनारों की संख्या = 15
- फलकों की संख्या = 7
एक प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल : प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल प्रिज्म के फलकों द्वारा कवर किया गया कुल क्षेत्रफल है।
प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(आधार क्षेत्रफल) + (आधार परिमाप × ऊँचाई)
प्रिज्म का आयतन: प्रिज्म के आयतन को आधार क्षेत्र और प्रिज्म की ऊँचाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
प्रिज्म का आयतन = आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई
पिरामिड क्या है?
एक पिरामिड एक त्रि-आयामी आकार होता है जिसमें बहुभुज आधार और फ्लैट त्रिकोणीय चेहरे होते हैं (जिसे पार्श्व चेहरे के रूप में जाना जाता है) जो शीर्ष नामक एक सामान्य बिंदु पर जुड़ते हैं। उदाहरण के लिए, एक वर्गाकार आधार वाले पिरामिड को वर्गाकार पिरामिड कहा जाता है, और एक पंचभुज के आधार वाले पिरामिड को पंचकोणीय पिरामिड कहा जाता है।
एक पिरामिड का क्रॉस सेक्शन
एक पिरामिड का क्रॉस-सेक्शन जो आधार के लंबवत होता है, एक त्रिभुज होता है और एक पिरामिड का क्रॉस-सेक्शन जो आधार के समानांतर होता है, आधार का एक छोटा संस्करण होता है।
पिरामिड के पार्श्व फलक
पिरामिड के शीर्ष और आधार को मिलाने वाले फलक पिरामिड के पार्श्व फलक कहलाते हैं। एक पिरामिड के लिए पार्श्व फलक त्रिभुज होते हैं।
पिरामिड के प्रकार
पिरामिड के क्रॉस-सेक्शन के आधार पर, इसे इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है
- नियमित पिरामिड: यदि पिरामिड का आधार एक नियमित बहुभुज के आकार में है, तो इसे नियमित पिरामिड कहा जाता है।
- अनियमित पिरामिड: यदि आधार एक अनियमित बहुभुज के आकार में है, तो पिरामिड को अनियमित पिरामिड कहा जाता है।
आधार के आकार (आधार की भुजाओं की संख्या) के आधार पर, प्रिज्म को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है
- त्रिकोणीय पिरामिड (त्रिकोणीय आधार के साथ)
- वर्गाकार पिरामिड (वर्गाकार आधार के साथ)
- आयताकार पिरामिड (आयताकार आधार के साथ)
- पंचकोणीय पिरामिड (पंचकोणीय आधार के साथ)
- हेक्सागोनल पिरामिड (हेक्सागोनल बेस के साथ)
पार्श्व फलकों के आकार के आधार पर, पिरामिड को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है
- राइट पिरामिड: पिरामिड का शीर्ष आधार के बिल्कुल बीच में होता है, इसलिए इसे दायां पिरामिड नाम दिया गया है।
- ओब्लिक पिरामिड: पिरामिड का शीर्ष इसके आधार के बिल्कुल बीच में नहीं है और इसे एक तिरछा पिरामिड नाम दिया गया है।
पिरामिड के कोने, किनारे और फलक
$n$-पक्षीय आधार वाले पिरामिड के लिए
- शीर्षों की संख्या = $n + 1$
- किनारों की संख्या = $2n$
- फलकों की संख्या = $n + 1$
उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय पिरामिड के लिए, $n$ = 3
- शीर्षों की संख्या = 4
- किनारों की संख्या = 6
- फलकों की संख्या = 4
एक पंचकोणीय पिरामिड के लिए, $n$ = 5,
- शीर्षों की संख्या = 6
- किनारों की संख्या = 10
- फलकों की संख्या = 6
पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल: पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $ \frac {1}{2} P \times l + B $ वर्ग इकाई
जहां,
$P$ आधार की परिधि है
$l$ तिरछी ऊंचाई है
$B$ आधार क्षेत्र है।
पिरामिड का आयतन: पिरामिड का आयतन ज्ञात करने का सामान्य रूप आधार क्षेत्र का एक तिहाई और पिरामिड की ऊँचाई है, अर्थात,
$l$ is the slant height
$B$ is the base area.
Volume of a Pyramid: The general form to find the volume of the pyramid is one-third of the base area and the height of the pyramid, i.e.,
पिरामिड का आयतन = $\frac {1}{3} \times $ (आधार क्षेत्र)$\गुना $(ऊंचाई) घन इकाइयां
प्रिज्म और पिरामिड के बीच समानताएं
प्रिज्म और पिरामिड के बीच समानताएं निम्नलिखित हैं।
- प्रिज्म और पिरामिड दोनों में 3-आयामी आकार होते हैं।
- प्रिज्म और पिरामिड की सभी भुजाएँ आधारों पर मिलती हैं।
- पिरामिड और प्रिज्म दोनों में गोल भुजाएँ नहीं होती हैं।
- दोनों ठोस ज्यामितीय आकार हैं।
- दोनों का आधार समतल है।
प्रिज्म और पिरामिड के बीच अंतर
प्रिज्म और पिरामिड के बीच अंतर निम्नलिखित हैं।
| मानदंड | प्रिज्म | पिरामिड |
| आकार | एक प्रिज्म के दो समान सिरे और सभी समतल भुजाएँ होती हैं। | एक पिरामिड का आधार होता है, और सभी पक्ष आधार से शीर्ष बिंदु पर जुड़ने के लिए जाते हैं। |
| आधारों की संख्या | दो आधार। आधार पक्षों द्वारा एक साथ जुड़े हुए हैं। | एक आधार |
| पक्ष (पार्श्व फलक) | भुजाएँ या फलक आधार फलकों के लंबवत होते हैं, अर्थात वे आधार के साथ समकोण बनाते हैं। यदि भुजाएँ आधार से लंबवत न हों तो इसे तिरछा प्रिज्म कहा जाता है। | भुजाएँ आकार में त्रिकोणीय होती हैं जो शीर्ष पर एक बिंदु पर मिलती हैं जिसे शीर्ष कहा जाता है। |
| शीर्ष | शीर्ष नहीं है | एक शीर्ष है |
निष्कर्ष
प्रिज्म और पिरामिड ठोस ज्यामितीय आकार होते हैं जिनमें सपाट पक्ष, सपाट आधार और कोण होते हैं। हालाँकि, प्रिज्म और पिरामिड के आधार और पार्श्व फलक भिन्न होते हैं। प्रिज्म के दो आधार होते हैं, जबकि पिरामिड में केवल एक होता है।
